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    数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积背景图ppt课件

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    这是一份数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积背景图ppt课件,共30页。PPT课件主要包含了新知导入,新知讲解,上底缩小,上底扩大,课堂练习,课堂总结等内容,欢迎下载使用。

    第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
    上节已经学习了简单多面体的表面积与体积求法,旋转体的表面积与体积又如何求解呢?
    圆柱、圆锥、圆台的表面积与多面体的表面积一样,圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和。利用圆柱、圆锥、圆台的展开图如图,可以得到它们的表面积公式: (r是底面半径,l是母线长)。
    (r是底面半径,l是母线长)。
    (r',r分别是上下底面半径,l是母线长)。
    思考1:圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系?你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗?
    练习一圆柱的一个底面积是S,侧面展开图是一个正方体,那么这个圆柱的侧面积是( )A 4πS B 2πS C πS D
    解:选A底面半径是 ,所以正方形的边长是 。故圆柱的侧面积是 。
    练习二:如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正三角形ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积.
    解:该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体.令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h,则R=2,r=1,l=4,h= .所以圆锥的表面积 ,圆柱的侧面积 .所以所求几何体的表面积 .
    2 圆柱、圆锥、圆台的体积我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式即 (是底面半径,h是高) (是底面半径,h是高)由于圆台是由圆锥截成的,因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 (r',r分别是上下底面半径,h是高)
    对于柱体、锥体、台体的体积公式的认识
    (1)等底、等高的两个柱体的体积相同.
    (2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出,等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.
    思考2:圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系?结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗?柱体、锥体、台体的体积公式之间又有什么关系?
    练习三:圆台的上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是( )
    解:选D。S1=π,S2=4π,所以r=1,R=2,S侧=6π=π(R+r)l,所以l=2,所以h= 。所以
    练习四:如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,C到AB与AD的距离分别为1和2,若将ABCD绕y轴旋转一周,求所得旋转体的体积.
    解:旋转得到一个圆锥和圆台的组合体,
    3 球的表面积和体积设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关,是以R为自变量的函数。事实上,如果球的半径为R,那么它的表面积是S球=4πr²
    例一:如图,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成的,半球的直径是0.3m.圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料?(π取3.14)
    解:一个浮标的表面积为2π*0.15*0.6+4π*0.15²=0.8478(m²)所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478*0.5*1000=423.9(kg)
    练习五:湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6cm,深为1cm的空穴,则该球半径是_____cm,表面积是______cm²。
    解:设球心为O,OC是与冰面垂直的一条球半径,冰面截球得到的小圆圆心为D,AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R,则OD=R-1,则(R-1)²+3²=R²,得R=5cm,所以该球表面积为S=4πR²=4π*5²=100π(cm²)。
    思考3:在小学我们学了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?
    4 球的体积:利用圆的周长求圆的面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积。如图,把球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥形”。
    当n越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”的底面就越平。“小椎体”就越近似于棱锥,其高越近似于球的半径R,设O-ABCD是其中一个“小椎体”,它的体积是
    由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和,而这n个“小椎体”的底面积之和就是球的表面积。因此,球的体积
    例二:如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比。
    解:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R。
    练习六:在例二的条件下,证明球的表面积等于圆柱的侧面积。
    球的截面问题 一平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A. B. C. D.
    解:如图,设截面圆的圆心为O’, M为截面圆上任意一点则’ ,O’M=1.所以OM= ,即球的半径为 ,∴V=
    球的截面性质:①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系
    内接球问题:设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2
    解: 作出图形的轴截面如图所示,点O即为该球的球心,线段AB即为长方体底面的对角线,长度为= ,线段BC 即为长方体的高,长度为a,线段AC即为长方体的体对角线,长度为= ,则球的半径,所以球的表面积S=4πR 2=6πa 2.
    总结:1.球与正方体的六个面都相切,称球为正方体的内切球,此时球的半径为r1= ,过在一个平面上的四个切点作截面如图(1).
    2.长方体的八个顶点都在球面上,称球为长方体的外接球,根据球的定义可知,长方体的体对角线是球的直径,若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,过球心作长方体的对角线,则球的半径为r2= ,如图(2)
    3.正四面体的外接球:正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为:2R= .
    一、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依恒内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思是:“在屋内墙角处堆放米(如图所示,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆高5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知一斛米的体积约1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放米堆约有( )A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛
    解:选B,设米堆的底面半径为r,则8=2πr/4,因为π=3,所以r=16/3;则 ,所以
    二、设正方体的表面积为24,那么其外接球的体积是( )
    解:选C 设正方体棱长为a,由题意可知,6a²=24,所以a=2.设正方体外接球的半径为R,则 a=2R,所以R= ,所以 。
    1、圆柱、圆锥、圆台表面积与体积(1)表面积(2)体积 2、球的表面积与体积
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