2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.2　直线、圆的位置关系 【KS5U 高考】

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2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成的直角三 角形计算.(2)代数方法运用根与系数的关系及弦长公式计算:|AB|= |xA-xB|=④         .说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法.
3.两圆的位置关系的判定设圆O1的方程为(x-a1)2+(y-b1)2=R2(R>0),圆O2的方程为(x-a2)2+(y-b2)2=r2(r>
拓展延伸1.常见直线系方程(1)过定点(x1,y1)的直线系方程为A(x-x1)+B(y-y1)=0(A2+B2≠0),还可以表 示为y-y1=k(x-x1)和x=x1.(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ≠C).(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程为Bx-Ay+λ=0.(4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x +B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中不包括直线A2x+B2y+C2=0).2.与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2;(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)
=r2;(3)过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则过A、B两 点的直线方程为x0x+y0y=r2;(4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点 为T,则切线长为|PT|= .3.求两圆公共弦所在直线的方程的方法(1)联立两圆方程,通过解方程组求出两交点坐标,再利用两点式求出直 线方程;(2)将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程.注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交.
考向一    直线与圆、圆与圆位置关系的判断
例1　圆x2+y2-2y=0与曲线y=|x|-1的公共点的个数为 (　　)A.4　    B.3　    C.2　    D.0
例2    (2016山东文,7,5分)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线 段的长度是2 .则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 (　　)A.内切　    B.相交C.外切　    D.相离
考向二    弦长问题
例3　已知圆(x-a)2+y2=4截直线x-y-4=0所得的弦的长度为2 ,则a=　    　    .
例4　过点M(1, )的圆O:x2+y2=4的切线方程是　　　　　　    .
考向三    切线问题
方法1  与圆有关的最值问题的求解方法1.研究与圆有关的最值问题时,可借助圆的性质,利用数形结合方法求解.2.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:①形如μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如m=ax+by形式的最值 问题,可转化为动直线截距的最值问题;③形如n=(x-a)2+(y-b)2形式的最 值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
例1　已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.解题导引     
解析　原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心, 为半径的圆.(1)设 =k,则y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最值,此时有 = ,解得k=± ,故 的最大值为 ,最小值为- .(2)设y-x=b,则y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最值,此时  = ,解得b=-2± .所以y-x的最大值为-2+ ,最小值为-2- .(3)x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在过原点 与圆心的直线和圆的两个交点处取得最值.又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+ )2=7+4 ,x2+y2的最小值是(2- )2=7-4 .
方法2  求解与圆有关的切线和弦长问题的方法1.求过圆上一点(x0,y0)的切线方程的方法:先求切点和圆心连线的斜率k (假设斜率存在,且不为零),由垂直关系知切线斜率为- ,由点斜式方程可求切线方程;若切线斜率不存在(此时k=0),则切线的方程为x=x0;若切 点和圆心连线的斜率不存在,则切线方程为y=y0.2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法:①几何法:当斜率存在时, 设斜率为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0,由圆心到直线的距离 等于半径,即可得到k的值,从而可得切线方程,当切线斜率不存在时,切 线的方程为x=x0;②代数法:当斜率存在时,设斜率为k,切线方程为y-y0=k (x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于x的一元二次方程,由Δ=0,求得k值,从而得到切线方程,当切线斜率不存在时,切线的方程为x=x0.
3.圆的弦长的求法:①几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则  =r2-d2;②代数法:设直线与圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,将方程组 消去y后得到一个关于x的一元二次方程,从而求得x1+x2,x1x2,则弦长|AB|=  (k为直线的斜率).
例2    (2015重庆文,12,5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该 圆在点P处的切线方程为　　　    .解题导引     
解析　设圆的方程为x2+y2=r2,将P的坐标代入圆的方程,得r2=5,故圆的方 程为x2+y2=5. 设该圆在点P处的切线上的任意一点为M(x,y),则 =(x-1,y-2).由 ⊥ (O为坐标原点),得 · =0,即1×(x-1)+2×(y-2)=0,即x+2y-5=0.
答案    x+2y-5=0