初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形教学设计及反思

这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形教学设计及反思，共61页。

知识要点
1．____________相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2．能够________的两个三角形叫做全等三角形．
3．一个图形经过平移、翻折、旋转，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形________．
4．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做____________，重合的边叫做________，重合的角叫做________．表示方法：△ABC≌△DEF(对应顶点要写在对应位置上) .
5．全等三角形的对应边________，全等三角形的对应角________．
精 典 范 例
例1下列图形中，与已知图形全等的是( )
例2 如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则：
(1)△ABC≌________；
(2)AB，AC，BC的对应边分别是______________；
(3)∠B，∠BCA的对应角分别是______________．
例3如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠OAD＝80°，求∠C的度数．
例4 如图，△EFG≌△NMH，∠F和∠M是对应角．在△EFG中，FG是最长边．在△NMH中，MH是最长边．EF＝2.1cm，EH＝1.1cm，NH＝3.3cm.
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)求线段NM及线段HG的长度．
变式练习
1.下列各组图形中，是全等的图形是( )
2．如图，△ABC与△BAD全等，可表示为 ，∠C与∠D是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是
，其余的对应边是 .
3 如图，将△ABC沿绕点A旋转之后得到△ADE，则：
(1)△ABC≌________；
(2)AB，AC的对应边分别是____________；
(3)∠BCA的对应角是________．
4.如图，已知△ACF≌△DBE，AD＝9 cm，BC＝5 cm，求AB的长．
5 如图，△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠B＝60°，∠A＝68°， AB＝13cm，则∠F＝________°，DE＝________cm.
巩固练习
1．如图，将△ABC绕点A旋转后得到△ADE，则下列结论不正确的是( )
A．BC＝DE B．∠E＝∠C
C．∠B＝∠D D．∠B＝∠E
2．有下列说法：①全等形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等．其中正确的是( )
A．①②③④B．①③④
C．①②④D．②③④
3．如图，已知两个三角形全等，则∠α的度数是( )
A．72° B．60°
C．58° D．50°

4．已知△ABC≌△DEF，A与D，B与E，C与F分别为对应顶点，若AB＝7 cm，BC＝5 cm，AC＝8 cm，则EF＝( )
A．5 cm B．6 cm
C．7 cm D．8 cm
5．如图，△ACB≌△DCE，∠BCE＝30°，则∠ACD的度数为( )
A．20° B．30°
C．35° D．40°
6．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝( )
A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB
7．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝ .
8．如图，已知△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点．如果AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么BC的长度是 .
9．如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠BCA＝2∶2∶5.若△A′B′C≌△ABC，∠BCA′＝20°，则∠BCB′＝________．
10．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠BEA＝135°，则∠C的度数为________．
11．如图，△ABC≌△DFE，AB∥DF，AC∥DE，写出相等的边和相等的角．
12．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C＝42°，AB＝9，AD＝6，G为AB延长线上一点．
(1)求∠EBG的度数；
(2)求CE的长．
13．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若DE＝7，BC＝4，∠D＝35°，∠C＝60°.求：
(1)线段AE的长；
(2)∠DFA的度数．
14．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时．
(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角．
(2)设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少(用含有x或y的代数式表示) ?
(3)∠A与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个关系．
第十二章 全等三角形
第2课时 三角形全等的判定(1)——SSS
知识要点
1．________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．
2．只用________的直尺和______作图的方法叫做尺规作图，用尺规作一个角等于已知角的依据是________．
精 典 范 例
例1如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以判定( )
A．△ABD≌△ACD
B．△ABE≌△ACE
C．△BDE≌△CDE
D．以上答案都不对
例2如图，用直尺和圆规作一个已知角的平分线的示意图，依据“ ”判定△COM和△CON全等，从而说明OC是∠AOB的 ．
例3如图，OA＝OB，AC＝BC.求证：△AOC≌△BOC.
例4如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.求证：△ACD≌△CBE.
例5如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.求证：AE∥FB.
变式练习
1.如图，在△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC与BD相交于点E，若不再添加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加的一个条件是( )
A．AC＝BD
B．AC＝BC
C．BE＝CE
D．AE＝DE
2.如图，已知OA＝OB，AC＝BC，∠1＝30°，则∠ACB的度数是 .
3.如图，A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.
4 如图，AD＝CB，AE＝FC，DF＝BE.求证：AD∥BC.
5 如图，AB＝AC，BP＝CP.求证：△ABP≌△ACP.
巩固练习
1．如图，用尺规作出∠OBF＝∠AOB，作图痕迹中的弧MN是( )
A．以点B为圆心，OD长为半径的弧
B．以点B为圆心，DC长为半径的弧
C．以点E为圆心，OD长为半径的弧
D．以点E为圆心，DC长为半径的弧
2．如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”判定△ABC和△FED全等，有下列四个条件：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE.其中可利用的是( )
A．①或② B．②或③
C．①或③ D．①或④
3．如图，AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝( )
A．110° B．40° C．30° D．20°
4．如图，已知AB＝AC，BD＝DC，那么下列结论中不正确的是( )
A．△ABD≌△ACD
B．∠ADB＝90°
C．∠BAD是∠B的一半
D．AD平分∠BAC
5．如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝85°，则∠DEC＝________．
6．如图，BC＝DC，AB＝AD.求证：AC平分∠BAD.
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E两点在BC上，且有AD＝AE，BD＝CE.若∠BAD＝30°，∠DAE＝50°，求∠BAC的度数．
8．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.
(1)求证：△ABC≌△DEF.
(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.
求证：∠B＝∠D.
10．如图，AB＝CD，AD＝CB，在DA，BC的延长线上分别任取一点E，F，连接EF.求证：
(1)AB∥CD；
(2)∠E＝∠F.
11．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.
求证：∠3＝∠1＋∠2.
12．如图，AB＝AC，DB＝DC，EB＝EC.
(1)图中有几对全等三角形？请一一写出来；
(2)选择(1)中的一对全等三角形加以证明．
第十二章 全等三角形
第3课时 三角形全等的判定(2)——SAS
知识要点
__________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．
精 典 范 例
例1可以保证△ABC≌△A′B′C′的条件是( )
A．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠C＝∠C′
B．AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B′
C．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′
D．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′
例2如图，已知AB＝AD，∠BAE＝∠DAC，应用“SAS”要使△ABC≌△ADE，可补充的条件是 .
例3 如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.求证：△ABE≌△DCE.
例4 如图，已知AC平分∠BAD，AB＝AD.求证：△ABC≌△ADC.
例5 如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C.
求证：∠A＝∠D.
例6如图，已知AB∥DC，AB＝DC，AE＝CF.求证：△ABF≌△CDE.
变式练习
1.如图，若AO＝DO，只需补充 ，就可以根据SAS判定△AOB≌△DOC.
2如图，AB与CD相交于点E，AE＝CE，DE＝BE.
求证：∠A＝∠C.
3 如图，已知AD⊥BC于点D，且BD＝CD.求证：△ABD≌△ACD.
4 如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.
求证：∠C＝∠E.
5.如图，AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点，求证：△AFB≌△AEC.
巩固练习
1．如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OD，则要用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需添加的条件是( )
A．AB＝DC B．OB＝OC
C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC
2．如图，AB＝AC，AD＝AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件是( )
A．∠1＝∠2
B．∠B＝∠C
C．∠D＝∠E
D．∠BAE＝∠CAD
3．如图，AC，BD相交于点E，AC＝BD，AE＝BE，∠B＝35°，∠1＝95°，则∠D的度数是( )
A．60° B．35°
C．50° D．75°
4．如图，DC＝EA，EC＝BA，DC⊥AC，BA⊥AC，垂足分别是C，A，则BE与DE的位置关系是 ．
5．如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为 .
6．如图，AB∥CD，AB＝CD，CE＝BF.请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．
7．如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE.求证：∠D＝∠E.
8．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证：BC∥EF.
9．如图，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB＝CD.
求证： ∠A＝∠C.
10．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE＝CF，BE＝DF.求证：AD＝BC.
11．如图，AD是△ABC的高线，AD＝BD，DE＝DC，∠C＝75°，求∠AEB的度数．
12．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
13．如图，AD∥BC，AE＝CF，AD＝BC，点E，F在直线AC上，试猜想线段DE与BF有何关系(位置关系与数量关系)，并说明你的猜想．
全等三角形
三角形全等的判定(3)——ASA和AAS
知识要点
1．__________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)．
2．__________________________________相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)．
精 典 范 例
例1 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AC＝AD.
例2 如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：AB＝CD.
例3如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.求证：△ABC≌△CDE.
例4如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D.求证：AB＝CD.
例5如图，点A，D，C，E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝7，则CD的长为( )
A．5.5 B．4 C．4.5 D．3
例6 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于点O.已知AB＝AC，现添加下列条件仍不能判定△ABE≌△ACD的是( )
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．BD＝CE D．BE＝CD
变式练习
1. 如图，AE和BD相交于点C，∠A＝∠E，AC＝EC.求证：△ABC≌△EDC.
2.如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：CB＝CD.
3.如图，AC＝BC，请你添加一对边或一组角相等的条件，使AD＝BE.你所添加的条件是____________________．
4.如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB，CD，且∠B＝∠D，若要根据ASA判定△AOB≌△COD，应添加的条件是 .
5.如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E.求证：BE＝CF.
巩固练习
1．小强一不小心把一块三角形的玻璃打碎成了三块，如图，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①和②去
2．下列各图中的a，b，c分别为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形与左侧△ABC全等的是( )
A．甲和乙B．乙和丙
C．甲和丙D．只有丙
3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A．∠B＝∠C
B．AD＝AE
C．BD＝CE
D．BE＝CD
4．如图，AD和CB相交于点E，BE＝DE，请添加一个条件，使△ABE≌△CDE(只添一个即可)，你所添加的条件是
．
5．如图，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF.
(1)若以“SAS”为依据，还需添加的条件为 ；
(2)若以“ASA”为依据，还需添加的条件为 ；
(3)若以“AAS”为依据，还需添加的条件为 .
6．如图，点D，A，C在同一直线上，AB∥CE，AB＝CD，
∠B＝∠D.求证：△ABC≌△CDE.
7．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
求证：△AEF≌△DEB.
8．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD.
9．如图，在四边形ABCD中，E点在AD上，∠BAE＝∠BCE＝∠ACD＝90°，且BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC.
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE＝AD＋BE.
11．如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F.求证：AB＝CF＋BD.
第十二章 全等三角形
第5课时 三角形全等的判定(4)——HL
知识要点
____________________分别相等的两个三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
精 典 范 例
例1已知下列语句：
(1)有两个锐角相等的直角三角形全等；
(2)一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；
(3)三个角对应相等的两个三角形全等；
(4)两个直角三角形全等．
其中正确语句的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
例2如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )
A．AC＝AD
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
例3如图，点C，E，B，F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE.求证：CE＝BF.
例4 如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF.求证：AE＝DF.
变式练习
1.下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是( )
A．两组直角边对应相等
B．一组边对应相等
C．两组锐角对应相等
D．一组锐角对应相等
2.如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．AB＝AC
B．∠BAC＝90°
C．BD＝AC
D．∠B＝45°
3.如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD.求证：OB＝OC.
4. 如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE.求证：AB∥CD.
5 如图，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分别为C，B，AB＝DC.求证：∠ABD＝∠ACD.
巩固练习
1．使两个直角三角形全等的条件可以是( )
A．一锐角对应相等 B．两锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
2．下列说法正确的是( )
A．有两条边分别相等的两个直角三角形全等
B．有一条边相等的两个等腰直角三角形全等
C．有两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
D．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
3．如图，∠A＝90°，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上一点，BE交CD于F.若要补充一个条件，使得△ABE≌△ACD，在下列条件中，不能补充的条件是( )
A．AD＝AE
B．BE＝CD
C．BF＝CF
D．∠B＝∠C
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝ cm.
5．如图，AC⊥CF于C，DE⊥CF于E，AB＝DF，CE＝BF.求证：AC＝DE.
6．如图，AB⊥AC，AC⊥DC，AD＝BC.求证：
(1)AB＝CD；
(2)AD∥BC.
7．如图，AC＝DF，AC⊥BC，DF⊥DE，且AE＝BF，∠A＝60°，试求∠DEF的度数．
8．如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，且BF＝AC.
(1)证明：DF＝DC；
(2)求∠ABC的度数．
10．在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E.
(1)如图①，若B，C在DE的同侧，且AD＝CE.求证：AB⊥AC.
(2)如图②，若B，C在DE的两侧，其他条件不变，AB⊥AC仍然成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
第十二章 全等三角形
第6课时 角的平分线的性质(1)
知识要点
1．角的平分线上的点到角的两边的距离________．
2．会用尺规作图画角平分线．
3．一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
(1)明确命题中的已知和求证；
(2)根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．
精 典 范 例
例1如图，作∠AOB的角平分线．

例2如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB＝FC.
例3.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
例4如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD＝CD.求证：BE＝CF.
变式练习
1.如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
2.如图，已知△ABC，求作：△ABC的角平分线CE.
3.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( )
A．10 B．15 C．20 D．30
4.如图，在△ABC中，AB＝BC，高AD，CE相交于F，AF＝CF.求证：FD＝FE.
巩固练习
1．如图，观察尺规作图痕迹，下列说法错误的是( )
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A．PC＝PD
B．∠CPD＝∠DOP
C．∠CPO＝∠DPO
D．OC＝OD
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．7.5
B．8
C．15
D．无法确定
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，则下列结论错误的是( )
A．BD＋DE＝BC B．DE平分∠ADB
C．DA平分∠EDC D．AC＋DE＞AD
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是 .
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.已知AC＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为________．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E.
(1)若DC＝5，则DE＝________；
(2)若BC＝8，BD＝5，则DE＝________；
(3)若∠B＝45°，BE＝6，则CD＝________；
(4)若BC＝20，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是________．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝4，则△ABD的面积为________．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BD是角平分线，
DE⊥AB，E为垂足．若△ADE的周长等于10cm，求AB的长．
10．如图，已知三段公路(线段AB以及射线AC，BD)，请在AB的下方区域用尺规作一点P，使点P到三条公路的距离相等(保留作图痕迹，不写作法)．
11．如图，OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB于D，BC⊥OA于E.求证：AC＝BC.
12．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
(1)若△ABC的面积是40cm2，AB＝12cm，AC＝8cm，求DE的长．
(2)求证：S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：
(1)CF＝EB；
(2)AB＝AF＋2EB.
第十二章 全等三角形
第7课时 角的平分线的性质(2)
知识要点
1．角的内部到角的两边的距离相等的点在________________．
2．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离________．
精 典 范 例
例1如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
例2如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，∠BOC＝ .
例3 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC.求证：∠1＝∠2.
例4如图，BF与CE相交于D，BD＝CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E.求证：点D在∠BAC的平分线上．
例5如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．
例6 利用角平分线的性质，找到如图的△ABC的内部距三边距离相等的点．
变式练习
1.如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D，C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是( )
A．∠1＝∠2
B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2
D．无法确定
2.在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是( )
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．不能确定
3 如图，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，连接AD.若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
4 如图，107国道OA和320国道OB在某市相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要建一个货站P，使P到OA，OB的距离相等，且点P在直线CD上，用尺规作出货站P的位置．
5 如图，AB，AC，BC分别代表三条公路，现要在△ABC内建一座加油站，使加油站到三条公路的距离相等，请你在图中画出加油站的位置．
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
巩固练习
1．如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，有下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．其中正确的是( )
A．① B．②
C．①② D．①②③
2．如图，a，b，c三条公路的位置相交成三角形，现决定在三条公路之间修建一个超市，使超市到三条公路的距离相等，则超市应建在( )
A．三角形三边的高线的交点处
B．三角形两边的中线的交点处
C．∠α的平分线上
D．∠α，∠β的平分线的交点处
3．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC，交AB于E，则下列结论一定正确的是( )
A．AE＝BE
B．DB＝DE
C．AE＝BD
D．∠BCE＝∠ACE
4．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
5．如图，OP平分∠APB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．PO平分∠AOB
C．OA＝OB D．AB与OP互相平分
6．如图，△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是( )
①PA＝PC；
②BP平分∠ABC；
③P到AB，BC的距离相等；
④BP平分∠APC.
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D.若QC＝QD，则∠AOQ＝________．
8．如图，O是△ABC内一点，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，OD＝OE＝OF.若∠ABO＋∠BAO＝70°，则∠C＝ .
9．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线．
10．如图，P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，PE＝PF.Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为M，N，QM与QN相等吗？请证明．
11．如图，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们相交于点P.求证：BP为∠MBN的平分线．
12．如图，AD∥BC，∠B＝90°，E是AB的中点，且DE平分∠ADC，求证：CE平分∠BCD
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.求证：
(1)AM⊥DM；
(2)M为BC的中点．