浙教版八年级上册第2章 特殊三角形综合与测试当堂检测题

第2章自我评价

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．在下列标志中，属于轴对称图形的是(B)

2．下列四组线段能构成直角三角形的是(D)

A． a＝1，b＝2，c＝3  B． a＝2，b＝3，c＝4

C． a＝2，b＝4，c＝5  D． a＝3，b＝4，c＝5

3．有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有(B)

A． 1个  B． 2个  C． 3个  D． 4个

4．如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是(C)

A．20°  B．35°

C．40°  D．70°

(第4题)

　　 (第5题)

5．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)

A． 2　　　　  B．

C． 　　　　　  D． 2

(第6题)

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长，交BC于点D，则下列说法中，正确的个数是(D)

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3．

A． 1  　B． 2  　C． 3  　D． 4

7．如图，将一把含45°角的三角尺的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角尺的最大边长为(D)

A． 3 cm  B． 6 cm

C．  cm  D．  cm

(第7题)

　　(第7题解)

【解】　如解图，过点C作CD⊥AD于点D，

则CD＝3 cm．

在Rt△ADC中，

∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6(cm)．

∵该三角尺是含45°角的三角尺，

∴∠BAC＝90°，AB＝AC＝6 cm，

∴BC＝＝＝(cm)．

(第8题)

8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，则∠B的度数为(C)

A．22．5°  B．30°

C．36°  D．45°

【解】　设∠B＝x．

∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x．

∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x．

∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x．

∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x．

在△ABD中，∵∠B＝x，∠ADB＝∠BAD＝2x，

∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠B＝36°．

9．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是线段AD上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，∠ECF的度数为(C)

A．20°  　B．25°  　C．30°  　D．45°

(第9题)

　　(第9题解)

【解】　如解图，过点E作EM∥BC，交AB于点M，

则∠AME＝∠B，∠AEM＝∠ACB．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC＝4．

∴∠AME＝∠AEM＝60°．∴AM＝AE＝2．

∴BM＝AB－AM＝2．

∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．

∵EM∥BC，∴AD⊥EM．

∴点E和点M关于AD对称．

连结CM交AD于点F，连结EF，

则此时EF＋CF的值最小．

∵AC＝BC，AM＝BM，

∴∠ECF＝∠ACB＝30°．

10．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE．其中正确的是(C)

A． ②　   B． ①②③

C． ①②④  D． ①②③④

导学号：91354016

(第10题)

　　(第10题解)

【解】　如解图，在EA上取点F，使EF＝BE，连结CF．

∵CE⊥AB，EF＝BE，

∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B．

∵∠AFC＋∠CFB＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠D＝∠AFC．

∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠FAC．

在△ACD和△ACF中，∵

∴△ACD≌△ACF(AAS)．

∴AD＝AF，CD＝CF．∴CD＝CB，故①正确．

AD＋AB＝AF＋(BE＋AE)＝AF＋EF＋AE＝AE＋AE＝2AE，故②正确．

根据已知条件无法证明∠ACD＝∠BCE，

故③错误．

AB－AD＝AB－AF＝BF＝2BE，故④正确．

综上所述，正确的是①②④．

二、填空题(每小题3分，共30分)

11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝__30°__．

,(第11题))　　,(第12题))

12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC边上的高AD的长是__8__ cm．

13．如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E．若∠1＝50°，则∠2的度数为__40°__．

,(第13题))　　,(第14题))

14．如图，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且它们相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，BC＝10，则△OEF的周长为__10__．

【解】　∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，

∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO．

∵OE∥AB，OF∥AC，

∴∠ABO＝∠BOE，∠ACO＝∠COF，

∴∠CBO＝∠BOE，∠BCO＝∠COF，

∴BE＝OE，OF＝FC，

∴△OEF的周长＝OE＋EF＋OF＝BE＋EF＋FC＝BC＝10．

(第15题)

15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝__52°__．

【解】　∵AC＝AD＝DB，

∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C．

设∠ADC＝α，则∠B＝∠BAD＝．

∵∠BAC＝102°，∴∠DAC＝102°－．

∵∠ADC＋∠C＋∠DAC＝180°，

∴2α＋102°－＝180°，

解得α＝52°，即∠ADC＝52°．

16．如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，垂足为D，且OD＝3，则△ABC的面积是____．

, (第16题))　　, (第16题解))

【解】　如解图，过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为E，F，连结OA．

由角平分线的性质知OD＝OE＝OF，

∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝(AB＋BC＋AC)·OD＝×21×3＝．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是____．

,(第17题))　　,(第17题解))

【解】　过点A作AD⊥BC于点D，如解图．

∵AB＝AC＝5，BC＝6，

∴BD＝BC＝3，∴AD＝＝4．

易得当BP⊥AC时，BP有最小值．

此时AD·BC＝BP·AC，

得4×6＝5BP，∴BP＝．

18．如图是两把完全一样的含30°角的三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两把三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是__5__．

(第18题)

　　(第18题解)

【解】　如解图，连结C′C．

∵M是AC，A′C′的中点，AC＝A′C′＝10，

∴CM＝A′M＝C′M＝AC＝5，

∴∠A′CM＝∠A′＝30°，∴∠CMC′＝60°．

∴△MCC′为等边三角形．∴C′C＝CM＝5．

(第19题)

19．按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB＝1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2……则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝____．

【解】　易得第一个正方形的面积为1，

第一个等腰直角三角形的面积为，

第二个正方形的面积为，

第二个等腰直角三角形的面积为×，

……

∴第n个正方形的面积为×1＝，

第n个等腰直角三角形的面积为×＝，

∴第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn＝＋＝．

(第20题)

20．如图，正方形ABDE，正方形CDFI，正方形EFGH的面积分别为25，9，16，△AEH，△BDC，△GFI的面积分别为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝__18__．导学号：91354017

【解】　过点A作AK⊥HE，交HE的延长线于点K．

易得DE2＝25，DE2＝9，EF2＝16，

∴DE2＝DF2＋EF2，

∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°．

易得∠AEK＋∠DEK＝∠DEK＋∠DEF＝90°，

∴∠AEK＝∠DEF．

又∵AE＝DE，∠K＝∠DFE＝90°，

∴△AEK≌△DEF(AAS)，

∴AK＝DF．

又∵EH＝EF，

∴S△AHE＝EH·AK＝EF·DF＝S△DEF．

同理，S△BDC＝S△GFI＝S△DEF，

∴S1＋S2＋S3＝3S△DEF．

易得DF＝3，EF＝4，

∴S△DEF＝×3×4＝6，

∴S1＋S2＋S3＝3×6＝18．

三、解答题(共40分)

21．(6分)如图，AD＝BC，AC＝BD．求证：△EAB是等腰三角形．

(第21题)

【解】　在△ADB和△BCA中，

∵

∴△ADB≌△BCA(SSS)，

∴∠DBA＝∠CAB，

∴△EAB是等腰三角形．

(第22题)

22．(6分)如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？请说明理由．

【解】　△DEF是等边三角形．理由如下：

∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，

∴∠A＝60°，∠ADF＝∠CFE＝90°，

∴∠AFD＝30°，

∴∠DFE＝180°－30°－90°＝60°．

同理，∠FDE＝∠DEF＝60°．

∴△DEF是等边三角形．

(第23题)

23．(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由．

【解】　EF⊥BC．理由如下：

过点A作AD⊥BC于点D，延长EF交BC于点G．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAC＝2∠CAD．

又∵∠BAC＝∠E＋∠AFE，∠E＝∠AFE，

∴∠BAC＝2∠E，

∴∠CAD＝∠E，∴AD∥EF．

又∵∠ADC＝90°，∴∠EGC＝90°，即EF⊥BC．

24．(10分)已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，连结DF，CF．

(1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF，CF的数量关系和位置关系．

(2)如图②，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

(3)如图③，在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长(直接写出结果)．

(第24题)

【解】　(1)∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F为BE的中点，

∴DF＝BF＝BE，CF＝BE，∴DF＝CF．

∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．

∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF．

∵∠DFE＝∠DBF＋∠BDF，

∴∠DFE＝2∠DBF．

同理，∠CFE＝2∠CBF，

∴∠DFE＋∠CFE＝2∠DBF＋2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF⊥CF．

(2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：

如解图①，延长DF交BC于点G．

∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC，

∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．

∵F为BE的中点，∴EF＝BF，

∴△DEF≌△GBF(AAS)，

∴DE＝GB，DF＝GF．

∵AD＝DE，∴AD＝GB．

∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即DC＝GC．

∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形．

∵DF＝GF，∴DF＝CF，DF⊥CF．

(第24题解)

(3)如解图②，延长DF交BA于点H．

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，AD＝DE，∠AED＝∠ABC＝45°．

由旋转可知∠CAE＝∠BAD＝∠ACB＝90°，

∴AE∥BC，

∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．

∵F是BE的中点，∴EF＝BF．

又∵∠DFE＝∠HFB，

∴△DEF≌△HBF(ASA)，∴ED＝BH．

∵BC＝AC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝4．

∵BH＝ED＝AD＝1，∴AH＝3．

∵∠BAD＝90°，∴DH＝，

∴DF＝，∴CF＝．

25．(10分)问题探究：

(1)如图①，在锐角△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连结BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．

深入探究：

(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，BC＝3，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．

(3)如图③，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．

(第25题)

导学号：91354018

【解】　 (1)BD＝CE．理由如下：

∵∠BAE＝∠CAD，

∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，

即∠EAC＝∠BAD．

在△EAC和△BAD中，∵

∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴BD＝CE．

(2)如解图①，在△ABC的外部作等腰直角三角形BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连结EC．

∵∠ACD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝AD，∠CAD＝90°，

∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，

即∠EAC＝∠BAD．

在△EAC和△BAD中，∵

∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．

∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝．

易知∠ABE＝45°，又∵∠ABC＝45°，

∴∠CBE＝45°＋45°＝90°，

∴EC＝＝＝，

∴BD＝EC＝．

(第25题解)

(3)如解图②，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB，交BC的延长线于点E．

∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°．

又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，

∴AE＝AB＝7，∴BE＝＝．

∵∠ACD＝∠ADC＝45°，

∴∠DAC＝90°＝∠BAE，

∴∠BAE－∠BAC＝∠DAC－∠BAC，

即∠EAC＝∠BAD．

在△EAC和△BAD中，∵

∴△EAC≌△BAD(SAS)，∴EC＝BD．

又∵BC＝3，∴BD＝EC＝BE－BC＝－3．