初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性练习

这是一份初中数学苏科版八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性练习，共25页。试卷主要包含了5等边三角形的性质与判定等内容，欢迎下载使用。


苏科版数学新八年级暑假预习培优训练教师卷
2.5等边三角形的性质与判定
一、选择题
1．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD相于点O，AE与CD相交于点G，AC与BD相交于点F，连接OC，FG，有下列结论：；；是等边三角形；其中正确结论的个数是




A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2．如图，，OC为内部一条射线，点P为射线OC上一点，，点M、N分别为OA、OB边上动点，则周长的最小值为




A. 3 B. 6 C. D.
3．在如图所示的正方形网格中，已知小正方形的边长为1，与的顶点均为格点，边AC，DF交于点G，下面有四个结论：
≌；
图中阴影部分即与重叠部分的面积为；
为等边三角形；
．
其中结论正确的个数为
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4．下列说法：有一个角是的等腰三角形是等边三角形；如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5．已知，点P在的内部，点与点P关于OB对称，点与点P关于OA对称，则O，，三点所构成的三角形是
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
6．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，是等边三角形，且，，则
A. B. C. D.
二、填空题
7．如图，C为线段AE上一动点不与点A，E重合，在AE同侧分别作正和正，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结以下五个结论：




；；；；恒成立的结论有_________把你认为正确的序号都填上
8．如图，在边长为2的等边中，过边AB上的点P作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ，交AC于D，则DE的长为          ．
9．如图，，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为内一点，且，则的周长的最小值______．






10．已知命题：等边三角形的各个内角都等于这个命题的逆命题是________，这是一个________命题填“真”或“假”．
11．如图，已知，点，，，在射线ON上，点，，，在射线OM上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为______．
12．如图，在中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、若是等边三角形，则______






三、解答题
13．如图，点O是等边内一点，，以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC，AD．

当时，试判断的形状，并说明理由
探究：当为多少度时，是等腰三角形
14．如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题：
如图2，等边的边长为20cm，动点P从B出发，以每秒1cm的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒2cm的速度向终点C运动，两动点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒．
填空：______度；t的取值范围是______；
当t运动多少秒时，是等边三角形；
当t运动多少秒时，是直角三角形；






15．如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点已知，，．

求证：≌；
若，求证：是等边三角形．



16．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且．

求证：；
判断点O是否在的角平分线上，并说明理由．




17．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，≌，，连接OD．
求证：是等边三角形；
当时，试判断的形状，并说明理由；
探究：当为多少度时，是等腰三角形．








18．如图1，在中，，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边，连结CN．
当______时，；
请添加一个条件：______，使得为等边三角形；
如图1，当为等边三角形时，求证：；
如图2，当点M运动到线段BC之外时，其它条件不变，中结论还成立吗？请说明理由．























苏科版数学新八年级暑假预习培优训练教师卷
2.5等边三角形的性质与判定

一、选择题
1．如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，AE与BD相于点O，AE与CD相交于点G，AC与BD相交于点F，连接OC，FG，有下列结论：；；是等边三角形；其中正确结论的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：D
【解析】
【分析】
此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．首先根据等边三角形的性质，得到，，，然后由SAS判定≌，根据全等三角形的对应边相等即可证得正确；又由全等三角形的对应角相等，得到，根据ASA，证得≌，即可得到正确，同理证得，得到是等边三角形，易得正确．
【解答】
解：和均是等边三角形，
，，，
，，
≌，
，故正确；
，
，，
≌，
，故正确；
同理：≌，
，
是等边三角形，

，
，故正确；
所以结论正确．
故选D．  


2．如图，，OC为内部一条射线，点P为射线OC上一点，，点M、N分别为OA、OB边上动点，则周长的最小值为
A. 3
B. 6
C.
D.
答案：B
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置．
作点P关于OA的对称点，点P关于OB的对称点，连结，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段的长即可．
【解答】
解：作点P关于OA的对称点，点P关于OB的对称点，连结2

与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
的最小周长为，即为线段的长，
连结、，则，
又，
是等边三角形，
，
即的周长的最小值是6．
故选：B．  


3．在如图所示的正方形网格中，已知小正方形的边长为1，与的顶点均为格点，边AC，DF交于点G，下面有四个结论：
≌；
图中阴影部分即与重叠部分的面积为；
为等边三角形；
．
其中结论正确的个数为
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：C
【解析】解：，，，
≌，故正确，
，故正确，
，
，
不是等边三角形，故错误，
四边形ADCF是矩形，
，故正确，
故选：C．
根据全等三角形的判定，正方形的性质，等边三角形的判定一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．



4．下列说法：有一个角是的等腰三角形是等边三角形；如果三角形的一个外角平分线平行三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；三角形三边的垂直平分线的交点与三角形三个顶点的距离相等；有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．其中正确的个数有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
答案：C
【解析】
【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定的有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形，正确；
如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形；正确； 
三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；正确； 
有三个角相等的等腰三角形是等边三角形，故错误．
故选C．  


5．已知，点P在的内部，点与点P关于OB对称，点与点P关于OA对称，则O，，三点所构成的三角形是
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定
答案：A
【解析】解：根据轴对称的性质可知，

，，
是等边三角形．
故选：A．
根据轴对称的性质可知：，，即可判断是等边三角形．
主要考查了等边三角形的判定和轴对称的性质．轴对称的性质：
对应点所连的线段被对称轴垂直平分；
对应线段相等，对应角相等．



6．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，是等边三角形，且，，则
A. B. C. D.
答案：D
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是利用外角性质得出，由于是等边三角形，那么，而，那么，而是的外角，可得，同理有，等量代换有，解即可求．
【解答】
解：如图所示，

是等边三角形，
，
，
，
，
同理有，
，
．
故选D．  


二、填空题
7．如图，C为线段AE上一动点不与点A，E重合，在AE同侧分别作正和正，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结以下五个结论：；；；；恒成立的结论有_________把你认为正确的序号都填上
答案：
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
由于和是等边三角形，可知，，，从而证出≌，可推知；
由≌得，得到≌，再根据，内错角相等，两直线平行，可知正确；
同得：≌，即可得出结论；
根据，且，可知，可知错误；
利用等边三角形的性质，求出，再根据平行线的性质得到，由全等三角形的性质可推出，于是，可知正确．
【解答】
解：和为等边三角形，
，，，
，
在和中，
≌，
，，正确；
，
在和中，
≌．
，
，
，
，正确；
同得：≌，
，
正确；
，且，
，故错误；
，
，
是等边三角形，
，
，
，
由，
，
，
正确；
故答案为  ．  


8．如图，在边长为2的等边中，过边AB上的点P作于E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ，交AC于D，则DE的长为          ．

答案：1
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，难度适中．
过P作交AC于F，得出等边三角形APF，推出，根据等腰三角形性质求出，证≌，推出，推出即可．
【解答】
解：如图，过点P作BC的平行线PF，交AC于F，

易证是等边三角形，则，
又于E，则，
易证，则，
故AE，
则．
  


9．如图，，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为内一点，且，则的周长的最小值______．



答案：8
【解析】
【分析】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是做作出对称点．
作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，当点M、N在CD上时，的周长最小，证明是等边三角形，即可解答．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN．

点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
，，；
点P关于OB的对称点为D，
，，，
，

，
是等边三角形，
．
的周长的最小值，
故答案为8．  


10．已知命题：等边三角形的各个内角都等于这个命题的逆命题是________，这是一个________命题填“真”或“假”．
答案：各内角都等于的三角形是等边三角形；真
【解析】
【分析】
本题考查的是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
【解答】
解：
等边三角形每个内角都等于的逆命题是每个内角都等于的三角形是等边三角形，逆命题正确．
故答案为各内角都等于的三角形是等边三角形；真．  


11．如图，已知，点，，，在射线ON上，点，，，在射线OM上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为______．

答案：32
【解析】
【分析】
此题主要考查了等边三角形的性质以及平行线的性质，属于中档题．
根据题意得出，以及，得出，，，进而得出答案．
【解答】
解：是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，
的边长为32．
故答案是32．
  


12．如图，在中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、若是等边三角形，则______



答案：30
【解析】【试题解析】
解：垂直平分BC，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：30．
根据垂直平分线的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得．
本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到．




三、解答题
13．如图，点O是等边内一点，，以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC，AD．
当时，试判断的形状，并说明理由
探究：当为多少度时，是等腰三角形
答案：解：是直角三角形．
理由如下：
和是等边三角形，
，，．
．
在和中，

．
．
，
．
又，
．
是直角三角形．
设，，，，
则，，，
，即．
分三种情况讨论：
要使，需，

要使，需，
．

要使，需，
．
综上所述，当为或或时，是等腰三角形．
【解析】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
由等边三角形的判定可证是等边三角形，可得，再证出，求出的度数，即可解答．
先求出，的度数，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定定理计算即可．


14．如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题：
如图2，等边的边长为20cm，动点P从B出发，以每秒1cm的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒2cm的速度向终点C运动，两动点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒．
填空：______度；t的取值范围是______；
当t运动多少秒时，是等边三角形；
当t运动多少秒时，是直角三角形；

答案：解：，；
当是等边三角形时，，
，
解得，，
当t运动10秒时，是等边三角形；
由结论可知，当或时，是直角三角形，
时，，
解得，，
时，，
解得，，
当t运动或秒时，是直角三角形．
【解析】
解：是等边三角形，
，，
点P从B出发，以每秒1cm的速度向终点A运动，
，
故答案为：60；；
见答案；
见答案．
【分析】
根据等边三角形的性质解答；
根据等边三角形的性质列出方程，解方程即可；
分或两种情况，根据题意列出方程，解方程即可．
本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的判定，掌握等边三角形的判定、直角三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．  


15．如图，点E，F是线段AB上的两个点，CE与DF交于点已知，，．

求证：≌；
若，求证：是等边三角形．
答案：证明：，
，
即．
，，
≌．
≌，
，
，
，
是等边三角形有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
证得根据SAS可得结论；
由≌，可得，则结论得证．



16．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且．

求证：；
判断点O是否在的角平分线上，并说明理由．
答案：由可得，再由，，进一步得到，从而得到  点O在的角平分线上．连接OA，证明≌即可．
【解析】略



17．如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，≌，，连接OD．
求证：是等边三角形；
当时，试判断的形状，并说明理由；
探究：当为多少度时，是等腰三角形．
答案：解：≌，
．
，
是等边三角形．

是．
理由如下：
是等边三角形，
，
≌，，
，
，
是．

是等边三角形，
．
，，
，
，
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，
，
．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
【解析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得证；
根据全等易得，结合中的结论可得为，那么可得所求三角形的形状；
根据题中所给的全等及的度数可得的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况．



18．如图1，在中，，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边，连结CN．
当______时，；
请添加一个条件：______，使得为等边三角形；
如图1，当为等边三角形时，求证：；
如图2，当点M运动到线段BC之外时，其它条件不变，中结论还成立吗？请说明理由．

答案：；

与是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌，
；
成立，理由如下；
与是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
≌，
．
【解析】解：当时，
，
；
故答案为：30；
添加一个条件，可得为等边三角形；
故答案为：；
见答案
见答案
根据含角的直角三角形的性质解答即可；
利用等边三角形的判定解答；
利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．
此题考查三角形的综合题，关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答．