2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：6.2　等差数列 【KS5U 高考】

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3.等差中项如果⑤    A=     ,那么A叫做a与b的等差中项.
4.前n项和公式设等差数列{an}的公差为d,则其前n项和Sn=⑥         或Sn=⑦    na1+ d    .
考向    等差数列中的基本运算
例　已知数列{an}是首项为1,公差为d(d∈N*)的等差数列,若81是该数 列中的一项,则公差不可能是 (　　)A.2　    B.3　    C.4　    D.5
考点二  等差数列的性质及其应用
考向基础1.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am+①　(n-m)d    (n,m∈N*).(2)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则②    ak+al=am+an    .(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(p,q是常数)仍是等差数列.(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为③    md    的等差数列.
④　相同    ,公差是{an}的公差的⑤         .(2)若Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2 m成等差数列.(3)非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质:(i)若项数为2n,则S偶-S奇=⑥    nd    , =⑦         .
2.与等差数列各项的和有关的性质(1)若{an}是等差数列,则 也是等差数列,其首项与{an}的首项
(5)等差数列{an}的前n项和Sn的最值:(i)若a1>0,d<0,则从首项到最后一个非负项的和最大.(ii)若a1<0,d>0,则从首项到最后一个非正项的和最小.(iii)若数列中有常数项0,则Sn的最值对应两个n值.
(ii)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, = .(4)若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,则 =⑧         .
知识拓展利用数形结合的思想方法解决等差数列的有关问题时应明确两点:(1)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可变形为an=dn+(a1-d).若d=0,则an=a1是常数列;若d≠0,则an是关于n的一次函数.点(n,an)是直线y=dx+(a1-d)上的一群孤立的点.单调性:d>0时,{an}为单调递增数列;d<0时,{an}为单调递减数列.(2)等差数列{an}的前n项和Sn可表示为Sn= n2+ n,令A= ,B=a1- ,则Sn=An2+Bn.当A≠0,即d≠0时,Sn是关于n的二次函数,(n,Sn)在二次函数y=Ax2+Bx的图象上,为抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点.利用此性质可解决前n项和
考向一    求等差数列前n项和的最值
例1　已知数列{an}为等差数列,若 <-1,且前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的n的最大值为　　　    .
考向二    等差数列的常用性质
例2　已知数列{an}是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,若 - =100,则d的值为(　　)A. 　    B. 　    C.10　    D.20
方法1  等差数列的基本运算技巧1.等差数列可以由首项a1和公差d确定,所有关于等差数列的计算和证 明,都可围绕a1和d进行.2.对于等差数列问题,一般给出两个条件,就可以通过列方程(组)求出a1, d.如果再给出第三个条件,就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”问题, 这体现了用方程思想解决问题的思路.3.注意设元技巧,减少运算量.如果三个数成等差数列,一般可设为a-d,a, a+d;如果四个数成等差数列,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.
例1　已知{an}是首项为- ,公差为d(d≠0)的等差数列,Sn为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则d= (　　)A.-1　    B.- 　    C. 　    D. 解题导引     
解析    Sn=na1+ d,因为S1,S2,S4成等比数列,所以S1·S4= ,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,因为a1=- ,所以- (-2+6d)=(-1+d)2,即d2+d=0,解得d=0或d=-1.又因为d≠0,所以d=-1,故选A.
方法2  等差数列的判定方法1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种:(1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*);(2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*).2.解选择题、填空题时,可用通项法或前n项和法直接判断:(1)通项法:若数列{an}的通项公式为n的一次函数,即an=An+B,则{an}是 等差数列;(2)前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数), 则{an}为等差数列.
例2　已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn= (n∈N*).(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.
则an=1+ =1+ .设f(x)=1+ ,则f(x)在区间 和 上为减函数.所以当n=3时,an取得最小值,为-1,当n=4时,an取得最大值,为3.
又b1= =- ,所以数列{bn}是以- 为首项,1为公差的等差数列.(2)由(1)知bn=n- ,
方法3  等差数列前n项和的最值问题的求解方法求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法: