人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试课后作业题

直线与圆锥曲线的位置关系

考向一  直线与椭圆的位置关系及交点

1、直线与椭圆的交点个数为________．

【答案】

法一：联立直线与椭圆方程，消去变量，得 ， ，可得直线与椭圆恒有两个交点，答案为；

法二：直线过定点，而点在椭圆内，因此直线 与椭圆的交点个数为

2、不论为何值，直线与椭圆有公共点，则实数的取值范围是（     ）

A.              B.             C.          D.  

【答案】法一：，整理可得：

即

法二：从所给含参直线入手可知直线过定点，所以若过定点的直线均与椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入后，即，因为是椭圆，所以，故的取值范围是

3、已知以,为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（   ）

A．       B．       C．       D．

【答案】 C

设椭圆方程为．

由得，

∵直线与椭圆有且仅有一个交点

∴

可得，∴．

4、若椭圆 和连结 两点的线段恒有公共点，则实数的取值范围为（   ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

线段与椭圆有公共点，其等价条件是点在椭圆内或边界上，点在椭圆外或边界上，

由此得解之得，故选C．

5、判断直线 与椭圆 的位置关系。

【答案】联立直线与椭圆的方程，可得 ，

①当 即 或时，直线与椭圆相交

②当即 或时，直线与椭圆相切

③当 即时，直线与椭圆相离

6、已知一条直线与椭圆相切于点，求切线的方程．

【答案】设过点的直线的方程为，

将其与椭圆的标准方程联立，

消去参数可得方程，因为该直线与椭圆相切，所以其判别式，

∴该直线方程为，即．

7、已知椭圆，，是过点，且相互垂直的两条直线，问实数在什么范围时，直线，都与椭圆有公共点．

【答案】设：，则：，与椭圆有公共点有实根，即．同理与椭圆有公共点，于是，即．由于时，，而与必有一个不超过1，这时，不可能都与椭圆有公共点．综上所述，．时，过点存在两条相互垂直的直线，都与椭圆有公共点，又与与与椭圆都有公共点．．

考向二  直线与双曲线的位置关系及交点

过点且与双曲线只有一个公共点的直线有______条。

答案：

设直线方程为联立直线与双曲线方程，得。

由得， 直线与双曲线有一个交点；当且时，解得 直线与双曲线有一个交点。共个。

另解：本题也可用几何意义解，直线过定点 ，在双曲线两支之间，则与双曲线相切有两条，与渐近线平行有两条，共条。

例7．若双曲线与直线有且仅有一个公共点，则这样的直线有______条．

【答案】4

联立直线与双曲线的方程，消掉得

当即时，直线与双曲线有一个交点；当且时，即时，直线与双曲线有一个交点，的值有个，故答案为。

另解：本题也可用几何意义解，直线过定点 ，在双曲线两支之间，则与双曲线相切有两条，与渐近线平行有两条，共条。

例8．已知两定点 、 ，直线过点且与直线平行，则上满足 的点的个数为（    ）

A．0    B．1      C．2     D．无法确定

【答案】B

由可知，点的轨迹为以 为焦点，实轴长为的双曲线，问题转化为求直线与双曲线交点个数问题。双曲线方程为，渐近线为。根据条件可得直线的方程为 ，直线与渐近线平行，则满足条件的点只有一个，故选B

例9．已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（     ）

A.         B.       C.         D. 

【答案】C

由可得渐近线方程为：，若过右焦点的直线与右支只有一个交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即

法二：由可知，设直线，联立方程可得：，整理后可得：

当时，，即位于双曲线右支，符合题意

当时，

直线与双曲线必有两个交点，设为

因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点

，即

综上所述：

例10．过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若实数使得的直线恰有条，则_______

【答案】4

由双曲线可得    ，

当斜率不存在时，的方程为   为通径，即

若直线斜率存在，不妨设为 ,则设，

联立直线与椭圆方程：消去可得：，整理可得：

可得：或   ①

当时，即，则方程①的解为，只有一解，不符题意

同理，当，即，则方程①的解为，只有一解，不符题意

当且时，则每个方程的解为个或两个，总和无法达到个，不符题意

所以若的直线恰有条，只能，方程①解得：

满足条件的直线的方程为：，，

已知双曲线，直线：，试讨论实数的取值范围：

⑴直线与双曲线有两个公共点；

⑵直线与双曲线的两支各有一个公共点；

⑶直线与双曲线的右支有两个公共点；

⑷直线与双曲线的两支有两个公共点．

【答案】将直线与双曲线，化简整理得   （*）

⑴ 当，且，直线与双曲线有两个公共点，

解得；

在方程（*）有两根的情况下，记两根为，则，，

⑵ 对应方程有一正根一负根，只需，解得的取值范围为．

⑶ 对应方程有两个不同的正根，有，且，，

解得：．

⑷ 对应方程有两个不同的正根或两个不同的负根，有，且，

解得的取值范围为．

设双曲线与直线相交于两个不同的点,求双曲线的离心率的取值范围.

【答案】由C与相交于两个不同点，故知方程组有两组不同的实根，

消去并整理得.

所以解得

双曲线的离心率＝，因为

所以，且.

即离心率的取值范围为∪(，＋∞)．

考向三  直线与抛物线的位置关系及交点

1、直线过点，且与抛物线有且只有一个公共点，这样的直线有______条。

【答案】2

由题意可知点在抛物线上。过抛物线上一点可做一条切线，以及垂直于准线的一条直线，与抛物线只有一个公共点，共条

2、若直线与抛物线有且只有一个公共点,则的值为_________.

【答案】-1或0

3、⑴ 过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则的值等于______

⑵ 抛物线与直线交于两点，其中点的坐标是，设抛物

线的焦点，则____

【答案】⑴ 。=．

⑵ 。

将代入抛物线，得，∴．

又把代入得，直线方程．

由得，，

∴．

4、已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（     ）

A.                  B. 

C.             D. 

【答案】D

若，则直线与抛物线有公共点，不符题意

若，则    ，与椭圆联立方程：

  直线与抛物线无公共点

或

5、已知点，．若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（     ）

A．4        B．3        C．2         D．1

【答案】A

直线的方程是设到直线的距离为，，

。

思路一：平面上到直线的距离为 的所有点的集合，为与直线平行且距离为 的两条直线。所以问题转化为这两条平行直线与抛物线一共有几个交点。求出两条直线方程，分别为以及。分别将两条直线方程与抛物线方程联立，可得，有两解和；， 有两解。两条直线与抛物线共个交点，故有个点满足题意，选A。

思路二：设则，

或.

方程，判别式，方程有两个不等实根；

解方程得，，故点的个数为，故选

6、已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（     ）

A.                  B. 

C.             D. 

【答案】D

若，则直线与抛物线有公共点，不符题意

若，则    ，与椭圆联立方程：

  直线与抛物线无公共点

或

7、已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率为（     ）

A.                 B.               C.              D. 

【答案】B

思路一：从点的坐标出发，因为三点共线，从而可转化为，考虑将向量坐标化，，设，有，所以，设直线，联立抛物线方程消元后可得：，利用韦达定理可得：，再结合，消去即可得，直线，即可得到斜率为

思路二：从所给线段关系恰好为焦半径出发，联系抛物线的定义，可考虑向准线引垂线，垂足分别为，便可得到直角梯形，由抛物线定义可知：，将所求斜率转化为直线的倾斜角，即为。不妨设在第一象限。考虑将角放入直角三角形，从而可过作于，则，因为而，且，利用勾股定理可得：，从而，即，当在第四象限时，同理，可得

综上所述：

8、设斜率为的直线过定点，判断直线与曲线 的位置关系．

【答案】依题意，设直线 方程为 。由方程组 可得

①当 时，此时 ，把它代入，得 。故此时直线与只有一个公共点

②当 时，方程 的判别式

若，解得 或 ，此时直线与无公共点；

若，解得 或 ，此时直线与有个公共点；

若，解得 ，此时直线与有个公共点。

综上，当或时，直线与无公共点；当 或时，直线与有个公共点；当时，此时直线与有个公共点。