北师大版九年级上册第四章 图形的相似综合与测试习题ppt课件

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【2019·雅安】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
【教材P102习题T4变式】如图，AB＝16 cm，AC＝12 cm，动点P，Q分别以每秒2 cm和1 cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止(点P到达点C后，点Q继续运动)．设运动时间为t秒．(1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出取值范围；
解：由题意得AP＝2t cm(0≤t≤6)，AQ＝(16－t)cm(0≤t≤16)．
(2)当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？
如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°.AE，AF分别交BC，CD于点E，F，交BD于点H，G.求证： (1)AD2＝BG·DH.
【点拨】当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC.
如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.(1)求证：△ABF∽△EAD；
证明：∵AD∥BC，∴∠C＋∠ADE＝180°.∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠EDA.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∴△ABF∽△EAD.
(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，AD＝3，求AE和BF的长．
如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC. 求证：(1)△ADE∽△ABC.
证明：∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.
(1)尝试：如图①，已知A，E，B三点在同一直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，求证：△ADE∽△BEC.
证明：∵∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∴∠DEA＋∠CEB＝90°，∠DEA＋∠D＝90°，∴∠D＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC.
(2)一名同学做完上题后还发现：如图②③，只要A，E，B三点在同一直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC，则(1)中的结论总成立．你同意吗？ 请选择其中之一说明理由．
解：同意，选择图②(或图③)说明理由：∵∠A＝∠B＝∠DEC，∠A＋∠D＝∠DEC＋∠CEB，∴∠D＝∠CEB，∴△ADE∽△BEC.
如图，已知OA⊥OB，OA＝4，OB＝3，以AB为边作矩形ABCD，使AD＝a，过点D作DE垂直于OA的延长线于点E. (1)求证：△OAB∽△EDA.
证明：如图所示，∵OA⊥OB，∴∠1＋∠2＝90°.又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.∵OA⊥OB，DE⊥OA，∴∠BOA＝∠DEA＝90°，∴△OAB∽△EDA.
(2)当a为何值时，△OAB与△EDA全等？请说明理由，并求出此时点C到OE的距离．