还剩33页未读，
继续阅读
江苏省镇江市丹阳市2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷 解析版
展开
这是一份苏科版九年级上册本册综合精练，共36页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1．已知＝，那么＝ ．
2．如图，DE∥BC，AE＝DE＝1，BC＝3，则线段CE的长为 ．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，AD＝1，则AB＝ ．
4．若圆锥的母线长为8cm，其底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π）．
5．已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝ ．
6．一组数据1、2、3、4、5的方差是 ．
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两不等实根，则a的取值范围是 ．
8．抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标是 ．
9．把函数y＝x2的图象先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，则平移后的图象的函数表达式是 ．
10．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取﹣1、4、6时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”号连接）．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为 ．
12．若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠1 D．m≠﹣1
14．（3分）一枚质地均匀的普通骰子，抛掷6次没有1次点数1朝上，那么第7次抛掷，点数1朝上的概率是（ ）
A． B． C．1 D．0
15．（3分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（3分）如图，已知▱ABCD，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连结CG，DG．若▱ABCD的面积为30，则△CDG的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
则代数式﹣（4a+2b+c）的值为（ ）
A． B． C．9 D．15
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）用适当的方法解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣5＝0．
20．（6分）如图，转盘被等分成6个扇形，每个扇形上依次标有数字1，2，3，4，5，6．在游戏中特别规定：当指针指向边界时，重新转动转盘．
（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于3的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的概率．
21．（6分）小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支，他连续7个月估计了每个月的煤气使用数据，并记录如表：
日期
6月1日
7月1日
8月1日
9月1日
10月1日
11月1日
12月1日
使用量（方）
9.51
10.12
9.47
9.63
10.12
10.12
11.03
（1）求这7个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数；
（2）若煤气每方3元，估计小强家一年的煤气费为多少元．
22．（6分）如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为36m，设垂直于墙的一边长为xm．
（1）若所围的面积为160m2，求x的值？
（2）求当x的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？
23．（6分）已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为 ；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 ．
24．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA＝1，求弦AC的长．
25．（8分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA•BE；
（2）求证：△CDE∽△CBD；
（3）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
26．（8分）【发现】
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝ °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？
【研究】
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 ．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝ °，∠BPA＝ °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ．
27．（11分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．
（1）根据以上材料填空：
①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为 相似（填“顺”或“逆”，下同）；
②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽ ，它们互为 相似；
③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽ ，它们互为 相似；
（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；
（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有 条．
28．（11分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线C2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点P（m，0）为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线C1于点M，交抛物线C2于点N．
①请用含m的代数式分别表示点M、N的坐标；
②设四边形OMEN的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S的最大值以及此时m的值；
③在点P移动的过程中，若CM＝DN≠0，则m的值为 ．
（3）如图（2），点Q（0，n）为y轴上一动点（0＜n＜4），过点Q作x轴的平行线依次交两条抛物线于点R、S、T、U，则TU﹣RS＝ ．
2020-2021学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1．已知＝，那么＝ 1 ．
【分析】直接利用已知进而变形，代入原式求出答案．
【解答】解：∵＝，
∴3a＝2b，
∴＝＝1．
故答案为：1．
2．如图，DE∥BC，AE＝DE＝1，BC＝3，则线段CE的长为 2 ．
【分析】由平行线的性质可得∠ADE＝∠B，由AE＝DE＝1，可得∠ADE＝∠DAE，易得∠DAE＝∠B，可得AC＝BC，易得结果．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵AE＝DE＝1，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠B，BC＝3，
∴AC＝BC＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，AD＝1，则AB＝ 2 ．
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AB＝2AD＝2×1＝2．
故答案为2．
4．若圆锥的母线长为8cm，其底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为 16π cm2（结果保留π）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×8×2÷2＝16π（cm2）．
故答案为：16π．
5．已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解，把x＝1代入方程x2+2mx﹣3＝0得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+2mx﹣3＝0得1+2m﹣3＝0，解得m＝1．
故答案为：1．
6．一组数据1、2、3、4、5的方差是 2 ．
【分析】根据方差公式计算即可．S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
【解答】解：＝（1+2+3+4+5）÷5＝3，
S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．
故填2．
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两不等实根，则a的取值范围是 a＜1 ．
【分析】根据根的判别式得到△＝4﹣4a＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝4﹣4a＞0，
解得a＜1．
故答案为a＜1．
8．抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标是 （1，0） ．
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
9．把函数y＝x2的图象先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，则平移后的图象的函数表达式是 y＝（x+2）2+1 ．
【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得y＝（x+2）2+1．
故答案为y＝（x+2）2+1．
10．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取﹣1、4、6时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 （用“＜”号连接）．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y1，y2，y3的值，结合a＞0，即可得出4a+c＜9a+c＜16a+c，即y2＜y1＜y3．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝a（﹣1﹣2）2+c＝9a+c；
当x＝4时，y2＝a（4﹣2）2+c＝4a+c；
当x＝6时，y3＝a（6﹣2）2+c＝16a+c．
∵a＞0，
∴4a+c＜9a+c＜16a+c，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为 ．
【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的的性质，即可得到BE的长，再根据△ABC∽△FBE，即可得到EF的长．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴由勾股定理得，AB＝，
由题可得，AD＝AC＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
由题可得，MN垂直平分BD，
∴BE＝2，∠BEF＝∠ACB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBE，
∴，
即，
解得EF＝，
故答案为：．
12．若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是 ﹣6 ．
【分析】设y＝2m2+mn+m﹣n，由m+n＝2得n＝2﹣m，再由二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：设y＝2m2+mn+m﹣n，
∵m+n＝2，
∴n＝2﹣m，
∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，
此为一个二次函数，开口向上，有最小值，
当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，
故答案为：﹣6．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠1 D．m≠﹣1
【分析】根据一元二次方程定义可得m+1≠0，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故选：D．
14．（3分）一枚质地均匀的普通骰子，抛掷6次没有1次点数1朝上，那么第7次抛掷，点数1朝上的概率是（ ）
A． B． C．1 D．0
【分析】根据抛掷一枚质地均匀的普通骰子，朝上一面共有6种等可能结果，其中点数1朝上的只有1种结果，再利用概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的普通骰子，朝上一面共有6种等可能结果，其中点数1朝上的只有1种结果，
∴第7次抛掷，点数1朝上的概率是，
故选：A．
15．（3分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．
【解答】解：∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根据勾股定理，
OA＝＝5．
故选：B．
16．（3分）如图，已知▱ABCD，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连结CG，DG．若▱ABCD的面积为30，则△CDG的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】连接BG，根据位似变换的概念得到点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接BG，
∵▱ABCD和▱EBFG是以B为位似中心的位似图形，
∴点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，面积为30，
∴△CDB的面积为15，
∵FG∥CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴＝＝，
∴＝，
∴△CDG的面积＝15×＝5，
故选：C．
17．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
则代数式﹣（4a+2b+c）的值为（ ）
A． B． C．9 D．15
【分析】由当x＝0和x＝3时y值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x＝，进而可得出﹣的值，由x＝1时y＝5，可得出当x＝2时y＝5，即4a+2b+c＝5，再将﹣＝及4a+2b+c＝5代入﹣（4a+2b+c）中即可求出结论．
【解答】解：∵当x＝0和x＝3时，y值相等，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝．
∵当x＝1时，y＝5，
∴当x＝2×﹣1＝2时，y＝5，
∴4a+2b+c＝5．
∴﹣（4a+2b+c）＝×5＝．
故选：B．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．
【分析】由“HL”可证Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI＝∠DAI，由余角的性质可得∠IAH＝∠AID，可证IH＝AH，通过证明△ADI∽△CDA，可得，可求DI＝1，即可求解．
【解答】解：如图，连接AI，AC，
∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，
∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，
在Rt△AGI和Rt△ADI中，
，
∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），
∴∠GAI＝∠DAI，
∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，
∴∠IAH＝∠AID，
∴IH＝AH，
又∵IH＝HC，
∴IH＝HC＝AH，
∴∠IAC＝90°，
∴∠DAI+∠DAC＝90°，
又∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAI＝∠DCA，
又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，
∴△ADI∽△CDA，
∴，
∴，
∴DI＝1，
∴CI＝ID+CD＝5，
∴IH＝IC＝，
故选：D．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）用适当的方法解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣5＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x﹣1＝±3，
所以x1＝4，x2＝﹣2；
（2）（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1．
20．（6分）如图，转盘被等分成6个扇形，每个扇形上依次标有数字1，2，3，4，5，6．在游戏中特别规定：当指针指向边界时，重新转动转盘．
（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于3的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有36个等可能的结果，两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的结果有10个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于3的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有36个等可能的结果，两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的结果有10个，
∴两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的概率为＝．
21．（6分）小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支，他连续7个月估计了每个月的煤气使用数据，并记录如表：
日期
6月1日
7月1日
8月1日
9月1日
10月1日
11月1日
12月1日
使用量（方）
9.51
10.12
9.47
9.63
10.12
10.12
11.03
（1）求这7个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数；
（2）若煤气每方3元，估计小强家一年的煤气费为多少元．
【分析】（1）将数据重新排列，再根据众数、中位数和平均数的定义求解即可；
（2）用每方的费用乘以12个月，再乘以平均每月的使用量，据此可得答案．
【解答】解：（1）将这7个数据重新排列为：9.47，9.51，9.63，10.12，10.12，10.12，11.03，
则这7个月每月煤气使用量的众数为10.12方，中位数为10.12方，平均数为＝10（方）；
（2）估计小强家一年的煤气费为3×12×10＝360（元）．
22．（6分）如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为36m，设垂直于墙的一边长为xm．
（1）若所围的面积为160m2，求x的值？
（2）求当x的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？
【分析】（1）若所围的面积为160m2，则矩形的长×宽＝160，据此列出方程并求解即可；
（2）设长方形鸡场的面积为S，由题意得S关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：
x（36﹣2x）＝160，
解得：x1＝8，x2＝10，
∵0＜36﹣2x＜36，
∴0＜x＜18，
∴x的值为8或10．
（2）设长方形鸡场的面积为S，由题意得：
S＝x（36﹣2x）
＝﹣2x2+36x
＝﹣2（x﹣9）2+162，
∵﹣2＜0，
∴当x＝9时，S取得最大值，最大值为162．
∴当x的值是9时，所围成的鸡场面积最大，最大值是162m2，
23．（6分）已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 ﹣3＜x＜0 ．
【分析】（1）先求出点B，点A坐标，由对称性可求点C坐标；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）由图象可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A（﹣3，0），点B（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
∴点C（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），点C（﹣1，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+4x+3；
（3）如图所示：
当﹣3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：﹣3＜x＜0．
24．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA＝1，求弦AC的长．
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACO＝30°，∠P＝30°，求出∠ACP的度数，则可求出答案；
（2）连接BC，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∵OA＝OC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∵CA＝CP，
∴∠A＝∠P＝30°，
∴∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠P＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠OCP＝∠ACP﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°，
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BC，
∵OA＝OB＝1，
∴AB＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB＝1，
∴AC＝＝．
25．（8分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA•BE；
（2）求证：△CDE∽△CBD；
（3）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
【分析】（1）直接利用两角对应相等两三角形相似进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的性质结合互余两角的关系得出∠DBE＝∠EDC，即可得出答案；
（3）利用锐角三角函数关系得出∠ABD＝∠DBE＝30°，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠DBE，
又∵∠A＝∠BDE，
∴△BAD∽△BDE，
∴＝，
∴BD2＝BA•BE；
（2）证明：∵△BAD∽△BDE，
∴∠ADB＝∠DEB，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DBE+∠BED＝90°，
∠ADB+∠EDC＝90°，
∴∠DBE＝∠EDC，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBD；
（3）解：由（1）得：BD2＝BA•BE，
∵AB＝6，BE＝8，
∴BD2＝6×8＝48，
∴BD＝4，
∴cos∠ABD＝＝＝，
∴∠ABD＝30°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBE，
∴BD＝CD＝4．
26．（8分）【发现】
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数 不变 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝ 75 °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？
【研究】
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 3 ．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝ 135 °，∠BPA＝ 135 °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ﹣ ．
【分析】【发现】根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出∠ACB；
【研究】先作出AB的垂直平分线，再以垂足为圆心，AB的一半为半径确定出圆心O，即可得出结论；
【应用】（1）先确定出△ABC的外接圆的半径，再判断出点C到AB的最大距离为3，即可得出结论；
（2）①先确定出∠BFE＝90°，再判断出∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABE，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论；
②先作出△ABP的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出CP最小时，点P的位置，最后构造直角三角形，即可得出结论．
【解答】解：【发现】根据圆周角性质，∠ACB的度数不变，
∵∠AOB＝150°，
∴∠ACB＝∠AOB＝75°，
故答案为：不变，75°；
【研究】补全图形如图1所示，
【应用】（1）如图2，
记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝30°，
过点O作OH⊥AB于H，
∴AH＝AB＝，
在Rt△AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r，
根据勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3，
∴r＝1（舍去负数），
∴OA＝2，OH＝1，
∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3，
∴S△ABC最大＝AB•h＝×2×3＝3，
故答案为：3；
（2）①∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠BEF+∠EBF＝90°，
∵点P是△BEF的内心，
∴PE，PF分别是∠BEF和∠EBF的角平分线，
∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE，
∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°；
在△BPE和△BPA中，
，
∴△BPE≌△BPA（SAS）．
∴∠BPA＝∠BPE＝135°，
故答案为：135°，135°；
②如图3，
作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，
则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形，
∴∠AQB＝180°∠BPA＝45°，
∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，
∴OA＝OB＝AB＝，
连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值，
过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，
则四边形OMBN是正方形，
∴ON＝BN＝BM＝AB＝1，
∴CN＝BC+BN＝3，
在Rt△ONC中，OC＝＝，
∴CP的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣，
故答案为：﹣．
27．（11分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．
（1）根据以上材料填空：
①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为 逆 相似（填“顺”或“逆”，下同）；
②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽ △ACD（或△CBD） ，它们互为 逆 相似；
③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽ △BCE ，它们互为 顺 相似；
（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；
（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有 3 条．
【分析】（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；
②先判断出∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；
③先判断出∠ABD＝∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；
（2）先由△AOB∽△COD，判断出＝，∠AOB＝∠COD，进而得出∠AOC＝∠BOD，即可得出结论；
（3）先求出BP＝9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴△AOB和△COD互为逆相似，
故答案为：逆；
②∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，
Ⅰ、∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴△ABC和△ACD互为逆相似；
Ⅱ、∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴△ABC和△CBD互为逆相似；
故答案为：△ACD（或△CBD），逆；
③∵BD⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∵∠EBC＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△BCE，
∴△ABD和△BCE互为顺相似；
【注：Ⅰ、当△ABD∽△FCB时，△ABD和△FCB互为逆相似；
Ⅱ、当△ABD∽△FBE时，△ABD和△FBE互为逆相似；】
故答案为：△BCE，顺；
（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为逆相似；
理由：∵△AOB∽△COD，
∴＝，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵＝，
∴＝，
∴△AOC∽△BOD，
∴△AOC和△BOD互为逆相似；
（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB＝＝＝25，
∵AP＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝9，
如图1，
①过点P作PG⊥BC于G，
∴∠BGP＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△PBG，
∴，
∴，
∴BG＝＝＜BC，
∴点G在线段BC（不包括端点）上，
过点P作PG''⊥AC于G''，
∴∠AG''P＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△APG''，
∴，
∴，
∴AG''＝＝＜AC，
∴点G''在线段AC（不包括端点）上，
过点P作PG'⊥AB，交直线BC与G'，交直线AC于H，
∵∠APG'＝∠APH＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△G'BP，
∴，
∴，
∴BG'＝＝15＝BC，
∴点G'和点H都和点C重合（注：为了说明问题，有意将点G'和点H没画在点C处），
故答案为：3．
28．（11分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线C2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点P（m，0）为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线C1于点M，交抛物线C2于点N．
①请用含m的代数式分别表示点M、N的坐标；
②设四边形OMEN的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S的最大值以及此时m的值；
③在点P移动的过程中，若CM＝DN≠0，则m的值为 1或 ．
（3）如图（2），点Q（0，n）为y轴上一动点（0＜n＜4），过点Q作x轴的平行线依次交两条抛物线于点R、S、T、U，则TU﹣RS＝ 1 ．
【分析】（1）令抛物线l1：y＝0，可求得点A和点B的坐标，然后设设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点D的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）①利用待定系数法可得，M（m，﹣m2+2M+3），N（M，m2﹣m﹣2）．
②由点A和点B的坐标可求得AB的长，依据SAMBN＝AB•MN列出S与x的函数关系，从而可得到当S有最大值时，m的值，于是可得结论．
③CM与DN不平行时，可证明四边形CDNM为等腰梯形，然后可证明GM＝HN，列出关于m的方程，于是可求得点P的坐标；当CM∥DN时，四边形CDNM为平行四边形．故此DC＝MN＝5，从而得到关于m的方程，从而可得结论．
（3）设S，T的横坐标分别为x1，x2，设R，U的横坐标分别为x3，x4．利用根与系数的关系解决问题即可．
【解答】解：（1）∵令﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）①由题意P（m，0），可得M（m，﹣m2+2m+3），N（m，m2﹣m﹣2）．
②如图1所示：
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵P（m，0），M（m，﹣m2+2m+3），N（m，m2﹣m﹣2），
∵MN⊥AB，
∴SAMBN＝AB•MN＝﹣3m2+7m+10（﹣1＜m＜3），
∴当m＝时，SAMBN有最大值，最大值＝．
③如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．
∵DC∥MN，CM＝DN，
∴四边形CDNM为等腰梯形．
∴∠DNH＝∠CMG．
在△CGM和△DNH中，
，
∴△CGM≌△DNH（AAS），
∴MG＝HN．
∴PM﹣PN＝1．
∵P（m，0），则M（m，﹣m2+2m+3），N（m，m2﹣m﹣2）．
∴（﹣m2+2m+3）+（m2﹣m﹣2）＝1，解得：m1＝0（舍去），m2＝1．
当CM∥DN时，如图3所示：
∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四边形CDNM为平行四边形．
∴DC＝MN＝5
∴﹣m2+2m+3﹣（m2﹣m﹣2）＝5，
∴m1＝0（舍去），m2＝，
综上所述，m的值为1或．
故答案为：1或．
（3）设S，T的横坐标分别为x1，x2，设R，U的横坐标分别为x3，x4．
则TU＝x4﹣x2，RS＝x1﹣x3，
∴TU﹣RS＝（x4﹣x2）﹣（x1﹣x3）＝（x3+x4）﹣（x1+x2），
由﹣x2+2x+3＝n，可得，x2﹣2x﹣3+n＝0，
∴x1+x2＝2，
由x2﹣x﹣2＝n，可得x2﹣3x﹣4﹣2n＝0，
∴x3+x4＝3，
∴TU﹣RS＝（x3+x4）﹣（x1+x2）＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
2020-2021学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1．已知＝，那么＝ ．
2．如图，DE∥BC，AE＝DE＝1，BC＝3，则线段CE的长为 ．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，AD＝1，则AB＝ ．
4．若圆锥的母线长为8cm，其底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π）．
5．已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝ ．
6．一组数据1、2、3、4、5的方差是 ．
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两不等实根，则a的取值范围是 ．
8．抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标是 ．
9．把函数y＝x2的图象先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，则平移后的图象的函数表达式是 ．
10．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取﹣1、4、6时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是 （用“＜”号连接）．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为 ．
12．若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是 ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠1 D．m≠﹣1
14．（3分）一枚质地均匀的普通骰子，抛掷6次没有1次点数1朝上，那么第7次抛掷，点数1朝上的概率是（ ）
A． B． C．1 D．0
15．（3分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
16．（3分）如图，已知▱ABCD，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连结CG，DG．若▱ABCD的面积为30，则△CDG的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
17．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
则代数式﹣（4a+2b+c）的值为（ ）
A． B． C．9 D．15
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）用适当的方法解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣5＝0．
20．（6分）如图，转盘被等分成6个扇形，每个扇形上依次标有数字1，2，3，4，5，6．在游戏中特别规定：当指针指向边界时，重新转动转盘．
（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于3的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的概率．
21．（6分）小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支，他连续7个月估计了每个月的煤气使用数据，并记录如表：
日期
6月1日
7月1日
8月1日
9月1日
10月1日
11月1日
12月1日
使用量（方）
9.51
10.12
9.47
9.63
10.12
10.12
11.03
（1）求这7个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数；
（2）若煤气每方3元，估计小强家一年的煤气费为多少元．
22．（6分）如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为36m，设垂直于墙的一边长为xm．
（1）若所围的面积为160m2，求x的值？
（2）求当x的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？
23．（6分）已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为 ；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 ．
24．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA＝1，求弦AC的长．
25．（8分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA•BE；
（2）求证：△CDE∽△CBD；
（3）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
26．（8分）【发现】
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝ °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？
【研究】
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 ．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝ °，∠BPA＝ °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ．
27．（11分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．
（1）根据以上材料填空：
①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为 相似（填“顺”或“逆”，下同）；
②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽ ，它们互为 相似；
③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽ ，它们互为 相似；
（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；
（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有 条．
28．（11分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线C2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点P（m，0）为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线C1于点M，交抛物线C2于点N．
①请用含m的代数式分别表示点M、N的坐标；
②设四边形OMEN的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S的最大值以及此时m的值；
③在点P移动的过程中，若CM＝DN≠0，则m的值为 ．
（3）如图（2），点Q（0，n）为y轴上一动点（0＜n＜4），过点Q作x轴的平行线依次交两条抛物线于点R、S、T、U，则TU﹣RS＝ ．
2020-2021学年江苏省镇江市丹阳市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分）
1．已知＝，那么＝ 1 ．
【分析】直接利用已知进而变形，代入原式求出答案．
【解答】解：∵＝，
∴3a＝2b，
∴＝＝1．
故答案为：1．
2．如图，DE∥BC，AE＝DE＝1，BC＝3，则线段CE的长为 2 ．
【分析】由平行线的性质可得∠ADE＝∠B，由AE＝DE＝1，可得∠ADE＝∠DAE，易得∠DAE＝∠B，可得AC＝BC，易得结果．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵AE＝DE＝1，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠B，BC＝3，
∴AC＝BC＝3，
∴CE＝AC﹣AE＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，AD＝1，则AB＝ 2 ．
【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AB＝2AD＝2×1＝2．
故答案为2．
4．若圆锥的母线长为8cm，其底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为 16π cm2（结果保留π）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×8×2÷2＝16π（cm2）．
故答案为：16π．
5．已知x＝1是方程x2+2mx﹣3＝0的一个根，则m＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的解，把x＝1代入方程x2+2mx﹣3＝0得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入x2+2mx﹣3＝0得1+2m﹣3＝0，解得m＝1．
故答案为：1．
6．一组数据1、2、3、4、5的方差是 2 ．
【分析】根据方差公式计算即可．S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
【解答】解：＝（1+2+3+4+5）÷5＝3，
S2＝[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．
故填2．
7．关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有两不等实根，则a的取值范围是 a＜1 ．
【分析】根据根的判别式得到△＝4﹣4a＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得△＝4﹣4a＞0，
解得a＜1．
故答案为a＜1．
8．抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标是 （1，0） ．
【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0）．
故答案为：（1，0）．
9．把函数y＝x2的图象先向左平移两个单位，再向上平移一个单位，则平移后的图象的函数表达式是 y＝（x+2）2+1 ．
【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．
【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得y＝（x+2）2+1．
故答案为y＝（x+2）2+1．
10．已知二次函数y＝a（x﹣2）2+c（a＞0），当自变量x分别取﹣1、4、6时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 （用“＜”号连接）．
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可分别求出y1，y2，y3的值，结合a＞0，即可得出4a+c＜9a+c＜16a+c，即y2＜y1＜y3．
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝a（﹣1﹣2）2+c＝9a+c；
当x＝4时，y2＝a（4﹣2）2+c＝4a+c；
当x＝6时，y3＝a（6﹣2）2+c＝16a+c．
∵a＞0，
∴4a+c＜9a+c＜16a+c，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心、AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，分别交AB、BC于点E、F，则线段EF的长为 ．
【分析】依据勾股定理以及线段垂直平分线的的性质，即可得到BE的长，再根据△ABC∽△FBE，即可得到EF的长．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴由勾股定理得，AB＝，
由题可得，AD＝AC＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
由题可得，MN垂直平分BD，
∴BE＝2，∠BEF＝∠ACB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△FBE，
∴，
即，
解得EF＝，
故答案为：．
12．若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是 ﹣6 ．
【分析】设y＝2m2+mn+m﹣n，由m+n＝2得n＝2﹣m，再由二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：设y＝2m2+mn+m﹣n，
∵m+n＝2，
∴n＝2﹣m，
∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，
此为一个二次函数，开口向上，有最小值，
当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，
故答案为：﹣6．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分，在每小题所给出的四个选项中恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）关于x的方程（m+1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠±1 B．m＝1 C．m≠1 D．m≠﹣1
【分析】根据一元二次方程定义可得m+1≠0，再解可得答案．
【解答】解：由题意得：m+1≠0，
解得：m≠﹣1，
故选：D．
14．（3分）一枚质地均匀的普通骰子，抛掷6次没有1次点数1朝上，那么第7次抛掷，点数1朝上的概率是（ ）
A． B． C．1 D．0
【分析】根据抛掷一枚质地均匀的普通骰子，朝上一面共有6种等可能结果，其中点数1朝上的只有1种结果，再利用概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：∵抛掷一枚质地均匀的普通骰子，朝上一面共有6种等可能结果，其中点数1朝上的只有1种结果，
∴第7次抛掷，点数1朝上的概率是，
故选：A．
15．（3分）如图，AB为⊙O的弦，点C为AB的中点，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．
【解答】解：∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根据勾股定理，
OA＝＝5．
故选：B．
16．（3分）如图，已知▱ABCD，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连结CG，DG．若▱ABCD的面积为30，则△CDG的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】连接BG，根据位似变换的概念得到点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接BG，
∵▱ABCD和▱EBFG是以B为位似中心的位似图形，
∴点D、G、B在同一条直线上，FG∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，面积为30，
∴△CDB的面积为15，
∵FG∥CD，
∴△BFG∽△BCD，
∴＝＝，
∴＝，
∴△CDG的面积＝15×＝5，
故选：C．
17．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
则代数式﹣（4a+2b+c）的值为（ ）
A． B． C．9 D．15
【分析】由当x＝0和x＝3时y值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x＝，进而可得出﹣的值，由x＝1时y＝5，可得出当x＝2时y＝5，即4a+2b+c＝5，再将﹣＝及4a+2b+c＝5代入﹣（4a+2b+c）中即可求出结论．
【解答】解：∵当x＝0和x＝3时，y值相等，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝，
∴﹣＝．
∵当x＝1时，y＝5，
∴当x＝2×﹣1＝2时，y＝5，
∴4a+2b+c＝5．
∴﹣（4a+2b+c）＝×5＝．
故选：B．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示．CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CH＝IH．则线段HI的长度为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．
【分析】由“HL”可证Rt△AGI≌Rt△ADI，可得∠GAI＝∠DAI，由余角的性质可得∠IAH＝∠AID，可证IH＝AH，通过证明△ADI∽△CDA，可得，可求DI＝1，即可求解．
【解答】解：如图，连接AI，AC，
∵以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，
∴AG＝AD，∠GAE＝∠DAB＝90°，
在Rt△AGI和Rt△ADI中，
，
∴Rt△AGI≌Rt△ADI（HL），
∴∠GAI＝∠DAI，
∴90°﹣∠GAI＝90°﹣∠DAI，
∴∠IAH＝∠AID，
∴IH＝AH，
又∵IH＝HC，
∴IH＝HC＝AH，
∴∠IAC＝90°，
∴∠DAI+∠DAC＝90°，
又∵∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠DAI＝∠DCA，
又∵∠ADI＝∠ADC＝90°，
∴△ADI∽△CDA，
∴，
∴，
∴DI＝1，
∴CI＝ID+CD＝5，
∴IH＝IC＝，
故选：D．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（10分）用适当的方法解方程：
（1）（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣5＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x﹣1＝±3，
所以x1＝4，x2＝﹣2；
（2）（x+5）（x﹣1）＝0，
x+5＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣5，x2＝1．
20．（6分）如图，转盘被等分成6个扇形，每个扇形上依次标有数字1，2，3，4，5，6．在游戏中特别规定：当指针指向边界时，重新转动转盘．
（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于3的概率为 ；
（2）请用画树状图法或列表法等方式求出“两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有36个等可能的结果，两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的结果有10个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向的数大于3的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有36个等可能的结果，两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的结果有10个，
∴两次转动转盘，指针指向的数的和大于8”的概率为＝．
21．（6分）小强帮助母亲预算家庭一年煤气开支，他连续7个月估计了每个月的煤气使用数据，并记录如表：
日期
6月1日
7月1日
8月1日
9月1日
10月1日
11月1日
12月1日
使用量（方）
9.51
10.12
9.47
9.63
10.12
10.12
11.03
（1）求这7个月每月煤气使用量的众数、中位数、平均数；
（2）若煤气每方3元，估计小强家一年的煤气费为多少元．
【分析】（1）将数据重新排列，再根据众数、中位数和平均数的定义求解即可；
（2）用每方的费用乘以12个月，再乘以平均每月的使用量，据此可得答案．
【解答】解：（1）将这7个数据重新排列为：9.47，9.51，9.63，10.12，10.12，10.12，11.03，
则这7个月每月煤气使用量的众数为10.12方，中位数为10.12方，平均数为＝10（方）；
（2）估计小强家一年的煤气费为3×12×10＝360（元）．
22．（6分）如图是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙（足够长），另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为36m，设垂直于墙的一边长为xm．
（1）若所围的面积为160m2，求x的值？
（2）求当x的值是多少时，所围成的鸡场面积最大，最大值是多少？
【分析】（1）若所围的面积为160m2，则矩形的长×宽＝160，据此列出方程并求解即可；
（2）设长方形鸡场的面积为S，由题意得S关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）由题意得：
x（36﹣2x）＝160，
解得：x1＝8，x2＝10，
∵0＜36﹣2x＜36，
∴0＜x＜18，
∴x的值为8或10．
（2）设长方形鸡场的面积为S，由题意得：
S＝x（36﹣2x）
＝﹣2x2+36x
＝﹣2（x﹣9）2+162，
∵﹣2＜0，
∴当x＝9时，S取得最大值，最大值为162．
∴当x的值是9时，所围成的鸡场面积最大，最大值是162m2，
23．（6分）已知直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A和B，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
（1）抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为 （﹣1，0） ；
（2）试确定抛物线的解析式；
（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x的取值范围 ﹣3＜x＜0 ．
【分析】（1）先求出点B，点A坐标，由对称性可求点C坐标；
（2）利用待定系数法可求解析式；
（3）由图象可求解．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴和y轴于点A和B，
∴点A（﹣3，0），点B（0，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2．
∴点C（﹣1，0），
故答案为（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），点C（﹣1，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+4x+3；
（3）如图所示：
当﹣3＜x＜0时，二次函数值小于一次函数值，
故答案为：﹣3＜x＜0．
24．（6分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若OA＝1，求弦AC的长．
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACO＝30°，∠P＝30°，求出∠ACP的度数，则可求出答案；
（2）连接BC，由勾股定理可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∵OA＝OC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∵CA＝CP，
∴∠A＝∠P＝30°，
∴∠ACP＝180°﹣∠A﹣∠P＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠OCP＝∠ACP﹣∠ACO＝120°﹣30°＝90°，
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BC，
∵OA＝OB＝1，
∴AB＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴BC＝AB＝1，
∴AC＝＝．
25．（8分）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA•BE；
（2）求证：△CDE∽△CBD；
（3）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
【分析】（1）直接利用两角对应相等两三角形相似进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的性质结合互余两角的关系得出∠DBE＝∠EDC，即可得出答案；
（3）利用锐角三角函数关系得出∠ABD＝∠DBE＝30°，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠DBE，
又∵∠A＝∠BDE，
∴△BAD∽△BDE，
∴＝，
∴BD2＝BA•BE；
（2）证明：∵△BAD∽△BDE，
∴∠ADB＝∠DEB，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DBE+∠BED＝90°，
∠ADB+∠EDC＝90°，
∴∠DBE＝∠EDC，
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBD；
（3）解：由（1）得：BD2＝BA•BE，
∵AB＝6，BE＝8，
∴BD2＝6×8＝48，
∴BD＝4，
∴cos∠ABD＝＝＝，
∴∠ABD＝30°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBE，
∴BD＝CD＝4．
26．（8分）【发现】
如图（1），AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数 不变 （填“变”或“不变”）；若∠AOB＝150°，则∠ACB＝ 75 °．爱动脑筋的小明猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某一个确定的圆上运动呢？
【研究】
为了解决这个问题，小明先从一个特殊的例子开始研究．如图（2），若AB＝2，直线AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小明以AB为底边构造了一个等腰Rt△AOB，再以O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．请根据小明的思路在图（2）中完成作图（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）．后来，小明通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论，即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）如图（3），AB＝2，平面内一点C满足∠ACB＝60°，则△ABC面积的最大值为 3 ．
（2）如图（4），已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰△BAE，其中BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，点P是△BEF的内心．
①∠BPE＝ 135 °，∠BPA＝ 135 °；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为 ﹣ ．
【分析】【发现】根据题意，直接得出答案，利用圆周角定理求出∠ACB；
【研究】先作出AB的垂直平分线，再以垂足为圆心，AB的一半为半径确定出圆心O，即可得出结论；
【应用】（1）先确定出△ABC的外接圆的半径，再判断出点C到AB的最大距离为3，即可得出结论；
（2）①先确定出∠BFE＝90°，再判断出∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABE，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论；
②先作出△ABP的外接圆，进而求出外接圆的半径，进而判断出CP最小时，点P的位置，最后构造直角三角形，即可得出结论．
【解答】解：【发现】根据圆周角性质，∠ACB的度数不变，
∵∠AOB＝150°，
∴∠ACB＝∠AOB＝75°，
故答案为：不变，75°；
【研究】补全图形如图1所示，
【应用】（1）如图2，
记△ABC的外接圆的圆心为O，连接OA，OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝30°，
过点O作OH⊥AB于H，
∴AH＝AB＝，
在Rt△AHO中，设⊙O的半径为2r，则OH＝r，
根据勾股定理得，（2r）2﹣r2＝3，
∴r＝1（舍去负数），
∴OA＝2，OH＝1，
∵点C到AB的最大距离h为r+OH＝2+1＝3，
∴S△ABC最大＝AB•h＝×2×3＝3，
故答案为：3；
（2）①∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠BEF+∠EBF＝90°，
∵点P是△BEF的内心，
∴PE，PF分别是∠BEF和∠EBF的角平分线，
∴∠BEP＝∠BEF，∠EBP＝∠ABP＝∠ABE，
∴∠BPE＝180°﹣（∠BEP+∠EBP）＝180°﹣（∠BEF+∠EBF）＝180°﹣×90°＝135°；
在△BPE和△BPA中，
，
∴△BPE≌△BPA（SAS）．
∴∠BPA＝∠BPE＝135°，
故答案为：135°，135°；
②如图3，
作△ABP的外接圆，圆心记作点O，连接OA，OB，在优弧AB上取一点Q，连接AQ，BQ，
则四边形APBQ是⊙O的圆内接四边形，
∴∠AQB＝180°∠BPA＝45°，
∴∠AOB＝2∠AQB＝90°，
∴OA＝OB＝AB＝，
连接OC，与⊙O相交于点P'此时，CP'是CP的最小值，
过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CB，交CB的延长线于N，
则四边形OMBN是正方形，
∴ON＝BN＝BM＝AB＝1，
∴CN＝BC+BN＝3，
在Rt△ONC中，OC＝＝，
∴CP的最小值＝CP'＝OC﹣OP'＝﹣，
故答案为：﹣．
27．（11分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．
（1）根据以上材料填空：
①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为 逆 相似（填“顺”或“逆”，下同）；
②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽ △ACD（或△CBD） ，它们互为 逆 相似；
③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽ △BCE ，它们互为 顺 相似；
（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；
（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有 3 条．
【分析】（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；
②先判断出∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；
③先判断出∠ABD＝∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；
（2）先由△AOB∽△COD，判断出＝，∠AOB＝∠COD，进而得出∠AOC＝∠BOD，即可得出结论；
（3）先求出BP＝9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴△AOB和△COD互为逆相似，
故答案为：逆；
②∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，
Ⅰ、∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴△ABC和△ACD互为逆相似；
Ⅱ、∠B＝∠B，
∴△ABC∽△CBD，
∴△ABC和△CBD互为逆相似；
故答案为：△ACD（或△CBD），逆；
③∵BD⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴∠CBD+∠C＝90°，
∵∠EBC＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△BCE，
∴△ABD和△BCE互为顺相似；
【注：Ⅰ、当△ABD∽△FCB时，△ABD和△FCB互为逆相似；
Ⅱ、当△ABD∽△FBE时，△ABD和△FBE互为逆相似；】
故答案为：△BCE，顺；
（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为逆相似；
理由：∵△AOB∽△COD，
∴＝，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵＝，
∴＝，
∴△AOC∽△BOD，
∴△AOC和△BOD互为逆相似；
（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB＝＝＝25，
∵AP＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝9，
如图1，
①过点P作PG⊥BC于G，
∴∠BGP＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△PBG，
∴，
∴，
∴BG＝＝＜BC，
∴点G在线段BC（不包括端点）上，
过点P作PG''⊥AC于G''，
∴∠AG''P＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△APG''，
∴，
∴，
∴AG''＝＝＜AC，
∴点G''在线段AC（不包括端点）上，
过点P作PG'⊥AB，交直线BC与G'，交直线AC于H，
∵∠APG'＝∠APH＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△G'BP，
∴，
∴，
∴BG'＝＝15＝BC，
∴点G'和点H都和点C重合（注：为了说明问题，有意将点G'和点H没画在点C处），
故答案为：3．
28．（11分）已知抛物线C1：y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线C2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点P（m，0）为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线C1于点M，交抛物线C2于点N．
①请用含m的代数式分别表示点M、N的坐标；
②设四边形OMEN的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S的最大值以及此时m的值；
③在点P移动的过程中，若CM＝DN≠0，则m的值为 1或 ．
（3）如图（2），点Q（0，n）为y轴上一动点（0＜n＜4），过点Q作x轴的平行线依次交两条抛物线于点R、S、T、U，则TU﹣RS＝ 1 ．
【分析】（1）令抛物线l1：y＝0，可求得点A和点B的坐标，然后设设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），将点D的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）①利用待定系数法可得，M（m，﹣m2+2M+3），N（M，m2﹣m﹣2）．
②由点A和点B的坐标可求得AB的长，依据SAMBN＝AB•MN列出S与x的函数关系，从而可得到当S有最大值时，m的值，于是可得结论．
③CM与DN不平行时，可证明四边形CDNM为等腰梯形，然后可证明GM＝HN，列出关于m的方程，于是可求得点P的坐标；当CM∥DN时，四边形CDNM为平行四边形．故此DC＝MN＝5，从而得到关于m的方程，从而可得结论．
（3）设S，T的横坐标分别为x1，x2，设R，U的横坐标分别为x3，x4．利用根与系数的关系解决问题即可．
【解答】解：（1）∵令﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
设抛物线l2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）①由题意P（m，0），可得M（m，﹣m2+2m+3），N（m，m2﹣m﹣2）．
②如图1所示：
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵P（m，0），M（m，﹣m2+2m+3），N（m，m2﹣m﹣2），
∵MN⊥AB，
∴SAMBN＝AB•MN＝﹣3m2+7m+10（﹣1＜m＜3），
∴当m＝时，SAMBN有最大值，最大值＝．
③如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．
∵DC∥MN，CM＝DN，
∴四边形CDNM为等腰梯形．
∴∠DNH＝∠CMG．
在△CGM和△DNH中，
，
∴△CGM≌△DNH（AAS），
∴MG＝HN．
∴PM﹣PN＝1．
∵P（m，0），则M（m，﹣m2+2m+3），N（m，m2﹣m﹣2）．
∴（﹣m2+2m+3）+（m2﹣m﹣2）＝1，解得：m1＝0（舍去），m2＝1．
当CM∥DN时，如图3所示：
∵DC∥MN，CM∥DN，
∴四边形CDNM为平行四边形．
∴DC＝MN＝5
∴﹣m2+2m+3﹣（m2﹣m﹣2）＝5，
∴m1＝0（舍去），m2＝，
综上所述，m的值为1或．
故答案为：1或．
（3）设S，T的横坐标分别为x1，x2，设R，U的横坐标分别为x3，x4．
则TU＝x4﹣x2，RS＝x1﹣x3，
∴TU﹣RS＝（x4﹣x2）﹣（x1﹣x3）＝（x3+x4）﹣（x1+x2），
由﹣x2+2x+3＝n，可得，x2﹣2x﹣3+n＝0，
∴x1+x2＝2，
由x2﹣x﹣2＝n，可得x2﹣3x﹣4﹣2n＝0，
∴x3+x4＝3，
∴TU﹣RS＝（x3+x4）﹣（x1+x2）＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
相关试卷
2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市七年级（下）期末数学试卷(含解析)： 这是一份2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市七年级（下）期末数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
镇江市丹阳市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷： 这是一份镇江市丹阳市2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷，共6页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）： 这是一份2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市七年级（下）期末数学试卷（Word解析版），共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
