3.1.1 椭圆及其标准方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

这是一份3.1.1 椭圆及其标准方程-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版），主要包含了椭圆的定义，椭圆的标准方程，求椭圆的标准方程等内容，欢迎下载使用。
1.椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
若，的轨迹为线段；若，的轨迹无图形
第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数的动点M的轨迹叫椭圆
椭圆的范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
椭圆的对称性
椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
椭圆的顶点
①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
要点二、椭圆的标准方程
椭圆的标准方程：
1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
要点诠释：
1.椭圆上一点到焦点的最小距离为：a-c，最大距离为：a+c；
2.椭圆的焦点总在长轴上，当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
3. 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.
要点三、求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a,b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.
（2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
【典型例题】
类型一：椭圆的定义
例1. 若一个动点P（x，y）到两个定点A（－1，0）、A＇（1，0）的距离的和为定值m（m>0），试求P点的轨迹方程。
【解析】∵|PA|+|PA＇|=m，|AA＇|=2，|PA|+|PA＇|≥|AA＇|，
（1）当00，故m5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________．
【答案】
【解析】因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即，所以△ABF2的周长为4a＝.
【变式3】已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
例3.当时，指出方程所表示的曲线.
【解析】∵∴
（1）若9-k>k-3，即时，则方程表示焦点在x轴上的椭圆；
（2）若9-k=k-3，即k=6时，方程表示圆；
（3）若9-k