高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线课时作业

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线课时作业，共11页。
双曲线的离心率 考向一  根据a,b,c的值或关系直接求离心率1、（1）已知点(2，3)在双曲线C：(a＞0，b＞0)上，若双曲线C的焦距为4，则它的离心率_______________；（2）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率_______________；【解析】（1）由点(2，3)在双曲线C可得 ①．又焦距为4，所以c=2 ②，联立①②，解得，，所以双曲线C的离心率（2）当焦点在x轴时，由题意可得当焦点在y轴时，由题意可得2、设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于         .【答案】【解析】由,由∠F1AF2=90°,得,即(3a)2+a2=(2c)2,得e=.  考向二  根据公式求离心率1、渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A．        B．1   C．        D．2解析 根据渐进线方程为的双曲线，可得，所以，则该双曲线的离心率为，故选C．2、若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±2x  B．y＝±xC．y＝±x  D．y＝±x【答案】B　【解析】在双曲线中，离心率e＝＝＝，可得＝，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±x.3.若双曲线 －＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)A.　　B.　　　C.　　D.【答案】D【解析】(1)由题意知＝，则e2＝1＋＝，所以e＝. 4、设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为   。【答案】【解析】考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|·|PF2|＝.又已知|PF1|·|PF2|＝ab，∴ab＝，得＝(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e＝＝＝＝.5、设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为         。 【答案】【解析】由双曲线的定义知，(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，所以4a2＝b2－3ab，即－3·＝4，解得＝4(－1舍去)．因为双曲线的离心率e＝＝，所以e＝.6、已知直线l过点A(-1,0)且与⊙B：x2+y2-2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐近线平行于l，则E的离心率为        。【答案】e【解析】可设直线l：y＝k（x+1），⊙B：x2+y2﹣2x＝0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，可得渐近线方程为，直线l方程，联立x2+y2﹣2x＝0，解得即D（），设双曲线的方程为又双曲线E过点D，代入D的坐标，可得则双曲线的方程为．则  考向三  根据几何关系找a,b,c的关系求离心率 1、已知F为双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若，则C的离心率是A．   B．   C．    D．2【答案】A2、双曲线的左右焦点分别为的直线交双曲线左支于A,B两点，是以A为直角顶点的直角三角形，且，若该双曲线的离心率为e，则A．  B．   C．  D．【答案】D 3、已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　) A.     B．2      C.      D.【答案】D【解析】设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线方程－＝1，得a＝b，所以e＝.故选D.4、过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．【答案】2＋　【解析】如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2，不妨令点P的坐标为(2a，－b)，此时kPF2＝＝，得到c＝(2＋)a，即双曲线C的离心率e＝＝2＋.]5、已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________．【答案】＋1【解析】依题意知，F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设M在x轴上方，则M(0，c)，所以MF1的中点为，代入双曲线方程可得－＝1，又c2＝a2＋b2，所以－＝1，整理得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋2(e2＝4－2<1舍去)，所以e＝＋1.6、设双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q，P使得四边形OPFQ为矩形，则其离心率为          .【答案】【解析】依据题意作出如下图像，其中四边形OPFQ为矩形， 双曲线的渐近线方程为：，所以直线QO的方程为，直线QF的方程为：，联立直线OQ与直线QF的方程可得：点Q的坐标为：，又点Q在双曲线上，所以   7．双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与圆x2+y2=a2相切，与C的左、右两支分别交于点A、B，若，则C的离心率为         。【答案】【解析】由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，|AB|＝|BF2|，可得|AF1|＝2a，则|AF2|＝|AF1|+2a＝4a， 化简可得c4﹣10a2c2+13a4＝0，可得e4﹣10e2+13＝0，解得e2＝，可得，． 8、已知双曲线的左、右焦点分别为，圆与双曲线在第一象限内的交点为M，若．则该双曲线的离心率为(     )A．2 B．3 C． D．【答案】D【解析】根据题意可画出以上图像，过点作垂线并交于点，因为，在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，，即，，因为圆的半径为，是圆的半径，所以，因为，，，，所以，三角形是直角三角形，因为，所以，，即点纵坐标为，将点纵坐标带入圆的方程中可得，解得，，将点坐标带入双曲线中可得，化简得，，，，故选D。 考向四  椭圆与双曲线综合求离心率 1、已知椭圆与双曲线有公共焦点，为与的一个交点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则_______．【答案】【解析】如图，由椭圆定义及勾股定理得，，可得 ，

同理可得
即，
∵，
∴．
故答案为：． 2、已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．【答案】    2    【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，