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2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷 解析版，共32页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，共24分）
1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，则∠F＝ ．
2．（2分）等边三角形的每个内角都等于 度．
3．（2分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请你添加一个条件： ，使得△ABC≌△DEF．
4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的顶角是80°，则它的底角为 ．
5．（2分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是 ．
6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6，则AB＝ ．
7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝45°，则∠C＝ ．
8．（2分）如图，以直角三角形三边向外作正方形，其中两个正方形的面积为50和20，则正方形A的面积等于 ．
9．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，则D到AB的距离为 cm．
10．（2分）10、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，则FG＝ ．
11．（2分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE＝ ．
二、选择题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm
15．（3分）三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ）
A．到三边距离相等
B．到三顶点距离相等
C．不在第三边的垂直平分线上
D．以上都不对
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，则△BCD的周长为（ ）
A．16 B．20 C．21 D．24
17．（3分）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm
18．（3分）将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
19．（6分）已知：如图，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：AE＝CF．
20．（6分）已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
21．（7分）如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．
（1）判断△ACD的形状；
（2）求这块绿地ABCD的面积．
22．（7分）（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的ΔA1B1C1；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸的图中标出点P），使PB+PC的长最短．
23．（8分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）求线段BC；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为 cm．
24．（8分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；
②过P作射线PD，使PD∥AC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）
（2）若∠BPD＝40°，则∠ACP＝ °．
25．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）求证：BE＝DF；
（2）探究线段AB、AD、AF三者之间的数量关系；
（3）若△ABC的面积是23，△ADC的面积是18，则△BEC的面积等于 ．
26．（8分）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）连接PQ．
①当△BPQ为等边三角形时，t＝ 秒；
②当△BPQ为直角三角形时，t＝ 秒．（直接写出结果）
27．（10分）数学中，常对同一个量（图形的面积、高、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【知识理解】
（1）勾股定理是数学中重要的定理．请从图1、图2中选择一个进行验证，要求写出验证过程；
【知识运用】
（2）在△ABC中（如图4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面积．
（3）如图3是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式为 ．
【知识拓展】
（4）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别AC、BC、AB为直角边作三个等腰直角三角形，若图中S1＝6，S2＝3，S3＝5，则S4＝ ．
28．（10分）【问题情景】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 ，请选择正确的一项．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
【初步运用】
（3）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．
【灵活运用】
（4）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝BF，若EF＝5，EC＝3，求线段BF的长；
【拓展延伸】
（5）如图4，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：
A．∠ACD＝∠BCD
B．CE＝2CD
C．∠BCD＝∠BCE
D．CD＝CB
所有正确选项的序号是 ．
2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题，共24分）
1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，则∠F＝ 20° ．
【分析】先根据全等三角形的性质求出∠D，再根据三角形内角和定理求出∠F即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝100°，
∴∠D＝∠A＝100°，
∵∠E＝60°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝20°，
故答案为：20°．
2．（2分）等边三角形的每个内角都等于 60 度．
【分析】根据等边三角形各边长相等的性质即可求得∠A＝∠B＝∠C，根据三角形内角和为180°的性质即可求得∠A＝∠B＝∠C＝60°，即可解题．
【解答】解：等边三角形各边长相等，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵三角形内角和为180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
故答案为：60．
3．（2分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请你添加一个条件： AC＝DF（答案不唯一） ，使得△ABC≌△DEF．
【分析】此题是一道开放型的问题，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是AC＝DF，
理由是：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AC＝DF（答案不唯一）．
4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的顶角是80°，则它的底角为 50° ．
【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得．
【解答】解：根据等腰三角形两底角相等，
底角为：（180°﹣80°）÷2＝50°
故答案为：50°．
5．（2分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是 5 ．
【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．
【解答】解：已知直角三角形的两直角边为6、8，
则斜边长为＝10，
故斜边的中线长为×10＝5，
故答案为5．
6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6，则AB＝ 12 ．
【分析】根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6，
则AB＝2CD＝2×6＝12，
故答案为：12．
7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝45°，则∠C＝ 45° ．
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝90°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝∠B＝（180°﹣90°）＝45°．
故答案为：45°．
8．（2分）如图，以直角三角形三边向外作正方形，其中两个正方形的面积为50和20，则正方形A的面积等于 30 ．
【分析】根据勾股定理得出BC2＝CD2﹣BD2＝50﹣20＝30，则可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠CBD＝90°，CD2＝50，BD2＝20，
∴BC2＝CD2﹣BD2＝50﹣20＝30，
∴正方形A的面积为30，
故答案为：30．
9．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，则D到AB的距离为 5 cm．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE＝CD，根据BD：DC＝2：1和BC＝15cm求出CD＝5cm，再得出答案即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD，
∵BD：DC＝2：1，BC＝15cm，
∴CD＝5cm，
∴DE＝CD＝5cm，
即点D到AB的距离是5cm，
故答案为：5．
10．（2分）10、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，则FG＝ 3 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠EFB＝∠FBC，∠DGC＝∠GCB，由角平分线的定义得到∠FBC＝∠FBE，∠GCB＝∠GCD，于是得到BE＝EF，CD＝DG，代入数据即可得到结论．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EFB＝∠FBC，∠DGC＝∠GCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，
∴∠FBC＝∠FBE，∠GCB＝∠GCD，
∴∠EFB＝∠EBF，∠DCG＝∠DGC，
∴BE＝EF，CD＝DG，
∵若BE＝5，DC＝7，DE＝9，，
∴EB+CD＝EF+DG＝EG+FG+FG+DF＝ED+FG，即5+7＝9+FG，
∴FG＝3，
故答案为：3．
11．（2分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有 4 ．
【分析】利用轴对称的定义可得答案．
【解答】解：如图所示：
，
共4个，
故答案为：4．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE＝ 45° ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝45°，根据等边对等角的性质求出∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝×45°＝22.5°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠E，
＝67.5°﹣22.5°，
＝45°．
二、选择题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
故选：A．
14．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵52+42≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵122+52＝132，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
15．（3分）三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ）
A．到三边距离相等
B．到三顶点距离相等
C．不在第三边的垂直平分线上
D．以上都不对
【分析】画出图形，根据线段垂直平分线性质求出OA＝OB＝OC，即可得出选项．
【解答】解：如图：
连接OA、OB、OC，
∵O为△ABC两边BC、AC的垂直平分线的交点，
∴OB＝OC，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等，
三角形的三角的平分线的交点到三角形的三边距离相等，
即选项A、C、D错误，只有选项B正确；
故选：B．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，则△BCD的周长为（ ）
A．16 B．20 C．21 D．24
【分析】由勾股定理求出AC＝12，由线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，即BD+CD＝AC，则可求出答案．
【解答】解：∵AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝＝12，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BD+CD，即BD+CD＝AC，
∴△BCD的周长为CD+BD+BC＝AC+BC＝12+9＝21．
故选：C．
17．（3分）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm
【分析】易求AC＝4cm，则CE＝1cm．设CD＝x，则ED＝DB＝3﹣x，根据勾股定理求解．
【解答】解：∵∠ACD＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm），
∵△ADE是由△ABD沿AD折叠而得到的，
∴AE＝AB＝4cm，DE＝DB，
∴CE＝AE﹣AC＝5﹣4＝1（cm），
设CD＝xcm，则DB＝DE＝（3﹣x）cm，
在Rt△DCE中，
∴CD2+CE2＝DE2，
∴x2+1＝（3﹣x）2，
∴x＝，
故选：B．
18．（3分）将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，可证D，A，E在一条直线上，△DBE是等腰直角三角形，面积为8，即可求出BD的长．
【解答】解：将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，
可知，BE＝BD，∠BCD＝∠BAE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠BAE+∠BAD＝180°，
∴D，A，E在一条直线上，
∴△DBE是等腰直角三角形，面积等于四边形ABCD的面积，
即，
可得：，
解得：BD＝4，
故选：B．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
19．（6分）已知：如图，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：AE＝CF．
【分析】根据SAS证明△ABF≌△CDE（SAS），推出AF＝CE，可得结论．
【解答】证明：在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，
∴AE+EF＝EF+CF，
∴AE＝CF．
20．（6分）已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
【分析】根据线段的垂直平分线的判定定理可知AD是线段BC的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知EB＝EC．
【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴EB＝EC．
21．（7分）如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．
（1）判断△ACD的形状；
（2）求这块绿地ABCD的面积．
【分析】（1）由勾股定理求出AC，根据AC2+CD2＝AD2即可判定△ACD为直角三角形；
（2）由直角三角形面积即可计算该绿地的面积．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，
在直角△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5（m），
∵52+122＝132，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD，
∴S四边形ABCD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36（m2），
答：该绿地ABCD的面积为36m2．
22．（7分）（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的ΔA1B1C1；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸的图中标出点P），使PB+PC的长最短．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
（3）连接B1C，与直线l的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，ΔA1B1C1即为所求．
（2）△ABC的面积为3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝，
故答案为：；
（3）如图所示，点P即为所求．
23．（8分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）求线段BC；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为 7 cm．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，即可得到BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13cm；
（2）由BC＝13结合OB+OC+BC＝27得到OB+OC＝14，根据线段垂直平分线的性质可得OA＝OB＝OC，继而求得OA的长．
【解答】解：（1）∵OM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长13，
∴AD+DE+EA＝13，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；
（2）连接OB，OC，
∵△OBC的周长为27，
∴OB+OC+BC＝27，
∵BC＝13，
∴OB+OC＝14，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝7（cm），
故答案为：7．
24．（8分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；
②过P作射线PD，使PD∥AC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）
（2）若∠BPD＝40°，则∠ACP＝ 40 °．
【分析】（1）①作AC的垂直平分线交AB于点P即可；
②作∠BPD＝∠A即可得PD∥AC；
（2）根据平行线的性质即可得∠ACP的度数．
【解答】解：（1）①如图，点P即为所求；
②射线PD即为所求；
（2）∵PD∥AC，
∴∠BPD＝∠A＝40°，
∵PA＝PC，
∴∠ACP＝∠A＝40°，
故答案为：40．
25．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）求证：BE＝DF；
（2）探究线段AB、AD、AF三者之间的数量关系；
（3）若△ABC的面积是23，△ADC的面积是18，则△BEC的面积等于 2.5 ．
【分析】（1）利用角平分线的性质可得CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，根据等角的补角相等得∠B＝∠CDF，利用AAS证出两三角形全等即可得出结论；
（2）求出DF＝BE，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF＝AE，由BE＝DF可得AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，即可得AB+AD＝2AF；
（3）利用全等三角形的面积相等，设△BEC的面积为x，列出方程可得结果．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°，
∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
在Rt△BCE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝DF；
（2）AB+AD＝2AF，
证明：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF＝BE，CE＝CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∴AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，
∴AB+AD＝2AF；
（3）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴S△BCE＝S△DCF，
设△BEC的面积为x，
∵△ABC的面积是23，△ADC面积是18，
∴23﹣x＝18+x，
∴x＝（23﹣18）＝2.5．
即△BEC的面积等于2.5，
故答案为：2.5．
26．（8分）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）连接PQ．
①当△BPQ为等边三角形时，t＝ 2 秒；
②当△BPQ为直角三角形时，t＝ 或 秒．（直接写出结果）
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ＝60°；
（2）①可用t表示出BP和BQ，由△BPQ为等边三角形得BP＝BQ，即可解答；
②可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠PAC＝60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AP＝BQ，
在△APC和△BQA中，
，
∴△APC≌△BQA（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠CAQ+∠ACP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ＝60°；
（2）①∵运动时间为ts，则AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
∵△BPQ为等边三角形，
∴BP＝BQ，
∴4﹣t＝t，
∴t＝2，
故答案为：2；
②∵运动时间为t秒，则AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，
∴4﹣t＝2t，解得t＝，
当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2PB，
∴t＝2（4﹣t），解得t＝，
∴当t为秒或秒时，△PBQ为直角三角形．
故答案为：或．
27．（10分）数学中，常对同一个量（图形的面积、高、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【知识理解】
（1）勾股定理是数学中重要的定理．请从图1、图2中选择一个进行验证，要求写出验证过程；
【知识运用】
（2）在△ABC中（如图4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面积．
（3）如图3是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式为 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ．
【知识拓展】
（4）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别AC、BC、AB为直角边作三个等腰直角三角形，若图中S1＝6，S2＝3，S3＝5，则S4＝ 2 ．
【分析】（1）利用利用图1，图2中，四边形ABCD的面积的两种求法，构建关系式，可得结论；
（2）如图4中，过点A作AH⊥BC于H．设BH＝x．利用刚刚打开构建方程求出x，即可解决问题；
（3）分两种方法表示出体积即可；
（4）设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，由a2+b2＝c2，推出S△ABD+S△ACE＝S△BCF，可得S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，由此可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，
∵S正方形ABCD＝4×S△ABE+S正方形EFGH，
∴c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2．
如图2中，
∵S四边形ABCD＝2×S△ABE+S△AED，
∴（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
（2）如图4中，过点A作AH⊥BC于H．设BH＝x．
∵AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
∴BH＝5，AH＝＝12，
∴S△ABC＝•BC•AH＝×14×12＝84．
（3）方法一可表示为：（a+b）3；
方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
（4）如图4中，
∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，
∵a2+b2＝c2，
∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，
∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，
∴S4＝3+5﹣6＝2，
故答案为：2．
28．（10分）【问题情景】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 B ，请选择正确的一项．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 2＜AD＜8 ．
【初步运用】
（3）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．
【灵活运用】
（4）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝BF，若EF＝5，EC＝3，求线段BF的长；
【拓展延伸】
（5）如图4，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：
A．∠ACD＝∠BCD
B．CE＝2CD
C．∠BCD＝∠BCE
D．CD＝CB
所有正确选项的序号是 B、C ．
【分析】（1）根据SAS即可证明△ADC≌△EDB；
（2）由△ADC≌△EDB，得AC＝BE＝6，再借助三角形三边关系即可；
（3）延长DC、AE交于点F，证明△AEB≌△FEC（AAS），得AB＝CF，再由角平分线的定义和平行线的性质可得AD＝DF，从而得到结论；
（4）延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，由（1）同理可知△ACD≌△GBD（SAS），得BG＝AC，∠G＝∠DAC，由AC∥BG，得△AEF∽△GBF，根据对应边成比例即可；
（5）延长CD至F，使DF＝CD，利用SAS证明△CBE≌△CBF，即可判断．
【解答】解：（1）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）∵△ADC≌△EDB，
∴AC＝BE＝6，
在△ABE中，由三边关系得：
AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即10﹣6＜AE＜10+6，
∴4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8；
（3）AD＝DC+AB，理由如下：延长DC、AE交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠BAE，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BE，
又∵∠FEC＝∠AEB，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB＝CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠F＝∠DAE，
∴AD＝DF，
∴AD＝DC+AB；
（4）延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
由（1）同理可知△ACD≌△GBD（SAS），
∴BG＝AC，∠G＝∠DAC，
∴AC∥BG，
∴△AEF∽△GBF，
∴，
设AE＝x，则BG＝x+3，BF＝x，
∴，
解得x＝（负值舍去），
∴BF＝；
（5）延长CD至F，使DF＝CD，
由（1）得BF＝AC，∠FBA＝∠A，
∵AC＝AB，
∴BF＝AB，∠ACB＝∠ABC，
∵点B为AE的中点，
∴BE＝AB，
∴BE＝BF，
∵∠CBE＝∠ACB+∠A，
∠CBF＝∠CBA+∠ABF，
∴∠CBE＝∠CBF，
又∵CB＝CB，
∴△CBE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF＝2CD，∠BCE＝∠BCD，
故B、C正确．
故答案为：B、C．
2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，共24分）
1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，则∠F＝ ．
2．（2分）等边三角形的每个内角都等于 度．
3．（2分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请你添加一个条件： ，使得△ABC≌△DEF．
4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的顶角是80°，则它的底角为 ．
5．（2分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是 ．
6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6，则AB＝ ．
7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝45°，则∠C＝ ．
8．（2分）如图，以直角三角形三边向外作正方形，其中两个正方形的面积为50和20，则正方形A的面积等于 ．
9．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，则D到AB的距离为 cm．
10．（2分）10、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，则FG＝ ．
11．（2分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有 ．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE＝ ．
二、选择题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm
15．（3分）三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ）
A．到三边距离相等
B．到三顶点距离相等
C．不在第三边的垂直平分线上
D．以上都不对
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，则△BCD的周长为（ ）
A．16 B．20 C．21 D．24
17．（3分）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm
18．（3分）将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
19．（6分）已知：如图，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：AE＝CF．
20．（6分）已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
21．（7分）如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．
（1）判断△ACD的形状；
（2）求这块绿地ABCD的面积．
22．（7分）（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的ΔA1B1C1；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸的图中标出点P），使PB+PC的长最短．
23．（8分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）求线段BC；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为 cm．
24．（8分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；
②过P作射线PD，使PD∥AC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）
（2）若∠BPD＝40°，则∠ACP＝ °．
25．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）求证：BE＝DF；
（2）探究线段AB、AD、AF三者之间的数量关系；
（3）若△ABC的面积是23，△ADC的面积是18，则△BEC的面积等于 ．
26．（8分）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）连接PQ．
①当△BPQ为等边三角形时，t＝ 秒；
②当△BPQ为直角三角形时，t＝ 秒．（直接写出结果）
27．（10分）数学中，常对同一个量（图形的面积、高、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【知识理解】
（1）勾股定理是数学中重要的定理．请从图1、图2中选择一个进行验证，要求写出验证过程；
【知识运用】
（2）在△ABC中（如图4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面积．
（3）如图3是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式为 ．
【知识拓展】
（4）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别AC、BC、AB为直角边作三个等腰直角三角形，若图中S1＝6，S2＝3，S3＝5，则S4＝ ．
28．（10分）【问题情景】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 ，请选择正确的一项．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 ．
【初步运用】
（3）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．
【灵活运用】
（4）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝BF，若EF＝5，EC＝3，求线段BF的长；
【拓展延伸】
（5）如图4，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：
A．∠ACD＝∠BCD
B．CE＝2CD
C．∠BCD＝∠BCE
D．CD＝CB
所有正确选项的序号是 ．
2021-2022学年江苏省镇江市丹阳市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题，共24分）
1．（2分）若△ABC≌△DEF，∠A＝100°，∠E＝60°，则∠F＝ 20° ．
【分析】先根据全等三角形的性质求出∠D，再根据三角形内角和定理求出∠F即可．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝100°，
∴∠D＝∠A＝100°，
∵∠E＝60°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝20°，
故答案为：20°．
2．（2分）等边三角形的每个内角都等于 60 度．
【分析】根据等边三角形各边长相等的性质即可求得∠A＝∠B＝∠C，根据三角形内角和为180°的性质即可求得∠A＝∠B＝∠C＝60°，即可解题．
【解答】解：等边三角形各边长相等，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∵三角形内角和为180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．
故答案为：60．
3．（2分）如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，请你添加一个条件： AC＝DF（答案不唯一） ，使得△ABC≌△DEF．
【分析】此题是一道开放型的问题，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是AC＝DF，
理由是：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AC＝DF（答案不唯一）．
4．（2分）在等腰三角形ABC中，它的顶角是80°，则它的底角为 50° ．
【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得．
【解答】解：根据等腰三角形两底角相等，
底角为：（180°﹣80°）÷2＝50°
故答案为：50°．
5．（2分）直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是 5 ．
【分析】已知直角三角形的两条直角边，根据勾股定理即可求斜边的长度，根据斜边中线长为斜边长的一半即可解题．
【解答】解：已知直角三角形的两直角边为6、8，
则斜边长为＝10，
故斜边的中线长为×10＝5，
故答案为5．
6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6，则AB＝ 12 ．
【分析】根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6，
则AB＝2CD＝2×6＝12，
故答案为：12．
7．（2分）在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝45°，则∠C＝ 45° ．
【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝90°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝∠B＝（180°﹣90°）＝45°．
故答案为：45°．
8．（2分）如图，以直角三角形三边向外作正方形，其中两个正方形的面积为50和20，则正方形A的面积等于 30 ．
【分析】根据勾股定理得出BC2＝CD2﹣BD2＝50﹣20＝30，则可得出答案．
【解答】解：如图，
∵∠CBD＝90°，CD2＝50，BD2＝20，
∴BC2＝CD2﹣BD2＝50﹣20＝30，
∴正方形A的面积为30，
故答案为：30．
9．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，若BD：DC＝2：1，BC＝15cm，则D到AB的距离为 5 cm．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE＝CD，根据BD：DC＝2：1和BC＝15cm求出CD＝5cm，再得出答案即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，
∴DE＝CD，
∵BD：DC＝2：1，BC＝15cm，
∴CD＝5cm，
∴DE＝CD＝5cm，
即点D到AB的距离是5cm，
故答案为：5．
10．（2分）10、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交DE于点F，G，若BE＝5，DC＝7，DE＝9，则FG＝ 3 ．
【分析】根据平行线的性质得到∠EFB＝∠FBC，∠DGC＝∠GCB，由角平分线的定义得到∠FBC＝∠FBE，∠GCB＝∠GCD，于是得到BE＝EF，CD＝DG，代入数据即可得到结论．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EFB＝∠FBC，∠DGC＝∠GCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，
∴∠FBC＝∠FBE，∠GCB＝∠GCD，
∴∠EFB＝∠EBF，∠DCG＝∠DGC，
∴BE＝EF，CD＝DG，
∵若BE＝5，DC＝7，DE＝9，，
∴EB+CD＝EF+DG＝EG+FG+FG+DF＝ED+FG，即5+7＝9+FG，
∴FG＝3，
故答案为：3．
11．（2分）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方形有 4 ．
【分析】利用轴对称的定义可得答案．
【解答】解：如图所示：
，
共4个，
故答案为：4．
12．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA，则∠DAE＝ 45° ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝45°，根据等边对等角的性质求出∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，
∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∵CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE＝×45°＝22.5°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠E，
＝67.5°﹣22.5°，
＝45°．
二、选择题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）下面四个手机的图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选不项符合题意；
故选：A．
14．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（ ）
A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cm
C．2cm、3cm、4cm D．5cm、12cm、13cm
【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵52+42≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
B、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵122+52＝132，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
15．（3分）三角形两边的垂直平分线的交点为O，则点O（ ）
A．到三边距离相等
B．到三顶点距离相等
C．不在第三边的垂直平分线上
D．以上都不对
【分析】画出图形，根据线段垂直平分线性质求出OA＝OB＝OC，即可得出选项．
【解答】解：如图：
连接OA、OB、OC，
∵O为△ABC两边BC、AC的垂直平分线的交点，
∴OB＝OC，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC，
∴O也在AB的垂直平分线上，且O到△ABC三顶点的距离相等，
三角形的三角的平分线的交点到三角形的三边距离相等，
即选项A、C、D错误，只有选项B正确；
故选：B．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交AC于D，若AB＝15，BC＝9，则△BCD的周长为（ ）
A．16 B．20 C．21 D．24
【分析】由勾股定理求出AC＝12，由线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，即BD+CD＝AC，则可求出答案．
【解答】解：∵AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝＝12，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AD+CD＝BD+CD，即BD+CD＝AC，
∴△BCD的周长为CD+BD+BC＝AC+BC＝12+9＝21．
故选：C．
17．（3分）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（ ）
A．1cm B．cm C．1.5cm D．cm
【分析】易求AC＝4cm，则CE＝1cm．设CD＝x，则ED＝DB＝3﹣x，根据勾股定理求解．
【解答】解：∵∠ACD＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝＝＝4（cm），
∵△ADE是由△ABD沿AD折叠而得到的，
∴AE＝AB＝4cm，DE＝DB，
∴CE＝AE﹣AC＝5﹣4＝1（cm），
设CD＝xcm，则DB＝DE＝（3﹣x）cm，
在Rt△DCE中，
∴CD2+CE2＝DE2，
∴x2+1＝（3﹣x）2，
∴x＝，
故选：B．
18．（3分）将斜边相等的两块三角形如图放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，若S四边形ABCD＝8，连接BD．则BD的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，可证D，A，E在一条直线上，△DBE是等腰直角三角形，面积为8，即可求出BD的长．
【解答】解：将△BCD绕点B逆时针旋转90°，得到△BCE，
可知，BE＝BD，∠BCD＝∠BAE，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠BAE+∠BAD＝180°，
∴D，A，E在一条直线上，
∴△DBE是等腰直角三角形，面积等于四边形ABCD的面积，
即，
可得：，
解得：BD＝4，
故选：B．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
19．（6分）已知：如图，AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE．求证：AE＝CF．
【分析】根据SAS证明△ABF≌△CDE（SAS），推出AF＝CE，可得结论．
【解答】证明：在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF＝CE，
∴AE+EF＝EF+CF，
∴AE＝CF．
20．（6分）已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．
【分析】根据线段的垂直平分线的判定定理可知AD是线段BC的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知EB＝EC．
【解答】解：∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD是线段BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴EB＝EC．
21．（7分）如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，CD＝12m，AD＝13m．
（1）判断△ACD的形状；
（2）求这块绿地ABCD的面积．
【分析】（1）由勾股定理求出AC，根据AC2+CD2＝AD2即可判定△ACD为直角三角形；
（2）由直角三角形面积即可计算该绿地的面积．
【解答】解：（1）∵∠B＝90°，
在直角△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5（m），
∵52+122＝132，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD，
∴S四边形ABCD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36（m2），
答：该绿地ABCD的面积为36m2．
22．（7分）（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的ΔA1B1C1；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P（在答题纸的图中标出点P），使PB+PC的长最短．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可；
（3）连接B1C，与直线l的交点即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，ΔA1B1C1即为所求．
（2）△ABC的面积为3×4﹣×1×3﹣×2×3﹣×1×4＝，
故答案为：；
（3）如图所示，点P即为所求．
23．（8分）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．
（1）求线段BC；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为 7 cm．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，即可得到BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13cm；
（2）由BC＝13结合OB+OC+BC＝27得到OB+OC＝14，根据线段垂直平分线的性质可得OA＝OB＝OC，继而求得OA的长．
【解答】解：（1）∵OM是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
同理，EA＝EC，
∵△ADE的周长13，
∴AD+DE+EA＝13，
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝13（cm）；
（2）连接OB，OC，
∵△OBC的周长为27，
∴OB+OC+BC＝27，
∵BC＝13，
∴OB+OC＝14，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝7（cm），
故答案为：7．
24．（8分）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．
（1）①在射线AB取一点P，使△APC是以AC为底边的等腰三角形；
②过P作射线PD，使PD∥AC；（以上按要求尺规作图，并保留作图痕迹）
（2）若∠BPD＝40°，则∠ACP＝ 40 °．
【分析】（1）①作AC的垂直平分线交AB于点P即可；
②作∠BPD＝∠A即可得PD∥AC；
（2）根据平行线的性质即可得∠ACP的度数．
【解答】解：（1）①如图，点P即为所求；
②射线PD即为所求；
（2）∵PD∥AC，
∴∠BPD＝∠A＝40°，
∵PA＝PC，
∴∠ACP＝∠A＝40°，
故答案为：40．
25．（8分）已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且∠ADC+∠B＝180°．
（1）求证：BE＝DF；
（2）探究线段AB、AD、AF三者之间的数量关系；
（3）若△ABC的面积是23，△ADC的面积是18，则△BEC的面积等于 2.5 ．
【分析】（1）利用角平分线的性质可得CE＝CF，∠F＝∠CEB＝90°，根据等角的补角相等得∠B＝∠CDF，利用AAS证出两三角形全等即可得出结论；
（2）求出DF＝BE，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF＝AE，由BE＝DF可得AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，即可得AB+AD＝2AF；
（3）利用全等三角形的面积相等，设△BEC的面积为x，列出方程可得结果．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE＝CF，∠CEB＝∠F＝90°，
∵∠ADC+∠B＝180°，∠ADC+∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF，
在Rt△BCE与Rt△DCF中，
，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝DF；
（2）AB+AD＝2AF，
证明：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF＝BE，CE＝CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ACE与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AF＝AE，
∴AB﹣AE＝AF﹣AD＝AB﹣AF，
∴AB+AD＝2AF；
（3）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴S△BCE＝S△DCF，
设△BEC的面积为x，
∵△ABC的面积是23，△ADC面积是18，
∴23﹣x＝18+x，
∴x＝（23﹣18）＝2.5．
即△BEC的面积等于2.5，
故答案为：2.5．
26．（8分）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．
（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）连接PQ．
①当△BPQ为等边三角形时，t＝ 2 秒；
②当△BPQ为直角三角形时，t＝ 或 秒．（直接写出结果）
【分析】（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ＝60°；
（2）①可用t表示出BP和BQ，由△BPQ为等边三角形得BP＝BQ，即可解答；
②可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠PAC＝60°，
∵点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，
∴AP＝BQ，
在△APC和△BQA中，
，
∴△APC≌△BQA（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠CAQ+∠ACP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°，
∴在P、Q运动的过程中，∠CMQ不变，∠CMQ＝60°；
（2）①∵运动时间为ts，则AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
∵△BPQ为等边三角形，
∴BP＝BQ，
∴4﹣t＝t，
∴t＝2，
故答案为：2；
②∵运动时间为t秒，则AP＝BQ＝t，
∴PB＝4﹣t，
当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，
∴4﹣t＝2t，解得t＝，
当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2PB，
∴t＝2（4﹣t），解得t＝，
∴当t为秒或秒时，△PBQ为直角三角形．
故答案为：或．
27．（10分）数学中，常对同一个量（图形的面积、高、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【知识理解】
（1）勾股定理是数学中重要的定理．请从图1、图2中选择一个进行验证，要求写出验证过程；
【知识运用】
（2）在△ABC中（如图4），已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，求△ABC的面积．
（3）如图3是棱长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块，用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式为 （a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ．
【知识拓展】
（4）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别AC、BC、AB为直角边作三个等腰直角三角形，若图中S1＝6，S2＝3，S3＝5，则S4＝ 2 ．
【分析】（1）利用利用图1，图2中，四边形ABCD的面积的两种求法，构建关系式，可得结论；
（2）如图4中，过点A作AH⊥BC于H．设BH＝x．利用刚刚打开构建方程求出x，即可解决问题；
（3）分两种方法表示出体积即可；
（4）设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，由a2+b2＝c2，推出S△ABD+S△ACE＝S△BCF，可得S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，由此可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，
∵S正方形ABCD＝4×S△ABE+S正方形EFGH，
∴c2＝4×ab+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2．
如图2中，
∵S四边形ABCD＝2×S△ABE+S△AED，
∴（a+b）（a+b）＝2×ab+c2，
∴a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
（2）如图4中，过点A作AH⊥BC于H．设BH＝x．
∵AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，
∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，
解得x＝5，
∴BH＝5，AH＝＝12，
∴S△ABC＝•BC•AH＝×14×12＝84．
（3）方法一可表示为：（a+b）3；
方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
（4）如图4中，
∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，
∵a2+b2＝c2，
∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，
∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，
∴S4＝3+5﹣6＝2，
故答案为：2．
28．（10分）【问题情景】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，其依据是 B ，请选择正确的一项．
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 2＜AD＜8 ．
【初步运用】
（3）如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．
【灵活运用】
（4）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝BF，若EF＝5，EC＝3，求线段BF的长；
【拓展延伸】
（5）如图4，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列四个选项中：
A．∠ACD＝∠BCD
B．CE＝2CD
C．∠BCD＝∠BCE
D．CD＝CB
所有正确选项的序号是 B、C ．
【分析】（1）根据SAS即可证明△ADC≌△EDB；
（2）由△ADC≌△EDB，得AC＝BE＝6，再借助三角形三边关系即可；
（3）延长DC、AE交于点F，证明△AEB≌△FEC（AAS），得AB＝CF，再由角平分线的定义和平行线的性质可得AD＝DF，从而得到结论；
（4）延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，由（1）同理可知△ACD≌△GBD（SAS），得BG＝AC，∠G＝∠DAC，由AC∥BG，得△AEF∽△GBF，根据对应边成比例即可；
（5）延长CD至F，使DF＝CD，利用SAS证明△CBE≌△CBF，即可判断．
【解答】解：（1）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
又∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：B；
（2）∵△ADC≌△EDB，
∴AC＝BE＝6，
在△ABE中，由三边关系得：
AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即10﹣6＜AE＜10+6，
∴4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8，
故答案为：2＜AD＜8；
（3）AD＝DC+AB，理由如下：延长DC、AE交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠BAE，
∵E为BC的中点，
∴CE＝BE，
又∵∠FEC＝∠AEB，
∴△AEB≌△FEC（AAS），
∴AB＝CF，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠F＝∠DAE，
∴AD＝DF，
∴AD＝DC+AB；
（4）延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
由（1）同理可知△ACD≌△GBD（SAS），
∴BG＝AC，∠G＝∠DAC，
∴AC∥BG，
∴△AEF∽△GBF，
∴，
设AE＝x，则BG＝x+3，BF＝x，
∴，
解得x＝（负值舍去），
∴BF＝；
（5）延长CD至F，使DF＝CD，
由（1）得BF＝AC，∠FBA＝∠A，
∵AC＝AB，
∴BF＝AB，∠ACB＝∠ABC，
∵点B为AE的中点，
∴BE＝AB，
∴BE＝BF，
∵∠CBE＝∠ACB+∠A，
∠CBF＝∠CBA+∠ABF，
∴∠CBE＝∠CBF，
又∵CB＝CB，
∴△CBE≌△CBF（SAS），
∴CE＝CF＝2CD，∠BCE＝∠BCD，
故B、C正确．
故答案为：B、C．
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