数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积背景图ppt课件

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第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积
上节已经学习了简单多面体的表面积与体积求法，旋转体的表面积与体积又如何求解呢？
圆柱、圆锥、圆台的表面积与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和。利用圆柱、圆锥、圆台的展开图如图，可以得到它们的表面积公式： (r是底面半径，l是母线长）。
(r是底面半径，l是母线长）。
(r',r分别是上下底面半径，l是母线长）。
思考1：圆柱、圆锥、圆台的表面积之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
练习一圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方体，那么这个圆柱的侧面积是（ ）A 4πS B 2πS C πS D
解：选A底面半径是 ，所以正方形的边长是 。故圆柱的侧面积是 。
练习二：如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．
解：该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，则R＝2，r＝1，l＝4，h＝ .所以圆锥的表面积 ，圆柱的侧面积 .所以所求几何体的表面积 .
2 圆柱、圆锥、圆台的体积我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式即 (是底面半径，h是高) (是底面半径，h是高)由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式 (r',r分别是上下底面半径，h是高）
对于柱体、锥体、台体的体积公式的认识
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．
思考2：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有什么关系？
练习三：圆台的上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（ ）
解：选D。S1=π，S2=4π，所以r=1,R=2,S侧=6π=π（R+r）l,所以l=2,所以h= 。所以
练习四：如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，C到AB与AD的距离分别为1和2，若将ABCD绕y轴旋转一周，求所得旋转体的体积．
解：旋转得到一个圆锥和圆台的组合体，
3 球的表面积和体积设球的半径为R,它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数。事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是S球=4πr²
例一：如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成的，半球的直径是0.3m.圆柱高0.6m.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)
解：一个浮标的表面积为2π*0.15*0.6+4π*0.15²=0.8478（m²）所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478*0.5*1000=423.9（kg)
练习五：湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6cm,深为1cm的空穴，则该球半径是_____cm,表面积是______cm²。
解：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为R，则OD=R-1，则（R-1）²+3²=R²，得R=5cm,所以该球表面积为S=4πR²=4π*5²=100π（cm²）。
思考3：在小学我们学了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？
4 球的体积：利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥形”。
当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平。“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R，设O-ABCD是其中一个“小椎体”，它的体积是
由于球的体积就是这n个“小椎体”的体积之和，而这n个“小椎体”的底面积之和就是球的表面积。因此，球的体积
例二：如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比。
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R。
练习六：在例二的条件下，证明球的表面积等于圆柱的侧面积。
球的截面问题 一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为( )A. B． C． D．
解：如图，设截面圆的圆心为O’, M为截面圆上任意一点则’ ，O’M=1.所以OM= ，即球的半径为 ，∴V=
球的截面性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系
内接球问题：设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
解： 作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝ ，线段BC 即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝ ，则球的半径，所以球的表面积S＝4πR 2＝6πa 2.
总结：1.球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．
2.长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝ ，如图(2)
3．正四面体的外接球：正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：2R＝ .
一、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米堆约有（ ）A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛
解：选B，设米堆的底面半径为r,则8=2πr/4,因为π=3，所以r=16/3;则 ，所以
二、设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（ ）
解：选C 设正方体棱长为a,由题意可知，6a²=24，所以a=2.设正方体外接球的半径为R，则 a=2R,所以R= ,所以 。
1、圆柱、圆锥、圆台表面积与体积（1）表面积（2）体积 2、球的表面积与体积