初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质综合训练题

12.3　第1课时　角的平分线的性质

命题点 1　角平分线的几何作图

1.如,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;

(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;

(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.

这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是 (　　)

A.SSS    B.SAS    C.ASA    D.AAS

2.[2018·藁城模拟] 如,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是              (　　)

A.点O在点A的南偏东60°方向上

B.点B在点A的北偏东30°方向上

C.点B在点O的北偏东60°方向上

D.点B在点O的北偏东30°方向上                                   

3.如,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧在∠CAB的内部交于点G,作射线AG交CD于点H.若∠C=140°,则∠AHC的大小是              (　　)

A.20°    B.25°    C.30°    D.40°

命题点 2　角平分线的性质

4.如,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN的长度的取值范围为 (　　)

A.PN<3    B.PN>3    C.PN≥3   D.PN≤3

5.如,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线,若BC=10 cm,BD?CD=3?2,则点D到AB的距离是 (　　)

A.6 cm    B.5 cm    C.4 cm   D.3 cm

6.如,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,AB=6 cm,DE=4 cm,S△ABC=30 cm2,则AC的长为(　　)

A.10 cm    B.9 cm    C.4.5 cm  D.3 cm

7.[2018·青岛市北区期末] 如,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为              (　　)

A.6.5    B.5.5    C.8    D.13

8.如,在△ABC中,两条外角平分线交于点P,PM⊥AC交AC的延长线于点M.若PM=6 cm,则点P到AB的距离为　　　　. 

9.如,在△ABC中,E为AC的中点,AD平分∠BAC交BC于点D,AB︰AC=2︰3,AD与BE相交于点O.若△OAE的面积比△BOD的面积大1,则△ABC的面积是　　　　. 

10.如,已知点B,D分别在∠MAN的两边上,C为∠MAN内部的一点,且AB=AD,DC=BC,CE⊥AM于点E,CF⊥AN于点F.试判断CE与CF是否相等,并说明理由.

11.如,已知∠1=∠2,BA<BC,P为BN上的一点,PF⊥BC于点F,PA=PC.求证:∠PCB+∠BAP=180°.

命题点 3　角平分线性质定理的证明

12.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程.下面是小明同学根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证.

已知:如2,∠AOC=∠BOC,点P在OC上, 　　　　　　　. 

求证:　　　　　　　. 

请你补全已知和求证,并写出证明过程.

13.如,已知AD∥BC,∠D=90°.

(1)如图①,若∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,CD经过点P,则P是线段CD的中点吗?为什么?

(2)如图②,若P是DC的中点,BP平分∠ABC,∠CPB=35°,求∠PAD的度数.

第2课时　角的平分线的判定

命题点 1　角平分线的判定

1.如,∠AOB=60°,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,且CD=CE,则∠DOC的度数是(　　)

A.30°    B.45°    C.60°    D.120°

2.已知△ABC,两个完全一样的三角板如5摆放,它们的一组对应直角边分别在AB,AC上,且这组对应边所对的顶点重合于点M,则点M一定在              (　　)

A.∠A的平分线上      B.AC边的高上

C.BC边的垂直平分线上    D.AB边的中线上

3.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如6,将一把直尺的一边与射线OB重合,另一把直尺的一边与射线OA重合,并且与第一把直尺交于点P.小明说:“射线OP就是

∠BOA的平分线.”他的依据是 (　　)

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B.角的平分线上的点到角的两边的距离相等                             

C.到角两边距离相等的点在角的平分线上

D.对顶角相等                                             

易错警示(3题)：

利用角平分线的判定时，注意要有“角的内部”这一条件.

4.如7,若DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则

∠DGF=　　　　. 

5.如,已知BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别为E,F,BE,CF相交于点D,BD=CD.求证:AD平分∠BAC.

6.如,在△ABC与△ADE中,∠E=∠C,DE=BC,EA=CA,过点A作AF⊥DE,垂足为F,DE交CB的延长线于点G,连接AG.

(1)求证:GA平分∠DGB;

(2)若S四边形DGBA=6,AF=,求FG的长.                                     

命题点 2　角平分线的性质与判定的综合

7.如0,直线l1,l2,l3分别表示三条相互交叉的公路,现要建立一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可选择的地址有              (　　)

A.一处 　　　  B.二处    C.三处 　　　  D.四处

8.如1,OP是∠MON内的一条射线,点A,B都在OP上,AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C,D,E,F,且AC=AD.求证:BE=BF.

9.如2,BD,CD是△ABC外角的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:点D在∠A的平分线上.

10.如3,在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACN的平分线相交于点P,连接AP.

(1)求证:AP平分外角∠CAM;

(2)过点C作CE⊥AP于点E,延长CE交BM于点D,求证:CE=ED.

11.如4,已知∠C=60°,AE,BD是△ABC的角平分线,且AE,BD交于点P.

(1)求∠APB的度数.

(2)求证:点P在∠C的平分线上.

(3)求证:①PD=PE;②AB=AD+BE.

典题讲评与答案详析

1.A

2.D　[解析] 如图,由题意知∠AOD=30°,∠COD=90°,∴∠AOC=120°.由作图可知,OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠DOB=30°.∴点B在点O的北偏东30°方向上.

3.A　[解析] 由题意可得AH平分∠CAB.

∵AB∥CD,

∴∠C+∠CAB=180°,∠HAB=∠AHC.

∵∠ACD=140°,∴∠CAB=40°.

∵AH平分∠CAB,∴∠HAB=20°.

∴∠AHC=20°.

4.C　[解析] 作PM⊥OB于点M.∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PM⊥OB,∴PM=PE=3.∴PN≥3.

5.C　[解析] ∵BC=10 cm,BD?CD=3?2,

∴CD=×10=4(cm).

∵AD是角平分线,

∴点D到AB的距离等于CD,即点D到AB的距离为4 cm.故选C.

6.B　[解析] 如图,过点D作DF⊥AC于点F.

∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,

∴DE=DF=4.

∵AB=6,

∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=×6×4+AC×4=30,

解得AC=9(cm).故选B.

7.A　[解析] 如图,过点D作DH⊥AC于点H.∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,DH⊥AC,

∴DF=DH.

在Rt△DFE和Rt△DHG中,

∴Rt△DFE≌Rt△DHG.

在Rt△ADF和Rt△ADH中,

∴Rt△ADF≌△ADH.

设△EDF的面积为x.

由题意得,38+x=51-x,解得x=6.5,

∴△EDF的面积为6.5.

8.6 cm　[解析] 如图,过点P作PN⊥BC于点N,PQ⊥AB交AB的延长线于点Q.∵BP,CP是两条外角的平分线,PM⊥AC,∴PN=PM,PQ=PN.∴PQ=PM.

∵PM=6 cm,∴PQ=6 cm,即点P到AB的距离为6 cm.

9.10　[解析] 如图,过点D作DM⊥AC于点M,DN⊥AB于点N.

∵AD平分∠BAC,DM⊥AC,DN⊥AB,

∴DM=DN.

∵S△ABD︰S△ADC=BD︰DC,

且S△ABD=·AB·DN,S△ADC=·AC·DM,

∴BD∶DC=AB∶AC=2∶3.

设△ABC的面积为S,则S△ADC=S.

∵E为AC的中点,

∴S△BEC=S.

∵△OAE的面积比△BOD的面积大1,

∴△ADC的面积比△BEC的面积大1.

∴S-S=1.∴S=10.

故答案为10.

10.解:CE=CF.

理由:在△ACD和△ACB中,

∴△ACD≌△ACB.

∴∠DAC=∠BAC,

即AC平分∠MAN.

又∵CE⊥AM,CF⊥AN,

∴CE=CF(角的平分线上的点到角的两边的距离相等).

11.证明:如图,过点P作PE⊥BA交BA的延长线于点E.又∵∠1=∠2,PF⊥BC,

∴PE=PF,∠PEA=∠PFC=90°.

在Rt△PEA与Rt△PFC中,

∴Rt△PEA≌Rt△PFC(HL).

∴∠PAE=∠PCB.

∵∠PAE+∠BAP=180°,

∴∠PCB+∠BAP=180°.

12.解:PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E　

PD=PE

证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,

∴∠PDO=∠PEO=90°.

在△PDO和△PEO中,

∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.

13.解:(1)P是线段CD的中点.

理由如下:过点P作PE⊥AB于点E.

∵AD∥BC,∠D=90°,∴∠C=180°-∠D=90°,即PC⊥BC.∵∠DAB的平分线与∠CBA的平分线交于点P,∴PD=PE,PC=PE.∴PC=PD,即P是线段CD的中点.

(2)过点P作PE⊥AB于点E.

∵AD∥BC,∠D=90°,

∴∠C=180°-∠D=90°,即PC⊥BC.

∵BP平分∠ABC,

∴∠PBE=∠PBC.

在△PBE与△PBC中,

∴△PBE≌△PBC(AAS).

∴∠EPB=∠CPB=35°,PE=PC.

∵PC=PD,∴PD=PE.

在Rt△PAD与Rt△PAE中,

∴Rt△PAD≌Rt△PAE(HL).

∴∠APD=∠APE.

∵∠APD+∠APE=180°-2×35°=110°,

∴∠APD=55°.

∴∠PAD=90°-∠APD=35°.

典题讲评与答案详析

1.A　[解析] ∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,∴OC是∠AOB的平分线.∵∠AOB=60°,

∴∠DOC=∠AOB=×60°=30°.

2.A

3.A　[解析] 如图所示,过两把直尺的交点P作PE⊥AO,PF⊥BO,垂足分别为E,F.

∵两把长方形直尺完全相同,∴PE=PF.∴OP平分∠AOB(角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上).

4.150°　[解析] ∵DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,

∴AD是∠BAC的平分线.

∵∠BAC=40°,

∴∠CAD=∠BAC=20°.

∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=20°+130°=150°.

故答案为150°.

5.证明:∵BE⊥AC,CF⊥AB,

∴∠BFD=∠CED=90°.

在△BDF与△CDE中,

∴△BDF≌△CDE(AAS).∴DF=DE.

又∵DF⊥AB,DE⊥AC, ∴AD平分∠BAC.

6.解:(1)证明:过点A作AH⊥BC于点H,如图.

在△ABC与△ADE中,

∴△ABC≌△ADE(SAS).∴S△ABC=S△ADE.

∴·DE·AF=·BC·AH.∴AF=AH.

又∵AF⊥DE,AH⊥BC,∴GA平分∠DGB.

(2)∵△ABC≌△ADE,∴AD=AB.

在Rt△ADF和Rt△ABH中,

∴Rt△ADF≌Rt△ABH(HL).

∴S四边形AFGH=S四边形DGBA=6.

在Rt△AFG和Rt△AHG中,

∴Rt△AFG≌Rt△AHG(HL).

∴SRt△AFG=×6=3.

∵AF=,∴·FG·=3,

解得FG=4.

7.D　[解析] 如图,可选择的地址有四处.

8.证明:∵AC⊥OM,AD⊥ON,AC=AD,

∴射线OP是∠MON的平分线.

又∵点B在OP上,BE⊥OM,BF⊥ON,

∴BE=BF.

9.证明:如图,过点D作DG⊥BC于点G.

∵BD是∠CBE的平分线,CD是∠BCF的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DG,DG=DF.∴DE=DF.

∴点D在∠A的平分线上.

10.证明:(1)过点P作PT⊥BN于点T,PS⊥AC于点S,PQ⊥BM于点Q,如图.

∵在△ABC中,∠ABC的平分线与外角∠ACN的平分线相交于点P,

∴PQ=PT,PS=PT.∴PQ=PS.

∴AP平分外角∠CAM.

(2)∵AP平分外角∠CAM,

∴∠DAE=∠CAE.

∵CE⊥AP,∴∠AED=∠AEC=90°.

在△AED和△AEC中,

∴△AED≌△AEC.∴CE=ED.

11.解:(1)∵∠C=60°,AE,BD是△ABC的角平分线,

∴∠ABP=∠ABC,∠BAP=∠BAC.

∴∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAC)=(180°-∠C)=60°.∴∠APB=120°.

(2)证明:如图,过点P作PF⊥AB,PG⊥AC,PH⊥BC,垂足分别为F,G,H.

∵AE,BD分别平分∠CAB,∠CBA,

∴PF=PG,PF=PH.∴PH=PG.

∴点P在∠C的平分线上.

(3)证明:①∵∠C=60°,PG⊥AC,PH⊥BC,

∴∠GPH=120°,即∠GPE+∠EPH=120°.又∵∠APB=∠DPE=∠DPG+∠GPE=120°,

∴∠EPH=∠DPG.又∵PG=PH,∠PGD=∠PHE,∴△PGD≌△PHE.∴PD=PE.

②如图,在AB上截取AM,使AM=AD.又∵∠DAP=∠MAP,AP=AP,∴△ADP≌△AMP.

∴∠APD=∠APM.∵∠APD=180°-120°=60°,

∴∠APM=60°.又∵∠APB=120°,∴∠MPB=60°.由∠APD=60°,可得∠EPB=60°,

∴∠EPB=∠MPB.又∵BP=BP,∠EBP=∠MBP,∴△EBP≌△MBP.∴BE=BM.

∴AB=AM+BM=AD+BE.