人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试课堂检测

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单选题
1．已知数列，，，，…，则是这个数列的（ ）
A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项
【答案】B
【解析】
【分析】
将数列中的每一项都写成，即可判断是第几项.
【详解】
可将数列改写为，，，，... ，
由此可归纳该数列的通项公式为，
又，则其为该数列的第9项.
故选：B.
【点睛】
本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.
2．记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．180B．C．162D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前项和公式即可求出.
【详解】
，，
,
解得，
，，
，
.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的性质和前项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
3．在数列中，，（，），则（ ）
A．B．1
C．D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案.
【详解】
，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.
4．等比数列的前n项和为，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，利用等比数列的性质得到,结合，利用根与系数的关系构造二次方程求解得到的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求.
【详解】
由于在等比数列中，由可得：，
又因为，
所以有：是方程的二实根，又，所以，
故解得：，从而公比
那么，
故选：D．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题.
5．两等差数列和，前n项和分别为，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
在为等差数列中，当，，，时，．所以结合此性质可得：，再根据题意得到答案．
【详解】
解：在为等差数列中，当，，，时，．
所以，
又因为，
所以．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题．
6．等比数列中（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案.
【详解】
等比数列中，，
当时，可得，及，故B正确；
但和不能判断大小（正负不确定），故A错误；
当时，则，可得，即，可得，
由于不确定，不能确定的大小，故CD错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.
7．函数的正数零点从小到大构成数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先将函数化简为，再解函数零点得或，，再求即可.
【详解】
解：∵
∴ 令得：或，，
∴或，，
∴ 正数零点从小到大构成数列为：
故选：B.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.
8．已知函数，若 ，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.
【详解】
由题可知：
令
又
于是有
因此
所以
当且仅当时取等号
本题正确选项：
【点睛】
本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得与的和，从而能够构造出基本不等式的形式.
二、多选题
9．无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（ ）
A．可能为等差数列
B．可能为等比数列
C．中一定存在连续三项构成等差数列
D．中一定存在连续三项构成等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】
由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当时，．
当时，．
当时，上式＝．
所以若是等差数列，则
所以当时，是等差数列，不可能是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．
故选：AC
【点睛】
本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题．
10．数列的前项和为，若，，则有（ ）
A．B．为等比数列
C．D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据的关系，求得，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.
【详解】
由题意，数列的前项和满足，
当时，，
两式相减，可得，
可得，即，
又由，当时，，所以，
所以数列的通项公式为；
当时，，
又由时，，适合上式，
所以数列的的前项和为；
又由，所以数列为公比为3的等比数列，
综上可得选项是正确的.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查利用关系求数列的通项公式，以及等比数例的证明和判断，属综合基础题.
11．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
【答案】BD
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.
【详解】
根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：
是等差数列，若，则，故B正确；
又由得，则有，故A错误；
而C选项，，即，可得，
又由且，则，必有，显然C选项是错误的.
∵，，∴与均为的最大值，故D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题.
12．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（ ）
A．m＝3B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，
再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．
【详解】
∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），
∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）×m]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，
∴a67＝17×36，
∴S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)
（3n﹣1）•
n（3n+1）（3n﹣1）
故选：ACD.
【点睛】
本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前项和公式的应用，属于中档题．
三、填空题
13．已知数列的通项公式是，那么达到最小值时n为________.
【答案】22或23.
【解析】
【分析】
利用数列的单调性求得满足题意的n即可.
【详解】
，数列是递增数列.
令，解得：，或，
则可知达到最小值时n为22或23.
故答案为：22或23.
【点睛】
本题考查等差数列前n项和最值的求法，属于基础题.
14．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．
【答案】405
【解析】
【详解】
【分析】
前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，
15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第次得到数列1，，，…，，4，并记，其中，.则的通项___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由，结合题意得到，再设求出，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而可求出结果.
【详解】
由题意，根据，可得
，
设，即，可得，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
故，所以.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.
16．如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形相似和所有梯形的面积均相等，找到与相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.
【详解】
由于 所以
梯形 的面积为的面积減去的面积，
则可得 即递推公式为
故为等差数列，且公差，
故，得
故答案为:
【点睛】
本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.
四、解答题
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的存在最大值，则求出最大值；若问题中的不存在最大值，请说明理由.问题：设是数列的前项和，且，__________，求的通项公式，并判断是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
若选①，求出数列是首项为4，公比为的等比数列，求出通项公式和前项和，通过讨论的奇偶性，求出其最大值即可；
若选②，求出数列是首项为4，公差为的等差数列，求出通项公式和前项和，求出其最大值即可；
若选③，求出，当时，，故不存在最大值.
【详解】
解：选①
因为，，所以是首项为4.公比为的等比数列，
所.
当为奇数时，，
因为随着的增加而减少，所以此时的最大值为.
当为偶数时，，
且
综上，存在最大值，且最大值为4.
选②
因为，.所以是首项为4，公差为的等差数列，
所以.
由得，
所以存在最大值.且最大值为（或），
因为，所以的最大值为50.
选③
因为，所以，
所以，，…，
则，
又，所以.
当时，，
故不存在最大值.
【点睛】
此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题
18．数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1) 当时，，利用得到通项公式，验证得到答案.
(2)根据的正负将和分为两种情况，和，分别计算得到答案.
【详解】
(1)当时，，
当时，.
综上所述.
(2)当时，，所以
，
当时，，
.
综上所述.
【点睛】
本题考查了利用求通项公式，数列的绝对值和，忽略时的情况是容易犯的错误.
19．已知数列满足，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由变形得：，可得证明.
（2）由（1）知：,∴,用裂项相消可求和,从而可证明.
【详解】
（1）由变形得：
又，故
∴数列是以1为首项1为公差的等差数列.
（2）由（1）知：
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题.
20．设是公比大于1的等比数列，，且是，的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为，根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出通项公式；
（2）先由（1）得到，再由错位相减法，即可得出结果.
【详解】
（1）设等比数列的公比为.
依题意，有，
将代入得，
得.
联立得
两式两边相除消去得，
解得或（舍去），
所以，
所以，，
（2）因为
所以，①
②
①②，得
.
所以，数列的前n项和.
【点睛】
本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于常考题型.
21．已知数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）数列，表示不超过的最大整数，求的前1000项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用可求出；
（2）根据数列特点采用分组求和法求解.
【详解】
（1）当时，，
当时，，
将代入上式验证显然适合，所以.
（2）因为，，，，
所以，
所以.
【点睛】
本题考查和的关系，考查分组求和法，属于基础题.
22．已知为等差数列，为等比数列，．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1.
从而的通项公式为.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而，
所以.
(Ⅲ)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.