2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：6.3　等比数列 【KS5U 高考】

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2.等比数列{an}的前n项和公式(1)当q=1时,Sn=②    na1    .(2)当q≠1时,Sn= = .3.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么称这个数G为a 与b的等比中项,即③    G=±     (a,b同号).
(1)a,G,b成等比数列⇔G2=ab(ab>0).(2)同号的两个数才有等比中项.
考向一    求等比数列的an与Sn
例1　已知正项数列{an}满足 -6 =an+1an,若a1=2,则数列{an}的前n项和Sn=　　　    .
考向二    等比中项的运用
例2　成等差数列的三个正数的和等于6,并且这三个数分别加上3,6,13 后成为等比数列{bn}中的b3,b4,b5,则数列{bn}的通项公式为 (　　)A.bn=2n-1　    B.bn=3n-1C.bn=2n-2　    D.bn=3n-2
考点二  等比数列的性质及应用
考向基础1.等比数列{an}满足 或 时,{an}是递增数列;满足 或 时,{an}是递减数列.2.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,当项数 为奇数时,还等于中间项的平方.3.等比数列的一些结论:(1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成 的新数列仍然是等比数列.(2)当q≠-1或q=-1且k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列;当q=-1且k 为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…不是等比数列.
(3)若{an}是等比数列,则{λan},{|an|}皆为等比数列,公比分别为①    q和|q|    (λ为非零常数).(4)一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列,新公比是原公比的 ②    k次幂    .(5){an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,则Tn, , ,…成等比数列.(6)若数列{an}与{bn}均为等比数列,则{m·an·bn}与 仍为等比数列,其中m是不为零的常数.(7)若数列{an}的项数为2n,S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则 =q;若项数为2n+1,则 =q.
4.当q≠0,q≠1时,Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}为等比数列的充要条件,这时k= ③         .5.对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列{an}中,am,an,ap,aq的关系 为④    am·an=ap·aq    .
考向    等比数列中的常用性质
例　已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则 (　　)A.a1<0,01C.a1>0,00,q>1
答案    A方法总结    {an}是等比数列,公比为q(q≠1),熟记下列结论能快速解题:当q>1,a1>0或01,a1<0或00时,数列{an}为递减数列.
方法1  等比数列的基本运算技巧1.方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”, 通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题可迎刃而解.2.分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当 q=1时,数列{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,数列{an}的前n项和Sn=  = .
例1　已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3= ,a2+a4= ,则 = (    　)A.4n-1　    B.4n-1　    C.2n-1　    D.2n-1
解析　设等比数列{an}的公比为q,∵ ∴  由①÷②可得 =2,∴q= ,代入①解得a1=2,∴an=2× = ,Sn= =4× ,∴ = =2n-1,故选D.
方法2  等比数列的判定1.定义法:若 =q(q为非零常数,n∈N*)或 =q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则数列{an}是等比数列.2.等比中项法:若数列{an}中,an≠0且 =an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.3.通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn(c,q均是不为0的常数,n ∈N*),则数列{an}是等比数列.4.前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k-k·qn(k为常数且k≠0,q≠0, 1),则数列{an}是等比数列.其中前两种方法常用于证明等比数列,后两种方法常用于选择题和填空题中.
若证明一个数列不是等比数列,只要证明存在相邻三项不成等比数列即可.