2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.3　椭圆及其性质【KS5U 高考】

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这是一份2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.3　椭圆及其性质【KS5U 高考】，共27页。

考向一    椭圆的定义
例1　已知△ABC的顶点B,C在椭圆 +y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 (　　)A.2 　    B.6　    C.4 　    D.2
考向二    求椭圆的方程
解析　依题意设椭圆G的方程为 + =1(a>b>0),∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12,∴2a=12,∴a=6,∵椭圆的离心率为 ,∴e= = = ,即 = ,解得b2=9,∴椭圆G的方程为 + =1,故选A.
考点二  椭圆的几何性质
考向    求椭圆的离心率(范围)
例　(1)(2016课标Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为 (　　)A. 　    B. 　    C. 　    D. (2)(2015福建,11,5分)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值范围是 (　　)A. 　    B. 　    C. 　    D.
解析　(1)如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a· ,所以e= = .故选B. (2)直线l:3x-4y=0过原点,
从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于 ,得 ≥ ,即b≥1.所以e2= = = ≤ ,又0答案　(1)B　(2)A
考点三  直线与椭圆的位置关系
考向基础1.直线与椭圆的位置关系的判断把椭圆方程 + =1(a>b>0)与直线方程y=kx+h联立消去y,整理成Ax2+Bx+C=0(A≠0)的形式,则:
2.直线被椭圆截得的弦长公式:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|= |x1-x2|= · = |y1-y2|= · (k为直线斜率,k≠0).3.焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1、F2构成的△PF1F2称作焦点三角形.设∠F1PF2=θ.(1)|PF1|+|PF2|=2a;(2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cs θ;
(3) = |PF1||PF2|sin θ= ·b2=b2·tan =c·|y0|.其中当|y0|=b,即P为短轴端点时,△PF1F2的面积最大,最大面积是bc.
拓展延伸1.如图,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦AB称为通径,|AB|= . 2.a+c与a-c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值.3.设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB 的斜率之积为定值- .
考向一    与弦的中点有关的问题
例1　平行四边形ABCD内接于椭圆 + =1,直线AB的斜率k1=1,则直线AD的斜率k2= (　　)A. 　    B.- 　    C.- 　    D.-2
解析　设AB的中点为G,则由椭圆的对称性知,O为平行四边形ABCD的对角线的交点,则GO∥AD.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得 =- ,整理得 =- =-k1=-1,即 =- .又G ,所以kOG= =- ,即k2=- ,故选B.
考向二    椭圆截直线的弦长问题
例2　已知椭圆C: + =1(a>b>0),直线l1: - =1被椭圆C截得的弦长为2 ,且e= ,过椭圆C的右焦点且斜率为的直线l2被椭圆C截得的弦为AB.(1)求椭圆的方程;(2)求弦AB的长度.
解析　(1)由l1被椭圆C截得的弦长为2 ,得a2+b2=8,①又e= ,故 = ,即 = ,所以a2=3b2.② 联立①②,解得a2=6,b2=2,所以所求的椭圆方程为 + =1.(2)由(1)知椭圆的右焦点的坐标为(2,0),∴l2的方程为y= (x-2),代入椭圆C的方程,整理得5x2-18x+15=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知,x1+x2= ,x1x2=3,
从而|x1-x2|= = ,由弦长公式,得|AB|= |x1-x2|= × = ,即弦AB的长度为 .
方法1   求椭圆标准方程的方法1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设方程: + =1(a>b>0), + =1(a>b>0)或mx2+ny2=1(m>0,n>0);
点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0).2.利用定义及性质求椭圆的标准方程(1)根据动点满足的几何意义写出标准方程;(2)建立关于a,b,c,e的方程或方程组,进而求出标准方程.
(3)找关系:根据已知条件建立关于a,b,c或m,n的方程组;(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.注意:用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦
例1　已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 ,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4 ,则C的方程为 (　　)A. + =1　    B. +y2=1C. + =1　    D. + =1解题导引
方法2  椭圆的离心率(取值范围)的求法1.若给定椭圆的方程,则可直接求得a2,b2,利用定义e= = 直接求解.2.若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形,建立关于a,b,c的方程(不等式),转化为关于e的方程(不等式)求解.
例2    (2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点,直线y= 与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　    .
解析　由已知条件易得B ,C ,F(c,0),所以 = , = ,由∠BFC=90°,可得 · =0,所以 + =0,c2- a2+ b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,亦即3c2=2a2,所以 = ,则e= = .
方法3  解决直线与椭圆位置关系问题的方法1.判断直线与椭圆的位置关系,可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解个数来确定.一般通过消元得关于x(或y)的一元二次方程,若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.2.弦长公式:设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的两个交点,直线AB的斜率存在,设为k(k≠0),则|AB|= · = · ,
即|AB|= |x1-x2|= |y1-y2|.3.设A(x1,y1),B(x2,y2)为椭圆 + =1(a>b>0)上两点,弦AB的中点为P(x0,y0),则x0= ,y0= ,可通过根与系数的关系来解决弦中点问题,这其中的解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”;也可以由用①-②将问题转化为斜率与中点坐标的关系来解决(称为点差法).4.在直线与椭圆的位置关系问题中,常涉及变量的求值和最值(范围)问
题,通常要用方程和函数的思想方法,而恰当地选择函数的自变量至关重要.
例3    (2016四川,20,13分)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.解题导引
解析　(1)由已知,得a= b,则椭圆E的方程为 + =1.由方程组得3x2-12x+(18-2b2)=0.①方程①的判别式为Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x1=x2=2,所以椭圆E的方程为 + =1.点T的坐标为(2,1).(2)证明:由已知可设直线l'的方程为y= x+m(m≠0),
由方程组可得所以P点坐标为 ,则|PT|2= m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②方程②的判别式为Δ=16(9-2m2),由Δ>0,解得-

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