2021学年1.1 二次函数测试题

这是一份2021学年1.1 二次函数测试题，共12页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1．关于二次函数y＝eq \f(1,2)x2的图象，下列说法中错误的是eq \a\vs4\al(链接学习手册例1归纳总结)( )
A．它的形状是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点在原点处，坐标为(0，0)
D．它的顶点是抛物线的最高点
2．已知二次函数y＝－eq \r(2)x2，则下列各点不在该函数图象上的是( )
A．(1，－eq \r(2)) B．(0，0)
C．(－eq \r(2)，2) D．(2，－4 eq \r(2))
3．若抛物线y＝(2m－1)x2的开口向下，则m的取值范围是( )
A．m<0 B．mC．m>eq \f(1,2) D．m>－eq \f(1,2)
4．抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝eq \f(1,2)x2的共同特征是eq \a\vs4\al(链接学习手册例1归纳总结)( )
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．都有最高点
D．图象不是位于x轴上方就是位于x轴下方
5．若抛物线y＝ax2经过点P(1，－2)，则它也经过点( )
A．P1(－1，－2) B．P2(－1，2)
C．P3(1，2) D．P4(2，1)
6．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为y＝－2(x－m)2－k，则下列结论正确的是( )
A．m>0，k>0 B．m<0，k>0
C．m<0，k<0 D．m>0，k<0
7．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
8．函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是 ( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位
9．如图，抛物线y＝x2与直线y＝x相交于点A，沿直线y＝x平移该抛物线，使得平移后的抛物线的顶点恰好为点A，则平移后抛物线的函数表达式是( )
A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1
C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
10．将函数y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )
A．y＝eq \f(1,2)(x－2)2－2 B．y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋7
C．y＝eq \f(1,2)(x－2)2－5 D．y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4
11．如果抛物线y＝x2－ax＋1的对称轴是y轴，那么a的值为( )
A．0 B．－2 C．2 D．±2
12．二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位，得到的函数表达式是 ( )
A．y＝(x＋3)2－2 B．y＝(x＋3)2＋2
C．y＝(x－1)2＋2 D．y＝(x－1)2－2
13．已知点A(－3，7)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为( )
A．(0，7) B．(－1，7)
C．(－2，7) D．(－3，7)
14．设计师以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计的杯子如图K－4－1所示．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为( )
图K－4－1
A．17 B．11 C．8 D．7
二．填空题
15．请写出与二次函数y＝－5x2的图象关于x轴对称的图象的函数表达式：________．
16．已知二次函数y＝eq \f(1,3)x2的图象如图K－2－4所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A，B两点，且点A的横坐标为2，则△AOB的面积为________．
17．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是________．
18．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2(x≥0)和抛物线C2：y＝eq \f(x2,4)(x≥0)交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则eq \f(S△OFB,S△EAD)＝________．
19．若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位后，得到函数y＝2(x＋h)2的图象，则h＝________．
21．将一条抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的函数表达式为y＝2x2，则原抛物线的函数表达式为______________.
22．若抛物线y＝x2＋(a－4)x＋c的顶点在y轴上，则a的值为________．
23．若某条抛物线的顶点坐标为(－3，5)，形状大小、开口方向与抛物线y＝2x2－1完全相同，则此抛物线的函数表达式为____________．
24．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c＝________．
三．解答题
25．某涵洞是抛物线形，它的横断面如图K－2－7所示．现测得水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m.
(1)在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的函数表达式；
(2)有一艘宽为1 m，高为1 m的小舟，问该小舟能否通过这个涵洞？请通过计算说明理由．
26．二次函数图象的顶点坐标是(－2，4)，与x轴的一个交点坐标是(－3，0)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)根据抛物线的对称性，请直接写出抛物线与x轴的另一个交点坐标为________；
(3)请你给出一种平移方案，使平移后的抛物线经过原点．
27．已知一条抛物线与抛物线y＝2(x－3)2＋1关于x轴对称，求这条抛物线的函数表达式.
28．如图，抛物线y＝a(x－1)2＋4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连结BD.已知点A的坐标为(－1，0)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求梯形COBD的面积．
29．如图，已知抛物线y＝x2－2x＋a的顶点A在直线y＝－x＋3上，直线y＝－x＋3与x轴的交点为B，O为直角坐标系的原点．
(1)求点B的坐标与a的值；
(2)求△AOB的面积．
30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)三点．
(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)若M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．
参考答案
1．[解析] D ∵抛物线y＝eq \f(1,2)x2中二次项系数为eq \f(1,2)，∴此抛物线开口向上，顶点坐标为(0，0)，它的顶点是抛物线的最低点．
2．[解析] C 分别把四个选项中的坐标代入函数表达式检验．
3．[解析] B ∵抛物线的开口向下，
∴2m－1<0，∴m4．[答案] B
5．[答案] A
6．[解析] D ∵抛物线y＝－2(x－m)2－k的顶点坐标为(m，－k)，由图可知抛物线的顶点坐标在第一象限，
∴m＞0，k<0.
7．[解析] A 二次函数y＝(x＋2)2的图象的对称轴为直线x＝－2，A正确；二次函数y＝2x2－2的图象的对称轴为直线x＝0，B错误；二次函数y＝－2x2－2的图象的对称轴为直线x＝0，C错误；二次函数y＝2(x－2)2的图象的对称轴为直线x＝2，D错误．
8．[答案] D
9．[解析] C ∵抛物线y＝x2与直线y＝x相交于点A，∴x2＝x，解得x1＝1，x2＝0(舍去)，∴A(1，1)，∴平移后抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2＋1.
10．[解析] D 如图，连结AB，A′B′，则S阴影＝S四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A，B′B交x轴于点M，N.因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN＝4－1＝3.因为S▱ABB′A′＝AA′·MN，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即沿y轴向上平移了3个单位，所以新图象的函数表达式为y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4.
11．[解析] A ∵抛物线y＝x2－ax＋1的对称轴是y轴，
∴－eq \f(b,2a)＝－eq \f(－a,2)＝0，解得a＝0.故选A.
12．[解析] D 二次函数y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，其图象沿x轴向右平移2个单位后，得到的函数表达式为y＝(x－2＋1)2－2＝(x－1)2－2.
13．[解析] B 抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(4,2×1)＝－2，
设点A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为(x，7)，则eq \f(－3＋x,2)＝－2，解得x＝－1，
所以点A关于抛物线的对称轴的对称点的坐标为(－1，7)．故选B.
14．解析] B ∵y＝2x2－4x＋8＝2(x－1)2＋6，∴抛物线的顶点D的坐标为(1，6)．
∵AB＝4，∴点B的横坐标为x＝3.
把x＝3代入y＝2x2－4x＋8，得到y＝14，
∴CD＝14－6＝8，
∴CE＝CD＋DE＝8＋3＝11.
15．[答案] y＝5x2
16．[答案] eq \f(8,3)
[解析] 由抛物线的对称性可知AB＝4，令x＝2，则y＝eq \f(1,3)×22＝eq \f(4,3)，所以S△AOB＝eq \f(1,2)×4×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
17．答案] 2
[解析] 根据抛物线的轴对称性可知图中阴影部分的面积＝eq \f(1,2)×2×2＝2.
18．[答案] eq \f(1,6)
[解析] 设点A，B的横坐标为a，则点A的纵坐标为a2，点B的纵坐标为eq \f(a2,4).
∵BE∥x轴，∴点F的纵坐标为eq \f(a2,4).
∵F是抛物线y＝x2(x≥0)上的点，
∴点F的横坐标为x＝eq \r(y)＝eq \f(1,2)a.
∵CD∥x轴，∴点D的纵坐标为a2.
∵D是抛物线y＝eq \f(x2,4)(x≥0)上的点，
∴点D的横坐标为x＝eq \r(4y)＝2a，
∴AD＝a，BF＝eq \f(1,2)a，CE＝eq \f(3,4)a2，OE＝eq \f(1,4)a2，
∴eq \f(S△OFB,S△EAD)＝eq \f(\f(1,2)BF·OE,\f(1,2)AD·CE)＝eq \f(1,8)×eq \f(4,3)＝eq \f(1,6).
19．[答案] 2
20．[答案] y＝2(x＋1)2－3
22．[答案] 4
[解析] 由抛物线的顶点横坐标公式得x＝－eq \f(a－4,2)＝0，解得a＝4.
23．[答案] y＝2(x＋3)2＋5
[解析] ∵所求抛物线的顶点坐标为(－3，5)，
∴可设此抛物线的函数表达式为y＝a(x＋3)2＋5.
又∵它的形状大小、开口方向与抛物线y＝2x2－1完全相同，
∴a＝2.
∴此抛物线的函数表达式为y＝2(x＋3)2＋5.
24．[答案] 0
25．[解析] 由于抛物线的顶点为原点，可设抛物线的函数表达式为y＝ax2.由于水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，因此A(－0.8，－2.4)，B(0.8，－2.4)，把其中一个点的坐标代入，可求得a的值，即得函数表达式．
解：(1)∵抛物线的顶点为原点，
∴可设抛物线的函数表达式为y＝ax2.
∵水面宽AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，
∴A(－0.8，－2.4)，B(0.8，－2.4)．
将点A或点B的坐标代入函数表达式，得－2.4＝0.82a，解得a＝－eq \f(15,4)，
∴抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(15,4)x2.
(2)当x＝0.5时，y＝－eq \f(15,16).
∵2.4－eq \f(15,16)＝eq \f(117,80)(m)＞1 m，
∴该小舟能通过这个涵洞．
26．解：(1)设二次函数的表达式为y＝a(x＋2)2＋4.把(－3，0)代入得a＋4＝0，解得a＝－4，所以二次函数的表达式为y＝－4(x＋2)2＋4.
(2)(－1，0)
(3)答案不唯一，如向右平移3个单位或向右平移1个单位或向上平移12个单位等．
27．解：∵抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是(3，1)，抛物线y＝2(x－3)2＋1关于x轴对称的图象的顶点坐标为(3，－1)，
∴这条抛物线的函数表达式为y＝－2(x－3)2－1.
28．解：(1)将A(－1，0)代入y＝a(x－1)2＋4中，
得0＝4a＋4，解得a＝－1，
则抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4.
(2)对于抛物线的函数表达式y＝－(x－1)2＋4，
令x＝0，得到y＝3，即OC＝3.
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴CD＝1.
又∵A(－1，0)，
∴B(3，0)，即OB＝3，
则S梯形COBD＝eq \f(（1＋3）×3,2)＝6.
29．[解析] (1)根据所给的抛物线的函数表达式，易求其图象顶点的横坐标为1，再把x＝1代入y＝－x＋3，可求y＝2，于是可得顶点A的坐标是(1，2)，再把(1，2)代入y＝x2－2x＋a，易求a＝3.
(2)根据三角形的面积公式进行计算即可．
解：(1)∵y＝x2－2x＋a，
∴此函数图象的顶点的横坐标为1.
把x＝1代入y＝－x＋3，
可得y＝－1＋3＝2，
∴二次函数图象顶点A的坐标是(1，2)．
把(1，2)代入y＝x2－2x＋a，可得2＝1－2＋a，
解得a＝3.
当y＝0时，0＝－x＋3，解得x＝3，
∴点B的坐标是(3，0)．
(2)过点A作AE⊥OB于点E，
则AE＝2，S△AOB＝eq \f(1,2)OB·AE＝eq \f(1,2)×3×2＝3.
30．解：(1)把A(－2，－4)，O(0，0)，B(2，0)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a－2b＋c＝－4，,4a＋2b＋c＝0，,c＝0，))
解这个方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝1，,c＝0，))
∴函数表达式为y＝－eq \f(1,2)x2＋x.
(2)由y＝－eq \f(1,2)x2＋x＝－eq \f(1,2)(x－1)2＋eq \f(1,2)，可得
抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵O(0，0)，B(2，0)，
∴抛物线的对称轴垂直平分OB，
∴AM＋OM＝AM＋BM.
如图，连结AB交直线x＝1于点M，则此时AM＋OM的值最小．
过点A作AN⊥x轴于点N.
在Rt△ABN中，AB＝eq \r(AN2＋BN2)＝eq \r(42＋42)＝4 eq \r(2)，
因此AM＋OM的最小值为4 eq \r(2).