江苏省镇江市联考2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷 含解析

这是一份苏科版九年级上册本册综合随堂练习题，共26页。试卷主要包含了若＝，则＝　 　，一组数据，已知点等内容，欢迎下载使用。
1．若＝，则＝ ．
2．一组数据：75，80，80，85，90的中位数是 ．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是 °．
4．已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的一个实数根，则代数式2019﹣a+b的值为 ．
5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，，DE＝6．则BC＝ ．
6．当实数m满足 条件时，一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
7．已知点（﹣1，m）、（2，n ）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a 0（用“＞”或“＜”连接）．
8．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为 m．
9．已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为8cm，它的侧面积为 cm2．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：
则a+b+c＝ ．
11．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+k﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围为 ．
12．如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是AC上的一点，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点C落在BC边上的点E处，连接AE、DE，当∠CDE＝∠AEB时，AE的长是 ．
二．选择题（共5小题）
13．一元二次方程x2+2x+1＝0的根的情况（ ）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
14．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．极差
15．下列关于二次函数y＝﹣x2﹣2x+3说法正确的是（ ）
A．当x＝﹣1时，函数最大值4
B．当x＝﹣1时，函数最大值2
C．将其图象向上平移3个单位后，图象经过原点
D．将其图象向左平移3个单位后，图象经过原点
16．如图，P为▱ABCD边AD的中点，E、F分别是PB、PC上的点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
17．如图，AB是⊙O的弦，AB＝a，C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点D、E分别是AB、BC上的点，，则DE的最大值是（ ）
A．B．C．D．
三．解答题（共8小题）
18．解下列方程：
（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9；
（2）2y2+4y＝y+2．
19．甲口袋有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2，乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3、4、5，从这两个口袋中各随机地取出1个球．
（1）用“树状图法”或“列表法”表示所有可能出现的结果；
（2）取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是多少？
20．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员甲测试成绩表
（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；
（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.8、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
21．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．
（1）∠CPD＝ °；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．
23．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．
24．已知二次函数y＝．
（1）与x轴的交点坐标是 ．
（2）将y＝．化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标；
（3）在坐标轴中画出此抛物线的大致图象；
（4）写出不等式＞1的解集．
25．为积极绘就我市“一福地、四名城”建设的宏伟蓝图，某镇大力发展旅游业，一店铺专门售卖地方特产“曲山老鹅”，以往销售数据表明，该“曲山老鹅”每天销售数量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数y＝﹣x+110，每只“曲山老鹅”各项成本合计为20元/只．
（1）该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
（2）该店店主关心教育，决定今后的一段时间从每天的销售利润中捐出200元给当地学校作为本学期优秀学生的奖励资金，为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围．
26.如图，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，点E在AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE＝2，求△ABC的面积．
27.已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），顶点为D，点C是直线l：y＝x+5与x轴的交点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是直线l在第三象限上的点，连接EA、EB，当△ECA∽△BCE时，求E点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AD、BD，在直线DE上是否存在点P，使得∠APD＝∠ADB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题）
1．若＝，则＝ 2 ．
【分析】根据等式的性质，可用b表示a，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由＝，得
a＝．
＝＝2，
故答案为：2．
2．一组数据：75，80，80，85，90的中位数是 80 ．
【分析】根据中位数的概念进行求解即可．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：75，80，80，85，90，
最中间的数是80，
则中位数是80；
故答案为80．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是 50 °．
【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可知∠ACB＝∠AOB，从而可求解．
【解答】解：根据圆周角定理，可知
∠ACB＝∠AOB
而∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝50°
故答案为50．
4．已知x＝﹣1是关于x的一元二次方程x2+ax+b＝0的一个实数根，则代数式2019﹣a+b的值为 2018 ．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+ax+b＝0得﹣a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+ax+b＝0得1﹣a+b＝0，
所以﹣a+b＝﹣1，
所以2019﹣a+b＝2019﹣1＝2018．
故答案为2018．
5．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，，DE＝6．则BC＝ ．
【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴BC＝．
故答案为：．
6．当实数m满足 m＞﹣1 条件时，一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根．
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
【解答】解：由题意知△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，即4+4m＞0，
解得：m＞﹣1，
故答案为：m＞﹣1．
7．已知点（﹣1，m）、（2，n ）在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a ＞ 0（用“＞”或“＜”连接）．
【分析】二次函数的性质即可判定．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣1，
∴该抛物线对称轴为x＝1，
∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，且m＞n，
∴a＞0．
故答案为：＞．
8．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为 10.5 m．
【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝10.5（米）．
故答案为10.5．
9．已知圆锥的底面半径为6cm，母线长为8cm，它的侧面积为 48π cm2．
【分析】根据圆锥的侧面积等于展开以后扇形的面积以及扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥母线长＝8cm，底面半径r＝6cm，
则圆锥的侧面积为S＝πrl＝π×6×8＝48πcm2．
故答案为：48π．
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：
则a+b+c＝ ﹣2 ．
【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝4，则可判断当x＝1和x＝7时函数值相等，所以x＝1时，y＝﹣2，然后把x＝1时，y＝﹣2代入解析式即可得到a+b+c的值．
【解答】解：∵x＝3，y＝3.5；x＝5，y＝3.5，
∴抛物线的对称轴为直线x＝4，
∴当x＝1和x＝7时函数值相等，
而x＝7时，y＝﹣2，
∴x＝1时，y＝﹣2，
即a+b+c＝﹣2．
故答案为﹣2．
11．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+k﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围为 k＜﹣1 ．
【分析】把关于x的一元二次方程ax2+bx+k﹣1＝0没有实数根看作为抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣k+1没有交点，结合图象得到当﹣k+1＞2时，直线y＝﹣k+1与抛物线y＝ax2+bx没有交点，从而得到k的范围．
【解答】解：把关于x的一元二次方程ax2+bx+k﹣1＝0没有实数根看作为抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣k+1没有交点，
而当﹣k+1＞2时，直线y＝﹣k+1与抛物线y＝ax2+bx没有交点，
所以当k＜﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+k﹣1＝0没有实数根．
故答案为k＜﹣1．
12．如图，在Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是AC上的一点，将△ABC沿着过点D的一条直线翻折，使点C落在BC边上的点E处，连接AE、DE，当∠CDE＝∠AEB时，AE的长是 5 ．
【分析】利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出ED平分∠AEC，设DA＝x，则CD＝8﹣x，利用三角函数求出ED的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【解答】解：由勾股定理可得BC＝10．
根据折叠的性质可知∠C＝∠DEC，
∵∠DEC+∠C+∠EDC＝180°，∠DEC+∠AED+∠AEB＝180°，
已知∠EDC＝∠AEB，
∴∠AED＝∠DCE＝∠DEC，即ED平分∠AEC，
设DA＝x，则CD＝DE＝8﹣x，EC＝（8﹣x），
∵∠EAD＝∠CAE，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△AEC，
∴＝＝，
∴AE＝＝2，
∴＝，
∴x＝，
∴AE＝2＝5．
故答案为：5．
二．选择题（共5小题）
13．一元二次方程x2+2x+1＝0的根的情况（ ）
A．有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【分析】先求出△的值，再根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数；△＜0⇔方程没有实数根，进行判断即可．
【解答】解：∵△＝22﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x2+2x+1＝0有两个相等的实数根；
故选：B．
14．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）
A．众数B．中位数C．平均数D．极差
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：B．
15．下列关于二次函数y＝﹣x2﹣2x+3说法正确的是（ ）
A．当x＝﹣1时，函数最大值4
B．当x＝﹣1时，函数最大值2
C．将其图象向上平移3个单位后，图象经过原点
D．将其图象向左平移3个单位后，图象经过原点
【分析】将抛物线解析式转化为顶点式，然后利用二次函数的性质对四个选项逐一判断即可得到答案．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4．
A、抛物线顶点坐标是（﹣1，4），且开口方向向下，则当x＝﹣1时，函数最大值4，故本选项正确．
B、抛物线顶点坐标是（﹣1，4），且开口方向向下，则当x＝﹣1时，函数最大值4，故本选项错误．
C、将其图象向上平移3个单位后得到y＝﹣（x+1）2+7，则当x＝0时，y＝6，即该函数图象不经过原点，故本选项错误．
D、将其图象向左平移3个单位后得到y＝﹣（x+4）2+4，则当x＝0时，y＝﹣18，即该函数图象不经过原点，故本选项错误．
故选：A．
16．如图，P为▱ABCD边AD的中点，E、F分别是PB、PC上的点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】证明△PEF∽△PBC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵，∠EPF＝∠BPC，
∴△PEF∽△PBC，
∴＝（）2＝，
∵P为▱ABCD边AD的中点，
∴S△PAB＝S△PBC，
∴＝，
故选：A．
17．如图，AB是⊙O的弦，AB＝a，C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点D、E分别是AB、BC上的点，，则DE的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件可以证明△BDE∽△BAC，所以当DE最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
【解答】解：∵，
∴．
∵∠ABC＝∠DBE，
∴△BDE∽△BAC，
∴．
∴当AC取得最大值时，DE就取得最大值，
当AC是直径时，最大，即AC′最大，
如图，DE′最大．
∵∠AC′B＝∠ACB＝45°，AB＝a，
∴AC′＝，
∴DE′＝AC′＝，
故选：D．
三．解答题（共8小题）
18．解下列方程：
（1）2（x﹣3）2＝x2﹣9；
（2）2y2+4y＝y+2．
【分析】（1）把方程变形为2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）把方程变形为2y（y+2）﹣（y+2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
x﹣3＝0或2x﹣6﹣x﹣3＝0，
所以x1＝3，x2＝9；
（2）2y（y+2）﹣（y+2）＝0，
（y+2）（2y﹣1）＝0，
y+2＝0或2y﹣1＝0，
所以y1＝﹣2，y2＝．
19．甲口袋有2个相同的小球，它们分别写有数字1和2，乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3、4、5，从这两个口袋中各随机地取出1个球．
（1）用“树状图法”或“列表法”表示所有可能出现的结果；
（2）取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是多少？
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的树状图求得取出的两个小球上所写数字之和是偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
则共有6种等可能的结果；
（2）∵取出的两个小球上所写数字之和是偶数的有3种情况，
∴取出的两个小球上所写数字之和是偶数的概率是：＝．
20．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员甲测试成绩表
（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；
（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.8、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）
【分析】（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是7分；
（2）易知＝7，＝7，＝6.3，根据方差的意义不难判断．
【解答】解：（1）甲运动员测试成绩中7出现最多，故甲的众数为7；
甲成绩重新排列为：5、6、7、7、7、7、7、8、8、8，
∴甲的中位数为＝7，
∴甲测试成绩的众数和中位数都是7分；
（2）＝×（7+6+8+7+7+5+8+7+8+7）＝7，
＝×（6+6+7+7+7+7+7+7+8+8）＝7，
＝×（5×2+6×4+7×3+8×1）＝6.3，
∵＝，S甲2＞S乙2，
∴选乙运动员更合适．
21．关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，根据判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
（2）由m的取值范围，可求得其最小整数值，代入方程，解方程即可．
【解答】解：
（1）∵方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣1）2+4（m+2）＞0，
解得；
（2）∵，
∴m的最小整数为﹣2，
∴方程为x2﹣x＝0，
解得x＝0或x＝1．
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．
（1）∠CPD＝ 45 °；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．
【分析】（1）连接BD，根据正方形ABCD内接于⊙O，可得∠CPD＝∠DBC＝45°；
（2）作CH⊥DP于H，因为CP＝2，∠CPD＝45°，可得CH＝PH＝2，因为DC＝4，所以DH＝，即DP＝PH+DH＝2+2．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
故答案为：45；
（2）如图，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．
23．如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．
（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）若AB＝3，AD＝7，BE＝2，求FC的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC，根据平行线的性质得到∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF，由相似三角形的性质即可证得结论；
（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，可得，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝7，所以EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，代入计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F，
∴△ABE∽△ECF，
（2）解：∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝7．
∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5．
∴，
∴．
24．已知二次函数y＝．
（1）与x轴的交点坐标是 （1，0），（5，0） ．
（2）将y＝．化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并写出顶点坐标；
（3）在坐标轴中画出此抛物线的大致图象；
（4）写出不等式＞1的解集．
【分析】（1）通过解方程，＝0得抛物线与x轴的交点坐标；
（2）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（3）利用描点法画出二次函数图象；、
（4）先求出函数值为1对应的自变量的值，然后几何图象写出抛物线在直线y＝1上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，＝0，解得x1＝1，x2＝5；
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0）；
故答案为（1，0），（5，0）；
（2）∵y＝（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣2）；
（3）如图，
（4）解方程（x﹣3）2﹣2＝1得x1＝3﹣，x2＝3+，
不等式＞1的解集为x＜3﹣或x＞3+．
25．为积极绘就我市“一福地、四名城”建设的宏伟蓝图，某镇大力发展旅游业，一店铺专门售卖地方特产“曲山老鹅”，以往销售数据表明，该“曲山老鹅”每天销售数量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数y＝﹣x+110，每只“曲山老鹅”各项成本合计为20元/只．
（1）该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
（2）该店店主关心教育，决定今后的一段时间从每天的销售利润中捐出200元给当地学校作为本学期优秀学生的奖励资金，为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围．
【分析】（1）直接利用总利润＝销量×每只利润，进而利用配方法求出函数最值；
（2）利用w﹣200＝4000，进而结合二次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设利润为w，
由题意可得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+110）
＝﹣x2+120x﹣2200
＝﹣（x﹣120）2+5000，
则该店铺“曲山老鹅”销售单价x定为120元时，每天获利最大，最大利润是5000元；
（2）由题意可得：w﹣200＝﹣（x﹣120）2+5000﹣200＝4000，
解得：x1＝80，x2＝160，
故为了保证该店捐款后每天剩余利润不低于4000元，试确定该“曲山老鹅”销售单价的范围为：80≤x≤160．
26.如图，△ABC中，AB＝AC，AB是⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，点E在AC上，且∠ADE＝∠B．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，CE＝2，求△ABC的面积．
【考点】M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质．
【专题】4：解题方法．
【分析】（1）连接OD，证明OD⊥DE即可．因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB＝90°，因此∠B+∠BAD＝90°．因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO．因为∠ADE＝∠B，所以∠ADO+∠ADE＝90°，即∠ODE＝90°．可证DE是⊙O的切线．
（2）由AB＝AC，∠ADB＝90°可得点D是BC的中点，所以△ABC的面积是△ADC面积的2倍．因为点O是AB的中点，点D是BC的中点，可得AC＝2DO＝10，∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°．因为CE＝2，所以AE＝8，根据射影定理DE2＝AE•CE，所以DE＝4，所以S△ABC＝2S△ADC＝2×（×AC•DE）＝40．
【解答】解：（1）
连接OD．
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝90°
∴∠B+∠BAD＝90°
∵AO＝DO
∴∠BAD＝∠ADO
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADO+∠ADE＝∠BAD+∠B＝90°，
即∠ODE＝90°．
∴OD⊥DE
∵OD是⊙O的半径
∴DE是⊙O的切线．
（2）由（1）知，∠ADB＝90°．
∴AD⊥BC
∵AB＝AC
∴AD是△ABC的中线
∴点D是BC的中点
又∵OB＝OA
∴DO是△ABC的中位线
∵⊙O的半径为5
∴AC＝2DO＝10
∵CE＝2
∴AE＝AC﹣CE＝8
∵DO是△ABC的中位线
∴DO∥AC
∴∠EDO+∠AED＝180°
∴∠AED＝90°
∴∠AED＝∠DEC＝90°
∴∠EDC+∠C＝90°
∵ADC＝180°﹣∠ADB＝90°
∴∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠C
∵∠AED＝∠DEC，∠ADE＝∠C
∴△AED～△DEC
∴即
∴DE＝4
∴S△ADC＝AC•DE＝20
∵AD是△ABC的中线
∴S△ABC＝2S△ADC＝40
27.已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），顶点为D，点C是直线l：y＝x+5与x轴的交点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点E是直线l在第三象限上的点，连接EA、EB，当△ECA∽△BCE时，求E点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接AD、BD，在直线DE上是否存在点P，使得∠APD＝∠ADB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【专题】537：函数的综合应用．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点A，B的坐标利用相似三角形的性质可求出EC的值，过点E作EF⊥x轴于点F，则△CEF为等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质可求出CE，EF的值，进而可得出点E的坐标；
（3）利用配方法可求出点D的坐标，进而可得出BD的长度，结合点E的坐标可得出直线DE的函数表达式为y＝﹣4，过点A作AM⊥BD于点M，过点A作AN⊥直线DE于点N，利用面积法可求出AM的值，由∠APD＝∠ADB结合正切的定义可求出PN的值，再结合点N的坐标可得出点P的坐标，此题得解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得：
，解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）当y＝0时，x+5＝0，
解得：x＝﹣5，
∴点C的坐标为（﹣5，0）．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AC＝4，BC＝8．
∵△ECA∽△BCE，
∴∠ECA＝∠BCE，＝，即＝，
∴EC＝4或EC＝﹣4（舍去）．
过点E作EF⊥x轴于点F，如图1所示．
∵直线l的函数表达式为y＝x+5，
∴△CEF为等腰三角形，
∴CE＝EF＝4，
∴OF＝5+4＝9，EF＝4，
∴点E的坐标为（﹣9，﹣4）．
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点D的坐标为（1，﹣4），
∴AD＝BD＝＝2．
由（2）可知：点E的坐标为（﹣9，﹣4），
∴直线DE的函数表达式为y＝﹣4．
过点A作AM⊥BD于点M，过点A作AN⊥直线DE于点N，如图2所示．
∵点D的坐标为（1，﹣4），点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），
∴S△ABD＝×[3﹣（﹣1）]×4＝8，
∴AM＝＝＝，
∴DM＝＝．
∵∠APD＝∠ADB，
∴tan∠APD＝tan∠ADB，即＝，
∴＝，
∴PN＝3．
又∵点N的坐标为（﹣1，﹣4），
∴点P的坐标为（﹣4，﹣4）或（2，﹣4）．
综上所述：在直线DE上存在点P（﹣4，﹣4）或（2，﹣4），使得∠APD＝∠ADB．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的性质、等腰直角三角形、三角形的面积以及正切的定义，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数的表达式；（2）利用相似三角形的性质求出EC的长；（3）利用等角的正切相等，求出PN的长．
x
……
3
5
7
……
y
……
3.5
3.5
﹣2
……
测试序号
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8
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成绩（分）
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8
7
7
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