人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课时练习

直线与圆锥曲线之弦长与面积

考向一  直线与圆锥曲线之弦长

1、设是圆上的动点，点是在轴上的投影，为上一点，且.

(1)当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；

(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的长度．

答案：（1）（2）

解析：（1）设的坐标为 ，的坐标为

由已知得 ，

∵在圆上，即的方程为

（2）过点且斜率为的直线方程为，

设直线与的交点为，

将直线方程代入的方程，得，

即 .

已知椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为．

Ⅰ求椭圆的方程；

Ⅱ直线与椭圆相交于两点，求弦长．

答案：(1)       (2)

解析:Ⅰ椭圆的中心在原点，焦点为，且长轴长为.

故要求的椭圆的方程为.

Ⅱ把直线代入椭圆的方程化简可得

设直线与椭圆的交点为，,

已知椭圆经过点，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.

答案：（Ⅰ）（Ⅱ）或.

解析：（Ⅰ）由题意得 ，解得.故椭圆的方程是.

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立，消去，得.

则有， .

 .

设的中点为，则

∵直线与直线垂直，，整理得.

∴.

又∵

，解得或.

与矛盾，

， .

故直线的方程为或.

3、已知椭圆：的离心率为,过点的直线交椭圆于两点，，且当直线垂直于轴时，

(1)求椭圆的方程；

(2)若，求弦长的取值范围．

答案：（1） ;  (2)

解析：　(1)由已知，

又当直线垂直于轴时，，所以椭圆过点 ，

代入椭圆方程得，联立方程可得,

∴椭圆的方程为

(2)当过点的直线斜率为0时，点分别为椭圆长轴的端点，

或，不符合题意．

∴直线的斜率不能为.

设直线方程为,,

将直线方程代入椭圆方程得：,

由根与系数的关系可得，

可得：

由已知可知，∴

又知，∴;

∴，解得．

,

∵，∴，

∴.

4、在平面直角坐标系中，点、分别为：的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线上.不在轴上的动点与动点关于原点对称，且四边形的周长为.

（1）求动点的轨迹方程；

（2）在动点的轨迹上有两个不同的点、，线段的中点为，已知点在圆上，求的最大值，并判断此时的形状.

【答案】（1）；（2）；为直角三角形.

【解析】（1）设点、分别为，，

由已知，所以，，，

又因为点在双曲线上，所以，

则，即，

解得，.

所以.

连接，因为，，所以四边形为平行四边形，

因为四边形的周长为，所以.

所以动点的轨迹是以点、分别为左、右焦点，

长轴长为的椭圆（除去左右顶点）.

可得动点的轨迹方程为：

（2）因为，，，所以，

所以

.

等号当且仅当，即，

所以，即为直角三角形.

考向二  直线与圆锥曲线之面积

1、已知抛物线上一点到焦点的距离为5.

(1)求抛物线的方程；

(2)直线与圆相切且与抛物线相交于两点，若的面积为4(为坐标原点)，求直线的方程．

（1）由抛物线的定义知，所以，p＝2，

因此，抛物线E的方程为y2＝4x；

（2）由题意知，直线l与y轴不垂直，设直线l的方程为x＝my+n．

∵直线l与圆C相切，又圆C的圆心为（2，0），所以，，∴4m2＝n2﹣4n，

设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去x得，y2﹣4my﹣4n＝0，

由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n．

则

，

又原点O到直线l的距离为，

∴，

∴，∴（m2+n）n2＝4，

又4m2＝n2﹣4n，解得n＝±2．

当n＝2时，m2＝﹣1不成立；

当n＝﹣2时，m2＝3，∴．

经检验，所求直线方程为，即．

2、已知椭圆的一个顶点为，离心率为,直线与椭圆交与不同的两点.（2012年北京卷文科）

①求椭圆的方程

②当△的面积为时，求的值.

【答案】（1）由题意得解得.所以椭圆C的方程为.

（2）由得.设点M,N的坐标分别为，，则，，，.所以|MN|===.由因为点A(2,0)到直线的距离，所以△AMN的面积为. 由，解得.

3、已知椭圆的离心率是，短轴的一个端点到右焦点的距离为.

（1） 求椭圆的方程；

（2） 设直线与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.

4、已知：抛物线，过外点作的两条切线，切点分别为、.

（Ⅰ）若，求两条切线的方程；

（Ⅱ）点是椭圆上的动点，求面积的取值范围.

【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）设过点的切线方程为，将其代入，可得，

因为直线与抛物线相切，，解得.

因此，所求的两条切线的方程为和；

（Ⅱ）设、、，由，可得，

则切线的方程为，又，

即.同理，切线的方程为.

又和都过点，.

直线方程为，即.

联立，得.

,

由韦达定理得，.

.

点到直线的距离为，

的面积.

，，，

.

5、已知椭圆：的离心率为，过的左焦点做轴的垂线交椭圆于、两点，且.

（1）求椭圆的标准方程及长轴长；

（2）椭圆的短轴的上下端点分别为，，点，满足，且，若直线，分别与椭圆交于，两点，且面积是面积的5倍，求的值.

【答案】（1）椭圆的标准方程为：，长轴长为4（2）

【解析】（1）因为椭圆的左焦点横坐标为,

由及,得,

故,又,解得：,

所以,椭圆的标准方程为：,长轴长为4.

（2）∵,,,且,

∴直线的斜率为,直线斜率为,

∴直线的方程为,直线的方程为,

由得,∴,,∴,

由得,∴,,∴；

∵,

,

,,

∴,

即,

又,

∴,

整理方程得：,

解得：.

6、已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得的线段的长度为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，是坐标原点，若，判定四边形的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

 (Ⅰ)由解得

得椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或，

此时四边形的面积为．

当直线的斜率存在时，设直线方程是，联立椭圆方程

，

点到直线的距离是

由得

因为点在曲线上，所以有

整理得

由题意四边形为平行四边形，所以四边形的面积为

由得, 故四边形的面积是定值，其定值为．