数学八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性同步达标检测题

苏科版数学新八年级暑假预习培优训练

2.5直角三角形的性质

一、选择题

1．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点若的面积为10，，则的面积为

A. 25 B. 30 C. 35 D. 40

2．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成角，如图所示，这棵树在折断前的高度是 

A. 10m B. 15m C. 5m D. 20m

3．如图，在中，，CD是高，，，则   

A. 2             B. 3          C. 4            D. 6

4．如图，在中，于F，于E，M为BC的中点，，，则的周长是

A. 13         B. 18          C. 15            D. 21

5．如图，中，，点D在CB上，E为AB的中点，AD，CE相交于点F，且若，则

A.            B.            C.              D.

6．如图，在中，，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有

；；；．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题

7．如图，已知中，，，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得，则CD长度的取值范围是______．

8．如图，在中，，，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若，则______．

9．如图，中，，，，AD平分，点P，Q分别是AB，AD上的动点，则的最小值是______．

10．如图，中，，，于D，CE是的平分线，且交AD于P点．如果，则AB的长为______．

11．如图：在中，，D是BC上一点，E是AC上一点，，若，，则下列结论：；平分；；中，正确的是______．

12．如图，BE、CF分别是的高，M为BC的中点，，，则的周长是______．

三、解答题

13．如图，中，，，，，求BC的长．

14．已知：如图，在中，，D为BC边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F．

求证：；若，，求的周长．

15．已知：如图，是等边三角形，D是AC边上一点，DE平行AB交BC于点E．

求证：是等边三角形．

连接BD，延长BC至点F，使得，如图求证：．

16．如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西，以15海里时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．

17．如图，边长为4cm的等边中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点端点除外，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接AQ，CP交于点M，在点P，Q运动的过程中．

求证：≌；

的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由；

连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，是直角三角形？

18．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点不与A，B重合，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点，则CQ为斜边上的中线它具有“斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质。

如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__，QE与QF的数量关系式__；

如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

如图3，当点P在线段或的延长线上时，此时中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

苏科版数学新八年级暑假预习培优训练教师卷

2.5直角三角形的性质

一、选择题

1．如图，中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点若的面积为10，，则的面积为

A. 25 B. 30 C. 35 D. 40

答案：B

【解析】

【分析】

本题考查了基本作图，三角形的面积，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，关键是根据角平分线的画法和性质解答．根据角平分线的性质和含30度角的直角三角形得出，即可解答．

【解答】

解：由题意可得：BD是的角平分线，

，在中，，

，，

，

，

设点D到AB边的距离为h，

，

，

，

．

故选B．  

2．如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成角，如图所示，这棵树在折断前的高度是 

A. 10m B. 15m C. 5m D. 20m

答案：B

【解析】

【分析】

本题考查含30度角的直角三角形，关键是应用所对的直角边是斜边的一半根据题意可以得直角三角形中，较短的直角边是5，再根据所对的直角边是斜边的一半，得斜边是10，从而求出大树的高度．

【解答】

解：如图，

在中，，，

，

大树的高度为．

故选B．  

3．如图，在中，，CD是高，，，则   

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

答案：A

【解析】

【分析】

求出，根据含角的直角三角形性质得出，，代入求出即可．

本题考查了三角形内角和定理，含角的直角三角形性质的应用，能根据含角的直角三角形性质得出和是解此题的关键．

【解答】

解：是高，

，

，，

，，

，

，

故选：A．  

4．如图，在中，于F，于E，M为BC的中点，，，则的周长是

A. 13

B. 18

C. 15

D. 21

答案：A

【解析】解：在中，于F，于E，M为BC的中点，，

，

，

的周长，

故选：A．

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得到，已知BC的长，则不难求得MF与ME的长，已知EF的长，则不难求出三角形的周长．

此题主要考查直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

5．如图，中，，点D在CB上，E为AB的中点，AD，CE相交于点F，且若，则

A.

B.

C.

D.

答案：C

【解析】

【分析】

此题主要考查了直角三角形的中线等于斜边的一半和三角形的内角和与外角性质的运用．在直角中，由，可以推出，然后利用三角形的外角和内角的关系即可求出．

【解答】

解：，，，

，，．

，，

，

．

故选C．

6．如图，在中，，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有

；；；．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

答案：C

【解析】

【分析】

本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．

根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，故正确；根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到，故正确；同理得到，故正确；由于BC不一定等于BE，于是得到不一定等于，故错误．

【解答】

解：，

，

，

，

，故正确；

是斜边AB上的中线，

，

，

，故正确；

，

，

，

，

，故正确；

不一定等于BE，

不一定等于，故错误；

故选C．  

二、填空题

7．如图，已知中，，，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得，则CD长度的取值范围是______．

答案：

【解析】

【分析】

本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．

分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．

【解答】

解：当点D与点E重合时，，此时不成立，

当点D与点A重合时，

，，

，

，，

，，

，

，

故答案为：．  

8．如图，在中，，，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若，则______．

答案：1

【解析】解：在中，，，

，

连接AN，AM，

的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，

，，

，，

，，

，

是等边三角形，

，

，

在中，，，，

，

故答案为：1．

连接AN，AM，根据线段垂直平分线性质求出，，根据等腰三角形的性质求出，，，，求出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再求出NF即可．

本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．

9．如图，中，，，，AD平分，点P，Q分别是AB，AD上的动点，则的最小值是______．

答案：4

【解析】

【分析】

本题考查的是含30度角的直角三角形的性质、轴对称最短路线问题，掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．作于F，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质求出BC，确定最短路线，计算即可．

【解答】

解：作于F，

平分，，，

，

，，

，

当Q与D重合时，的值最小，

，

故答案为4．

10．如图，中，，，于D，CE是的平分线，且交AD于P点．如果，则AB的长为______．

答案：6

【解析】解：中，，，

．

又是的平分线，

，

，

，．

又，

，

则，

的等边三角形，则，

在直角中，，则，

，

．

故答案是：6．

易得的等边三角形，则，在直角中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EC的长度，然后在等腰中得到BE的长度，则易求AB的长度．

本题考查了含30度角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角定理得到是解题的关键．

11．如图：在中，，D是BC上一点，E是AC上一点，，若，，则下列结论：；平分；；中，正确的是______．

答案：

【解析】解：，

，

在和中，

，

≌，

；

所以正确；

，，，

平分；

所以正确；

是直角三角形，

；

所以错误；

在和中，

，

在≌，

，

；

．

所以正确．

所以正确的是．

故答案为：．

根据全等三角形判定和性质，直角三角形性质，角平分线性质逐一进行证明即可判断．

本题考查了全等三角形判定和性质，直角三角形性质，角平分线性质等．解题关键利用角平分线性质求解．

12．如图，BE、CF分别是的高，M为BC的中点，，，则的周长是______．

答案：13

【解析】解：、CF分别是的高，M为BC的中点，，

在中，，

在中，，

又，

的周长．

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长就不难了．

本题主要利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质．

三、解答题

13．如图，中，，，，，求BC的长．

答案：解：，，

，，

，

，

，

，

，，，

，

．

【解析】根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出、度数，求出，求出DC，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．

本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出BD和DC长．

14．已知：如图，在中，，D为BC边的中点，过点D作，，垂足分别为E，F．

求证：；若，，求的周长．

答案：证明：，，

，

，

，

是BC的中点，

，

在和中，

，

≌，

；                        

解：，，

为等边三角形，

，

，

，

，

，

，

．

的周长为12．

【解析】此题主要考查学生对等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．

根据，，，求证再利用D是BC的中点，求证≌即可得出结论；

根据，，得出为等边三角形．然后求出，再根据题目中给出的已知条件即可算出的周长．

15．已知：如图，是等边三角形，D是AC边上一点，DE平行AB交BC于点E．

求证：是等边三角形．

连接BD，延长BC至点F，使得，如图求证：．

答案：证明：是等边三角形，

，

，

，，

，

是等边三角形；

证明：是等边三角形，

，，

，

，

，

在和中

≌，

，

，

，

又，，

，

．

【解析】根据题目中的条件和平行线的性质，可以得到，从而可以证明结论成立；

根据题目中的条件和中的结论，可以证明≌，再根据等边三角形的性质，即可证明结论成立．

本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

16．如图，上午8时，一条船从A处测得灯塔C在北偏西，以15海里时的速度向正北航行，9时30分到达B处，测得灯塔C在北偏西，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C的正东方向D处．

答案：解：为的外角，，，

，

，

，

，

在中，，

，

从B到D用的时间为小时分钟，

则当船继续航行，10时15分到达灯塔C在正东方向．

【解析】根据三角形的外角的性质求出，得到BC的长，根据直角三角形的性质求出BD，计算即可．

本题考查的是直角三角形的性质、方向角，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．

17．如图，边长为4cm的等边中，点P、Q分别是边AB、BC上的动点端点除外，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接AQ，CP交于点M，在点P，Q运动的过程中．

求证：≌；

的大小是否发生变化？若无变化，求的度数；若有变化，请说明理由；

连接PQ，当点P，Q运动多少秒时，是直角三角形？

答案：证明：是等边三角形，

，，

点P、Q的速度相同，

，

在和中，

，

≌；

解：的大小不发生变化，

≌，

，

；

解：设点P，Q运动x秒时，是直角三角形，

则，，

当时，

，

，即，

解得，，

当时，

，

，即，

解得，，

当点P，Q运动秒或秒时，是直角三角形．

【解析】根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明；

根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质解答；

分和两种情况，根据直角三角形的性质计算即可．

本题考查的是全等三角形的判定、直径三角形的性质，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

18．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点不与A，B重合，分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点，则CQ为斜边上的中线它具有“斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质。

如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是__，QE与QF的数量关系式__；

如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

如图3，当点P在线段或的延长线上时，此时中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

答案：，

证明：如图2，延长FQ交AE于D，

为AB中点，

，

，，

，

，

在和中

，

≌，

，

，

是直角三角形DEF斜边上的中线，

，

即；

中的结论仍然成立；

证明：如图3，延长EQ、FB交于D，

为AB中点，

，

，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

是斜边DE上的中线，

．

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用．

证明≌即可；

证≌，推出，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可；

证≌，推出，根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．

【解答】

解：，理由如下：

为AB中点，

，

，，

，，

在和中

，

≌，

，

故答案为；；

见答案；

见答案．