高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.2 空间向量基本定理复习练习题

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用空间向量求解二面角，点面距考向一  用坐标法求二面角1、如图，三棱锥的侧棱长都相等，底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，为线段的中点，为直线上的动点，若平面与平面所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】底面与侧面都是以为斜边的等腰直角三角形，则，所以 设，由为线段的中点，则，由，所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，设，，，，，设平面的一个法向量，则，即，令，则，，所以.设平面的一个法向量，则，即，解得，令，则， 所以，平面与平面所成锐二面角的平面角为，则，将分子、分母同除以，可得 令，当时，，则的最大值为：.故选：D 2、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF位置，OD′＝.(1)证明：D′H⊥平面ABCD；(2)求二面角B­D′A­C的余弦值．[解]　(1)证明：由四边形ABCD为菱形，得AC⊥BD.由AE＝CF＝，得＝，所以EF∥AC.因此EF⊥DH，从而EF⊥D′H.由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝＝4.由EF∥AC得＝＝，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，则OD′2＝OH2＋D′H2，所以D′H⊥OH.又OH∩EF＝H，所以D′H⊥平面ABCD.(2)以H为坐标原点，HB，HF，HD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系H­xyz，如图所示．则B(5,0,0)，C(1,3,0)，D′(0,0,3)，A(1，－3,0)，(由口诀“起点同”，我们先求出起点相同的3个向量．)所以＝(4,3,0)， ＝(－1,3,3)，＝(0,6,0)．(由口诀“棱排前”，我们用行列式求出两个平面的法向量．)由可得平面ABD′的法向量n1＝(－3,4，－5)， 由可得平面AD′C的法向量n2＝(－3,0，－1)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.所以二面角B­D′A­C的余弦值为.3、如图所示，四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB＝ED＝EC＝BC，连接CE并延长交AD于F.(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；(2)若BC＝2，PA＝3，求二面角B­CP­D的余弦值．解：(1)证明：在△BCD中，EB＝ED＝EC＝BC，故∠BCD＝90°，∠CBE＝∠BEC＝60°.∵△DAB≌△DCB，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABE＝∠CBE＝60°，∴∠FED＝∠BEC＝∠ABE＝60°.∴AB∥EF，∴∠EFD＝∠BAD＝90°，∴EF⊥AD，AF＝FD.又PG＝GD，∴GF∥PA.又PA⊥平面ABCD，∴GF⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴GF⊥AD.又GF∩EF＝F，∴AD⊥平面CGF.又AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面CGF.(2)以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，，0)，D(0,2，0)，P(0,0,3)，故＝(－1，－，0)， ＝(－3，－，3)，＝(－3，，0)．设平面BCP的一个法向量为n1＝(1，y1，z1)，则即解得即n1＝.设平面DCP的一个法向量为n2＝(1，y2，z2)，则即解得即n2＝(1，，2)．所以cos〈n1，n2〉＝＝＝，由图知二面角B­CP­D为钝角，所以二面角B­CP­D的余弦值为－.4、如图所示，多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中，，，．(1)求的长；(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值．【答案】(1) ；(2)【解析】因为多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，所以平面平面，又平面平面,平面平面,所以，同理，所以四边形是平行四边形，连结,交于，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以,所以的长为.(2)根据题意可取平面的一个法向量为，由(1)知，，设平面的法向量为，则由，得，即，令，则，，所以，所以，所以平面与底面所成锐二面角的余弦值为.5、如图，四棱锥中，平分...（1）设E是的中点，求证：平面；（2）设平面，若与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：，即能被平面内两个不共线的向量表示，且平面，平面；（2）因为平面，且平面，故为与平面所成的角，故，从而.不妨设，由已知可得，，，，到的距离为.以A坐标原点，，分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示..∵平面，∴，又∵，∴平面∴是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，由得即得.设所求的角为，则为锐角，则，即所求的二面角的余弦值为.6、如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.【答案】（1）由题设可得，，从而又是直角三角形，所以取的中点，连结，则又由于是正三角形，故所以为二面角的平面角在中，又，所以，故所以平面平面（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得，故设是平面的法向量，则同理可取则所以二面角的余弦值为  考向二  用坐标法求点面距 1、在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2），∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为 ，选D．2、在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie  nao）.已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为_____．【答案】【解析】以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图，则 ,由为的中点可得;, .设为平面的一个法向量，则,即，令，可得，点到平面的距离为.3、边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C为60°，点D到平面ABC的距离为________．【答案】【解析】如图所示，AD⊥平面BCD，AD＝，BD＝CD＝BC＝，∴VA－BCD＝×AD×S△BCD.又∵VA－BCD＝VD－ABC＝×h×S△ABC，∴由等积法可解得h＝.4、如图所示，在长方体中，，，点在棱上移动．（1）证明：；（2）当为的中点时，求点到平面的距离；【答案】如图所示，以为坐标原点，直线、、分别为，轴，建立空间直角坐标系．设，则，，，．⑴ 证明：因，则，即．⑵ ；5、如图：正三棱柱的底面边长为，是延长线上一点，且，二面角的大小为；（1）求点到平面的距离；（2）若是线段上的一点 ，且，在线段上是否存在一点，使直线平面？ 若存在，请指出这一点的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）； （2）存在,当时，知平面.【解析】（1）设为的中点，则，在正三棱柱中，平面,而平面，所以，而,因此平面，而平面，所以有 为二面角的平面角，如下图所示： ，, 侧棱； 又 ,知点 到平面的距离（2）由（1）可知，，，，当时，有 成立，而 平面 ，所以  平面，故存在，当时，符合题意。