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2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：2.8 函数模型及函数的综合应用 【KS5U 高考】
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这是一份2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：2.8 函数模型及函数的综合应用 【KS5U 高考】，共12页。PPT课件主要包含了方法技巧等内容，欢迎下载使用。
2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xα(α>0)在区间(0,+∞)上,无论α比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xα,但 由于y=ax的增长速度快于y=xα的增长速度,因而总存在一个x0,使x>x0时 有ax>xα.
(2)对数函数y=lgax(a>1)与幂函数y=xα(α>0)不论a与α值的大小如何,对数函数y=lgax(a>1)的增长速度总会慢于y=xα 的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有lgax
(3)指数函数模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,且a≠0),其增长特点是随着自变量 的增大,函数值增大的速度越来越快(b>1,且a>0).常形象地称之为“指 数爆炸”.(4)对数函数模型:y=mlgax+n(a>0,a≠1,且m≠0),增长特点是随着自变 量的增大,函数值增大的速度越来越慢(a>1,且m>0).常形象地称之为 “蜗牛式增长”.(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx+ c(a≠0).其特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大(a>0).(6)“对勾”函数模型:形如f(x)=x+ (a>0,且x>0)的函数模型,在现实生活中也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”求最值,有时也利用函
考向 函数的实际应用
例 当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减 为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量 不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死 亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期” 个数至少是 ( )A.8 B.9 C.10 D.11
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期” 后的含量为 ,由题意得 < ,解得n≥10,所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少 需要经过10个“半衰期”.故选C.
考点二 函数的综合应用问题
考向基础 本考点把函数的三要素和函数的性质(奇偶性、单调性、周期 性、对称性等)以及函数的图象综合起来考查.同时把函数与方程、三 角函数、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数 范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等等.
例 已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,有f(x+6)=f(x)+f(3)成 立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,有 >0.给出下列命题:①f(3)=0;②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.其中正确命题的序号为 .(把所有正确命题的序号都填上)
考向 函数的综合应用
解析 ①对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(- 3)+f(3),故f(-3)=0.又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0.②由①知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6,又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(-x),而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x), f(-x)=f(-x-6),所以f(-6-x)=f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴.③因为当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,有 >0,所以函数y=f(x)在[0,3]上为增函数,因为f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在[-3,0]上为减函数,又f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数.④由f(3)=0, f(x)的周期为6,得f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,所以函数y=f(x)在[-
9,9]上有四个零点.故答案为①②④.
方法 函数模型的实际应用问题解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,并要 注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义 作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:
例 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初 始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)· ,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃ 的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到 32 ℃,还需要 分钟.解题导引
2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xα(α>0)在区间(0,+∞)上,无论α比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xα,但 由于y=ax的增长速度快于y=xα的增长速度,因而总存在一个x0,使x>x0时 有ax>xα.
(2)对数函数y=lgax(a>1)与幂函数y=xα(α>0)不论a与α值的大小如何,对数函数y=lgax(a>1)的增长速度总会慢于y=xα 的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有lgax
(3)指数函数模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,且a≠0),其增长特点是随着自变量 的增大,函数值增大的速度越来越快(b>1,且a>0).常形象地称之为“指 数爆炸”.(4)对数函数模型:y=mlgax+n(a>0,a≠1,且m≠0),增长特点是随着自变 量的增大,函数值增大的速度越来越慢(a>1,且m>0).常形象地称之为 “蜗牛式增长”.(5)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其中最常见的是二次函数模型y=ax2+bx+ c(a≠0).其特点是随着自变量的增大,函数值先减小,后增大(a>0).(6)“对勾”函数模型:形如f(x)=x+ (a>0,且x>0)的函数模型,在现实生活中也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”求最值,有时也利用函
考向 函数的实际应用
例 当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减 为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量 不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死 亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期” 个数至少是 ( )A.8 B.9 C.10 D.11
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期” 后的含量为 ,由题意得 < ,解得n≥10,所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少 需要经过10个“半衰期”.故选C.
考点二 函数的综合应用问题
考向基础 本考点把函数的三要素和函数的性质(奇偶性、单调性、周期 性、对称性等)以及函数的图象综合起来考查.同时把函数与方程、三 角函数、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数 范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等等.
例 已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,有f(x+6)=f(x)+f(3)成 立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,有 >0.给出下列命题:①f(3)=0;②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.其中正确命题的序号为 .(把所有正确命题的序号都填上)
考向 函数的综合应用
解析 ①对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(- 3)+f(3),故f(-3)=0.又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0.②由①知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6,又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(-x),而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x), f(-x)=f(-x-6),所以f(-6-x)=f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴.③因为当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,有 >0,所以函数y=f(x)在[0,3]上为增函数,因为f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在[-3,0]上为减函数,又f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数.④由f(3)=0, f(x)的周期为6,得f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,所以函数y=f(x)在[-
9,9]上有四个零点.故答案为①②④.
方法 函数模型的实际应用问题解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,并要 注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义 作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:
例 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初 始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)· ,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃ 的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到 32 ℃,还需要 分钟.解题导引
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