2020-2021学年2.4 圆的方程练习题

2.4圆的方程(1)

一．知识梳理

1．圆的方程

2.点与圆的位置关系

点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．

(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.

(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

二．每日一练

一、单选题

1．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（    ）

A．(－∞，－1)                                         B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)                               D．

2．直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

3．两个点、与圆的位置关系是（    ）

A．点在圆外，点在圆外           B．点在圆内，点在圆内

C．点在圆外，点在圆内           D．点在圆内，点在圆外

4．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（    ）

A．m＜            B．m≤             C．m＜2            D．m≤2

5．已知直线将圆平分，且与直线垂直，则的方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．圆的圆心坐标和半径分别是（    ）

A．(-1，0)，3        B．(1，0)，3        C．    D．

7．圆的方程为，则圆心坐标为（    ）

A． B． C． D．

8．已知实数x，y满足，则x的最大值是（    ）

A．3 B．2 C．-1 D．-3

二、多选题

9．设有一组圆，下列命题正确的是（    ）．

A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上     B．所有圆均不经过点

C．经过点的圆有且只有一个             D．所有圆的面积均为

10．已知方程，若方程表示圆，则的值可能为（    ）．

A． B．0 C．1 D．3

11．已知曲线（    ）

A．若，则C是圆       B．若，，则C是圆

C．若，，则C是直线  D．若，，则C是抛物线

12．已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（    ）

A．圆的圆心为                  B．圆被轴截得的弦长为8

C．圆的半径为5                       D．圆被轴截得的弦长为6

三、填空题

13．方程表示一个圆，则m的取值范围是_______

14．圆的圆心坐标为___________

15．已知三个点，，，则的外接圆的圆心坐标是___________.

16．若点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部(不包括边界)，则a的取值范围是________．

四、解答题

17．已知圆过三个点，，．

（1）求圆的方程；

（2）过原点的动直线与圆相交于不同的、两点，求线段的中点的轨迹．

18．已知圆经过点和，且圆心在直线上.

（1）求圆的方程；

（2）若直线过点且与圆心的距离为，求直线的方程.

19．求下列各圆的标准方程：

（1）圆心在x轴上，且圆过两点，；

（2）圆心在直线上，且圆与直线切于点.

20．在①，；②，；③，中任选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知，的中点坐标是，且______.

（1）求直线的方程；

（2）求以线段为直径的圆的方程.

21．已知圆的圆心在直线上，且过两点，，求圆的方程.

22．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长.

（1）x2＋y2－4x＝0；

（2）2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0；

（3）x2＋y2＋2ax＝0.

参考答案

1．A方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．

2．A整理圆的方程可得：，圆心，倾斜角为，其斜率，方程为：，即.

3．D将代入方程左边得，则点在圆内，将代入方程左边得，则点在圆外，

4．A由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜

5．D因为直线将圆平分，所以直线过圆心，

因为直线与直线垂直，所以斜率为，所以直线，

6．D根据圆的标准方程可得，的圆心坐标为，半径为，

7．D由可知，，所以，，

所以圆心为.

8．C方程变形为，圆心，半径，则的最大值是.

9．ABD圆心坐标为，在直线上，A正确；令，化简得，∵，∴，无实数根，∴B正确；

由，化简得，∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．

10．AB因为方程表示圆，所以，解得，所以满足条件的只有与0．

11．BC已知曲线.对于A，当时，，若，则C是圆；若，则C是点；若，则C不存在.故A错误.对于B，当时，，且，则C是圆，故B正确.

对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确.

对于D，当，时，，若，则表示一元二次方程，若，则表示抛物线，故D错误.

12．ABCD由圆的一般方程为，则圆，

故圆心为，半径为，则AC正确；令，得或，弦长为6，故D正确；令，得或，弦长为8，故B正确.

13．方程，即表示圆，

，求得，则实数m的取值范围为，

14．由可得所以圆心坐标为

15．(1，3)设圆的方程为，则，解得，

所以圆方程为，即，所以圆心坐标为.

16．(－∞，1)因为点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－2ay－4＝0的内部且不包括边界，

所以把点(a＋1，a－1)的坐标代入方程左边的代数式后，该代数式的值应小于0，

即(a＋1)2＋(a－1)2－2a(a－1)－4<0，解得a<1．

17．（1）；（2）的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内，不与边界重合）．

（1）设圆方程为，则，解得，

所以圆方程为，即；

（2）由（1），设，则由得，，即，，．又在圆内部，

所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆（点在圆内部）．

18．（1）；（2）或.

（1）由题意设圆心为，则圆的方程为，

因为圆经过点和，，解得，

即圆的方程为；

（2）当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.

又圆的圆心为，由，解得.

此时，直线的方程为，即；

当的斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离也为.

综上，满足题意的直线的方程为或.

19．（1）（2）

（1）因为圆心在x轴上，设圆心坐标为，则，即，解得，即圆心为，半径则所求圆的标准方程为；

（2）设圆心坐标为

则，解得，

则

则所求圆的标准方程为.

20．条件选择见解析；（1）；（2）.

若选①，则，所以，；

若选②，则，所以，；

若选③，则，所以，；

（1）设直线上的点的坐标为，，，则有，化简得.

（2）由，所以圆的半径，圆心坐标为，

所以圆的方程为.

21.设圆：，因为圆的圆心在直线上，且过两点，，所以，

故圆的方程为：.

22．（1）圆，(2，0)，r＝2；（2）不表示任何图形；（3）当a＝0时，方程表示点(0，0)，不表示圆；当a≠0时，方程表示以(－a，0)为圆心，|a|为半径的圆.①方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，故方程表示圆，圆心为C(2，0)，半径r＝2.②方程可变形为，此方程无实数解.故方程不表示任何图形.③原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.当a＝0时，方程表示点(0，0)，不表示圆；当a≠0时，方程表示以(－a，0)为圆心，|a|为半径的圆.