章末综合测评2　概率与统计-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册练习

章末综合测评(二)　概率与统计

(时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．对于变量x与y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做(　　)

A．函数关系　　　 B．线性关系

C．相关关系 D．回归关系

C　[对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫相关关系，故选C.]

2．已知X～B，则P(X＝2)等于(　　)

A.　　　B.　　　  C.　　　D.

D　[P(X＝2)＝C＝.]

3．设ξ的分布列为

又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)

A.　　　B.     C.　　　D.

D　[E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.]

4．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于(　　)

(注：P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4)

A．0.210 B．0.022 8

C．0.045 6 D．0.021 5

B　[P(X≤2)＝(1－P(2<X≤6))×＝[1－P(4－2<X≤4＋2)]×＝(1－0.954 4)×＝0.022 8.]

5．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2,3，…，10)，得散点图2，由这两个散点图可以断定(　　)

图1　　　　　　　图2

A．x与y正相关，u与v正相关

B．x与y正相关，u与v负相关

C．x与y负相关，u与v正相关

D．x与y负相关，u与v负相关

C　[由图1可知，点散布在从左上角到右下角的区域，各点整体呈递减趋势，故x与y负相关；

由图2可知，点散布在从左下角到右上角的区域，各点整体呈递增趋势，故u与v正相关．]

6．在一次对性别与是否说谎有关的调查中，得到如下数据，说法正确的是(　　)

A.在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关

B．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别无关

C．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关

D．在此次调查中没有充分证据显示说谎与性别有关

D　[由表中数据得χ2＝≈0.002 42<3.841.

因此没有充分证据认为说谎与性别有关，故选D.]

7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[记“第一次摸到正品”为事件A，“第二次摸到正品”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.

故P(B|A)＝＝.]

8．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于(　　)

A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ(1)－Φ(－1)

C．Φ D．2Φ(μ＋σ)

B　[考查N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：

若ξ～N(μ，σ2)，则

P(x1＜x＜x2)＝Φ－Φ，

P(|ξ－μ|＜σ)＝P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)

＝Φ－Φ

＝Φ(1)－Φ(－1)，故选B.]

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)

9．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：

则下列计算结果正确的有(　　)

A．a＝0.1　　 B．P(X≥2)＝0.7

C．P(X≥3)＝0.4　 D．P(X≤1)＝0.3

ABD　[易得a＝0.1，P(X≥3)＝0.3，故C错误．]

10．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n对数据，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，如图所示，则以下结论正确的是(　　)

A．直线l过点(，)

B．回归直线必通过散点图中的多个点

C．x和y的相关系数在－1和0之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

AC　[A是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B错误；由题设中提供的直线的图像可知x和y是负相关，相关系数在－1到0之间，故C正确；分布在l两侧的样本点的个数不一定相同，故D错误．]

11．若随机变量ξ～B，则P(ξ＝k)最大时，k的值为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

AB　[依题意P(ξ＝k)＝C××，k＝0,1,2,3,4,5.

可以求得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝.故当k＝1或2时，P(ξ＝k)最大．故选AB.]

12．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有(　　)

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为

C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

ABD　[A.恰有一个白球的概率P＝＝，故A正确；B.每次任取一球，取到红球次数X～B，其方差为6××＝，故B正确；

C．设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．

则P(A)＝，P(A∩B)＝＝，

∴P(B|A)＝＝，故C错误；

D．每次取到红球的概率P＝，

所以至少有一次取到红球的概率为

1－＝，

故D正确．故选ABD.]

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．已知某一随机变量X的分布列如下表：

且E(X)＝6，则a＝________，b＝________.(本题第一空2分，第二空3分)

0.3　6　[由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由E(X)＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6.]

14．已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________.

－2　[因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，

又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1.

所以P(X>0)＝P(X<－4)．

因此正态曲线的对称轴为x＝－2.所以μ＝－2.]

15．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令＝ln y，求得回归直线方程为＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________．

y＝e0.25x－2.58　[因为＝0.25x－2.58，＝ln y，所以y＝e0.25x－2.58.]

16．某组有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________.

　[P(X≤2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝0)＝＋＋＝.]

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)为研究学生的数学成绩与学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：

能否有99%把握，认为学生的数学成绩好坏与学习数学的兴趣有关？

[解]　由公式得：χ2＝≈38.459.

∵38.459>6.635，∴有99%的把握说，学生的数学成绩好坏与学习数学的兴趣是有关的．

18．(本小题满分12分)某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，在移栽的4棵大树中，求：

(1)至少有1棵成活的概率；

(2)两种大树各成活1棵的概率．

[解]　设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1,2，

Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1,2，

则A1，A2，B1，B2相互独立，

且P(A1)＝P(A2)＝，

P(B1)＝P(B2)＝.

(1)至少有1棵成活的概率为1－P(···)

＝1－P()·P()·P()·P()

＝1－＝.

(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知所求概率为

P＝C·C＝×＝＝.

19．(本小题满分12分)甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．

[解]　工人甲生产出次品数X的数学期望和方差分别为E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.7，

D(X)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.

工人乙生产出次品数Y的数学期望和方差分别为

E(Y)＝0×＋1×＋2×＝0.7，

D(Y)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.

由E(X)＝E(Y)知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D(X)>D(Y)，可见乙的技术比较稳定．

20．(本小题满分12分)假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，试求：

(1)先取出的零件是一等品的概率；

(2)两次取出的零件均为一等品的概率．

[解]　 (1)设Ai ＝“任取的一箱为第i箱零件”，i ＝ 1,2,3，

Bj ＝“第j次取到的是一等品”，j ＝ 1,2.

由题意知 A1，A2和A3构成完备事件组，

且P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝，

P(B1|A1)＝＝0.4，P(B1|A2)＝＝0.4，

P(B1|A3)＝＝0.6，

由全概率公式得

P(B1)＝P(Ai)P(B1|Ai)

＝(0.4＋0.4＋0.6)＝.

(2)因为P(B1B2|A1)＝＝，

P(B1B2|A2)＝＝，

P(B1B2|A3)＝＝，

由全概率公式得

P(B1B2)＝P(Ai)P(B1B2|Ai)

＝(＋＋)≈0.22.

21．(本小题满分12分)某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．

现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i＝1,2，…，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．

令ui＝x，vi＝lnyi(i＝1,2，…，12)，经计算得如下数据：

(1)设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；

(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)；

(ⅱ)若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？

附：①相关系数r＝，

回归直线＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－b；

②参考数据：308＝4×77，≈9.4 868，e4.4 998≈90.

[解]　(1)由题意，r1＝＝＝＝＝0.86，

r2＝＝＝＝≈0.91，

则|r1|<|r2|，因此从相关系数的角度，模型y＝eλx＋t的拟合程度更好．

(2)(ⅰ)先建立v关于x的线性回归方程，

由y＝eλx＋t，得lny＝t＋λx，即v＝t＋λx；

由于λ＝＝≈0.018，

t＝－λ＝4.20－0.018×20＝3.84，

所以v关于x的线性回归方程为＝0.02x＋3.84，

所以ln＝0.02x＋3.84，则＝e0.02x＋3.84.

(ⅱ)下一年销售额y需达到90亿元，即y＝90，

代入＝e0.02x＋3.84，得90＝e0.02x＋3.84，

又e4.4 998≈90，所以4.4 998≈0.02x＋3.84，

所以x≈＝32.99，

所以预测下一年的研发资金投入量约是32.99亿元．

22.(本小题满分12分)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10,15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10,20)，[20,30)，[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．

(1)求a的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；

(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X的分布列；

(3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y的期望．

[解]　(1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a＋2×0.0125)×5＝1，∴a＝0.0250.

其中为一级运动员的概率为(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.25，

∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人．

(2)由已知可得X的可能取值分别为0,1,2,3，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

∴X的分布列为

 (3)由已知得Y～B，

∴E(Y)＝np＝3×＝，

∴含有一级运动员人数Y的期望为.