2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：3.2　导数的应用 【KS5U 高考】

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　　注:(1)f(x)在(a,b)内可导为此规律成立的一个前提条件;(2)对于在(a,b)内可导的函数f(x)来说, f ‘(x)>0是f(x)在(a,b)上为递增函数 的充分不必要条件;f ’(x)<0是f(x)在(a,b)上为递减函数的充分不必要条 件.例如:f(x)=x3在整个定义域R上为增函数,但f ‘(x)=3x2, f ’(0)=0,所以在x =0处并不满足f ‘(x)>0,即并不是在定义域中的任意一点处都满足 f '(x)>0.
考向一    利用导数求函数的单调性(区间)
例1　已知函数f(x)= (x>0且x≠1),求函数f(x)的单调区间.
由f '(x)<0得ln x+1>0,∴x> .又∵x≠1,∴ 1.∴f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 和(1,+∞).解法二:(列表法)函数的定义域为(0,1)∪(1,+∞),f '(x)=- ,令f '(x)=0,得x= .列表如下:
　　∴f(x)的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ,(1,+∞).
考向二    由函数的单调性求参数的取值范围
例2    (2014课标Ⅰ文,12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的 零点x0,且x0>0,则a的取值范围是 (　　)A.(2,+∞)    B.(1,+∞)    C.(-∞,-2)    D.(-∞,-1)
考点二  导数与函数的极(最)值
考向基础1.函数的极值与导数
　　注:(1)在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义 域内可能有多个极大值和极小值;
(2)极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小;(3)导数等于零的点不一定是极值点(例如:f(x)=x3,f '(x)=3x2,当x=0时,f '(0) =0,但x=0不是函数的极值点);(4)对于处处可导的函数极值点的导数必为零.2.函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值:在⑤　闭区间[a,b]    上连续的函数f(x),在[a, b]上必有⑥　最大值与最小值    ;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不 一定有最大值与最小值.
(ii)将f(x)的各⑧　极    值与⑨    f(a)、 f(b)    比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值.
(2)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最 小值的步骤如下:(i)求f(x)在(a,b)内的⑦　极值    ;
知识拓展1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值.2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.3.若函数f(x)在区间[a,b]内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函 数的最值点.
考向一    利用导数求函数的极值
例 1   (2015陕西文,15,5分)函数y=xex在其极值点处的切线方程为　　        .
考向二    利用导数求函数的最值
例2    (2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只 有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为　　　    .
时, f(x)有极小值,为f =- +1.∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f =0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,则f '(x)=6x(x-1).当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.
考点三  导数的综合应用
考向基础　　生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问 题通常称为优化问题,导数在这一类问题中有着重要的作用,它是求函 数最大(小)值的有力工具.(2)解决优化问题的基本思路: 
方法1    利用导数解决函数的单调性问题1.利用导数的符号判断函数的单调性函数的单调性与其导数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f '(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增; 如果f '(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.求可导函数单调区间的一般步骤 
3.若函数y=f(x)在区间A上是单调增(减)函数,则f '(x)≥0(f '(x)≤0)在A上 恒成立,然后分离参数转化为函数的最值问题,或直接转化为f '(x)min≥0(f '(x)max≤0).
例1　已知函数f(x)=-2a2ln x+ x2+ax(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.
解析　函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=- +x+a.(1)当a=1时,f(1)= ,f '(1)=-2+1+1=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y= .(2)f '(x)= = ,①当a=0时, f '(x)=x>0, f(x)在定义域(0,+∞)上单调递增;②当a>0时,令f '(x)=0,得x1=-2a(舍去),x2=a,当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:
此时,f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增;③当a<0时,令f '(x)=0,得x1=-2a,x2=a(舍去),当x变化时,f '(x),f(x)的变化情况如下表:
此时,f(x)在区间(0,-2a)上单调递减,在区间(-2a,+∞)上单调递增.
例2　已知函数f(x)=ex(x2-a),a∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程;(2)若函数f(x)在(-3,0)上单调递减,试求a的取值范围.
方法2  利用导数解决函数的极值、最值问题1.解决函数极值问题的一般思路: 2.函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出来的,函数 的极值是比较极值点附近的函数值得出来的,极值只能在区间内一点处 取得,最值则可以在端点处取得,有极值未必有最值,有最值未必有极值, 极值可能成为最值.
例3　求函数f(x)=ln x-ax,a∈R的极值.
方法3  利用导数解决不等式问题1.利用导数证明不等式若证明f(x)立,应求f(x)在x∈D上的最小值,将原条件转化为g(a)≥f(x)min.
例4　已知函数f(x)=ln x- .(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x>1时, f(x)解析　(1)f '(x)= -x+1= ,x∈(0,+∞).由f '(x)>0得 解得01时,F(x)1时, f(x)方法4  利用导数解决函数的零点问题利用导数研究函数零点的方法:(1)①求函数f(x)的单调区间和极值;②根据函数f(x)的性质作出图象;③判断函数零点的个数.(2)①求函数f(x)的单调区间和极值;②分类讨论,判断函数零点的个数.注意:研究零点时,首先要确认有没有零点,如果有,再研究有几个;研究 零点个数时,对于函数自变量趋向无穷时函数值的描述,一般采用选取 某个特殊的函数值来说明符号正负的方法.
例5　已知函数f(x)=x3-9x,函数g(x)=3x2+a.(1)若直线l是曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线,且l与曲线y=g(x)相切,求a 的值;(2)若方程f(x)=g(x)有三个不同的实数解,求实数a的取值范围.