高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质习题，共5页。

1．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )
解析：选B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地前往B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(时)的函数表达式是( )
A．x＝60t
B．x＝60t＋50
C．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t，0≤t≤2.5，,150－50t，t＞3.5))
D．x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t，0≤t≤2.5，,150，2.5＜t≤3.5，,150－50t－3.5，3.5＜t≤6.5))
解析：选D 由于在B地停留1小时期间，距离x不变，始终为150千米，故选D.
3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－b，x<1，,2x，x≥1，))若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))))＝4，则b＝( )
A．1 B．eq \f(7,8)
C．eq \f(3,4) D．eq \f(1,2)
解析：选D feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(5,6)－b))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b)).当eq \f(5,2)－b<1，即b>eq \f(3,2)时，3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))－b＝4，解得b＝eq \f(7,8)(舍去)．当eq \f(5,2)－b≥1，即b≤eq \f(3,2)时，2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)－b))＝4，解得b＝eq \f(1,2).故选D.
4．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0＜x＜1，,2x－1，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝eq \r(a)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴eq \r(a)＝2a，
解得a＝eq \f(1,4)或a＝0(舍去)．
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝6.
5.已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))等于( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C．－eq \f(2,3) D.eq \f(2,3)
解析：选B 由题图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，0＜x＜1，,x＋1，－1＜x＜0，))所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝eq \f(1,3)－1＝－eq \f(2,3)，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝－eq \f(2,3)＋1＝eq \f(1,3).
6．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝________.
解析：∵f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)＋1))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)＋1))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \f(2,3)×2＝eq \f(4,3)，
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝2×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))＝eq \f(4,3)＋eq \f(8,3)＝4.
答案：4
7．若定义运算a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b，a≥b，,a，a解析：由题意得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≥1，,x，x<1，))画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2，x＜1，,x2－ax，x≥1，))若f(f(0))＝a，则实数a＝________.
解析：依题意知f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝22－2a＝a，求得a＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4，0≤x≤2，,2x，x>2.))
(1)求f(2)，f(f(2))的值；
(2)若f(x0)＝8，求x0的值．
解：(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，
∴f(2)＝22－4＝0，
f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x0≤2时，
由xeq \\al(2,0)－4＝8，
得x0＝±2eq \r(3)(舍去)；
当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4.
∴x0＝4.
10．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象．
解：(1)阴影部分的面积为
50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360.
阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为
360 km.
(2)根据图象，有s＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50t＋2 004， 0≤t<1，,80t－1＋2 054， 1≤t<2，,90t－2＋2 134， 2≤t<3，,75t－3＋2 224， 3≤t<4，,65t－4＋2 299， 4≤t≤5.))
相应的图象如图所示：
B级——高考水平高分练
1．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，x＞0，,x2＋bx＋c，x≤0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝________.
解析：∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－42－4b＋c＝c，,－22－2b＋c＝－2.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝2.))
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，x＞0，,x2＋4x＋2，x≤0.))
答案：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，x＞0，,x2＋4x＋2，x≤0))
2．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分)为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x))，x＜A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________，________.
解析：因为组装第A件产品用时15分钟，所以eq \f(c,\r(A))＝15.①
由题意知4＜A，且eq \f(c,\r(4))＝eq \f(c,2)＝30.②
由①②解得c＝60，A＝16.
答案：60 16
3．如图，函数f(x)的图象是由两条射线y1＝k1x＋b1(x≤1)，y2＝k2x＋b2(x≥3)及抛物线y3＝a(x－2)2＋2(1＜x＜3)的一部分组成，求函数f(x)的解析式．
解：由题图知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＋b1＝1，,b1＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k1＝－1，,b1＝2，))
所以左侧射线的解析式为y1＝－x＋2(x≤1)．
同理，右侧射线的解析式为y2＝x－2(x≥3)．
已知抛物线对应的二次函数的解析式为y3＝a(x－2)2＋2(1＜x＜3)，由题图知a＜0，a＋2＝1，所以a＝－1，
所以抛物线的解析式为y3＝－x2＋4x－2(1＜x＜3)．
综上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋2，x≤1，,－x2＋4x－2，1＜x＜3，,x－2，x≥3.))
4.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x2，x＞0，,2，x＝0，,1－2x，x＜0.))
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)求f(a2＋1)(a∈R)，f(f(3))的值；
(3)当f(x)≥2时，求x的取值范围．
解：(1)图象如图所示，作图时注意曲线端点处是实心点还是空心点．
(2)f(a2＋1)＝3－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋2，f(f(3))＝f(－6)＝13.
(3)当x＞0时，3－x2≥2，解得0＜x≤1；
当x＝0时，2≥2，符合题意；
当x＜0时，1－2x≥2，解得x≤－eq \f(1,2).
综上，当f(x)≥2时，x的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[0,1]．
5.如图，动点P从单位正方形ABCD的顶点A开始，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P的行程，y表示PA之长时，求y关于x的解析式，并求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))的值．
解：当点P在AB上运动时，y＝x；
当点P在BC上运动时，y＝eq \r(1＋x－12)，
当点P在CD上运动时，y＝eq \r(1＋3－x2)，
当点P在DA上运动时，y＝4－x，
∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，0≤x≤1，,\r(1＋x－12)，1＜x≤2，,\r(1＋3－x2)，2＜x≤3，,4－x，3＜x≤4.))
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(5,2)))2)＝eq \f(\r(5),2).