高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步训练题，共12页。
空间向量的数量积运算  考向一  公式直接运用 1、已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．π　[cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝π.]2．设a⊥b，〈a，c〉＝，〈b，c〉＝，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则向量a＋b＋c的模是________．　[因为|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝1＋4＋9＋2＝17＋6，所以|a＋b＋c|＝.]3、已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4【答案】A　[由题意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1.]4、若|a|＝|b|＝4，<a，b>＝60°，则|a－b|等于 (　　)A．4　 B．8　C．37　 D．13【答案】A5、已知△ABC，＝c，＝b，＝a，用向量a，b，c的数量积的形式表示△ABC为锐角三角形的充要条件是 (　　)A．b·c>0，a·c>0                      B．a·b>0，b·c>0，a·c>0C．a·b>0                             D．a·b>0，b·c>0，a·c<0【答案】D6、已知，，、的夹角为135°，，，则，则＝________.【答案】7、已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【答案】(－1－，－1＋)　[由题意知即得λ2＋2λ－2<0.∴－1－<λ<－1＋.]  考向二  几何体中的数量积运算 1、已知边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)A．－1  B．0C．1  D．2C　[＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.]2、如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：①·；②·；③·；④·.解：①·＝·＝||||cos〈，〉＝cos 60°＝.②·＝·＝||2＝.③EF·＝·＝－·＝－×cos 60°＝－.④·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0.3、 (1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝________.a2　[·＝·＝(·＋·)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.](2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________．　[＝＋＝＋(＋)＝＋[(－)＋(－)]＝＋＋.∴·(＋＋)＝·(＋＋)＝2＋2＋2＝×22＋×32＋×12＝.] 考向三  几何体中的平行与垂直证明 1、已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.[解]　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，又设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|.又＝(＋)＝＝(a＋b＋c)，＝c－b.∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0.∴⊥，即OG⊥BC. 2、如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.[证明]　设＝a，＝b，＝c.则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，＝－＝b－a，＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c.∴·＝·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.∴⊥.∴A1O⊥BD.同理可证⊥.∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O且A1O平面BDG，∴A1O⊥平面BDG.3、如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：(1)AO⊥CD′；(2)AC′⊥平面B′CD′.[证明]　(1)因为＝＋＝＋(＋)，因为＝－，所以·＝(＋＋2)·(－)＝(·－·＋·－·＋2·－2·)＝(||2－||2)＝0，所以⊥，故AO⊥CD′.(2)因为·＝(＋＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＋·＋·，可知·＝0，·＝0，·＝0，·＝||2，·＝－||2，·＝0，所以·＝||2－||2＝0，所以⊥，所以AC′⊥B′C.同理可证，AC′⊥B′D′.又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′. 考向四  几何体中的模长与角的计算 1、正方体中，向量与的夹角是(　　)A．30°　　　　　　　　　　 B．45°C．60°   D．90°【答案】C2、设是空间不共面的四点，且满足，，，则是(　　)A．钝角三角形   B．锐角三角形C．直角三角形   D．不确定【答案】B3、如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．90°　[不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，cos〈，〉＝＝＝0，故填90°.] 4、如图所示，在一个直二面角α­AB­β的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．2　[∵＝＋＋＝－＋，∴2＝(－＋)2＝2＋2－2·＋2＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.] 5、已知在正四面体D­ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________． 　 [如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝.] 6、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．[解]　(1)证明：设＝p，＝q，＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.∴⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.(2)设向量与的夹角为θ.∵＝(＋)＝(q＋r)，＝－＝q－p，∴·＝(q＋r)·＝＝＝＝.又∵||＝||＝a，∴·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝.∴cos θ＝.∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.