初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理第2课时同步练习题

2.7　探索勾股定理

第2课时　勾股定理的逆定理

【基础练习】

知识点1　勾股定理的逆定理

1.[2020·温岭期末] 下列各组数能作为直角三角形三边长的是 (　　)

A.1,, B.3,4,6 C.2,,3 D.4,5,9

2.[2019·杭州西湖区期末] 在△ABC中,若AB=3,AC=,BC=,则下列结论正确的是 (　　)

A.∠B=90°  B.∠C=90° 

C.△ABC是锐角三角形 D.△ABC是钝角三角形

3.[教材作业题第1题变式] 根据下列条件,判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.

(1)a=4,b=5,c=6;

(2)a∶b∶c=3∶4∶5.

知识点2　勾股定理的逆定理的简单应用

4.木工要做一个长方形桌面,经测量得知四边形桌面的长边均为60 cm,短边均为32 cm,对角线的长为68 cm,这个桌面　　　　.(填“合格”或“不合格”) 

5.A,B,C三地的两两距离如图17所示,B地在A地的正西方向,那么B地在C地的　　　方向. 

图17

知识点3　勾股定理及其逆定理的综合应用

6.有形状和大小如图18所示的一块菜地,则它的面积为　　　　. 

图18

7.如图19,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.

图19

8.如图20所示,已知在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=4,BC=3,BD=.

(1)求CD的长;

(2)求AD的长;

(3)求证:△ABC是直角三角形.

图20

【能力提升】

9.如图21,以△ABC的三边为斜边,向外作等腰直角三角形,其面积分别是S1,S2,S3,且S1=25,S2=16,当S3=　　　时,∠ACB=90°. 

图21

10.如图22,正方形网格中小正方形的边长均为1,点A,B,C均为网格的格点.

(1)求△ABC的周长;

(2)△ABC是直角三角形吗?为什么?

图22

11.如图23,某港口P位于东西方向的海岸线上,“远航”号、“海天”号两艘轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里,它们离开港口P一个半小时后,分别位于点Q,R处,且相距30海里,如果知道“远航”号沿北偏东60°方向航行,请求出“海天”号的航行方向.

图23

12.如图24,D为AB上一点,若△ACE≌△BCD,且AD2+BD2=DE2,试判断△ABC的形状,并说明理由.

图24

13.如图25,C为线段BD上一动点,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC,EC.已知AB=4,DE=2,BD=8,设CD=x.

(1)用含x的代数式表示AC+CE的长;

(2)观察图形,在什么情况下,AC+CE的值最小?最小值为多少?

(3)求代数式+的最小值.

图25

答案

1.A

2.B　[解析] ∵AB=3,AC=,BC=,

∴AB2=32=9,AC2+BC2=()2+()2=9,

∴AB2=AC2+BC2,∴∠C=90°.

故选B.

3.解:(1)∵42+52=41,62=36,∴42+52≠62,

∴这个三角形不是直角三角形.

(2)∵a∶b∶c=3∶4∶5,

∴设a=3k(k>0),则b=4k,c=5k.

∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,

∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,即a2+b2=c2,

∴这个三角形是直角三角形.

4.合格　[解析] 因为602+322=682,所以此桌面的四个角都为直角.

5.正南　[解析] 因为BC=7 km,AB=24 km,AC=25 km,72+242=252,即BC2+AB2=AC2,所以△ABC为直角三角形,∠CBA=90°,故B地在C地的正南方向.

[点评] 求出∠CBA的度数后即可判断B地在C地的哪个方向.

6.24 m2

7.解:连结AC.由勾股定理,得AC=BC==,AB==.

∵()2+()2=()2,

∴AC2+BC2=AB2,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠ABC=45°.

8.解:(1)在Rt△BCD中,CD==.

(2)在Rt△ACD中,AD==.

(3)证明:∵BC2=9,AC2=16,AB2=(AD+BD)2=25,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.

9.9　[解析] 当∠ACB=90°时,以△ABC的三边为斜边,向外作等腰直角三角形,

可得S3+S2=S1,

∴S3=25-16=9.故答案为9.

10.解:(1)由勾股定理可得,AC==,BC==,AB==,故△ABC的周长是++.

(2)△ABC是直角三角形.理由:

∵()2+()2=()2,

∴AC2+AB2=BC2,

∴△ABC是直角三角形.

11.解:如图.由题意可得RP=12×1.5=18(海里),PQ=16×1.5=24(海里),QR=30海里.

∵182+242=302,

∴△RPQ是直角三角形,且∠RPQ=90°.

∵“远航”号沿北偏东60°方向航行,

∴∠QPN=60°,∴∠RPN=30°,

∴“海天”号沿北偏西30°方向航行.

12.解:△ABC是等腰直角三角形.理由如下:

∵△ACE≌△BCD,

∴AC=BC,∠EAC=∠B,AE=BD.

∵AD2+BD2=DE2,∴AD2+AE2=DE2,

∴△AED是直角三角形,且∠EAD=90°,

故∠EAC+∠DAC=90°,

则∠B+∠DAC=90°,

∴△ABC是直角三角形.

又∵AC=BC,∴△ABC是等腰直角三角形.

13.解:(1)AC+CE=+.

(2)当A,C,E三点共线时,AC+CE的值最小.

如图①,连结AE,过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F,得长方形ABDF,

则DF=AB=4,AF=BD=8,EF=DE+DF=2+4=6,

所以AE==10,

则AC+CE的最小值为10.

(3)如图②,构造图形作BD=4,分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,AB=2,DE=1,C为线段BD上一动点,设BC=x.

当A,C,E三点共线时,AE的长即为代数式+的最小值.

过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F,得长方形ABDF,

则DF=AB=2,AF=BD=4,EF=DE+DF=1+2=3,

所以AE==5,

即代数式+的最小值为5.