江西省赣州市章贡区2020-2021学年八年级上册期末数学试卷（解析版）

这是一份江西省赣州市章贡区2020-2021学年八年级上册期末数学试卷（解析版），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江西省赣州市章贡区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）垃圾分类功在当代利在千秋，如图垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）现有两根木棒，它们的长分别是30cm和70cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　）
A．40cm B．70cm C．100cm D．130cm
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．（a2）3＝a5
C．a﹣1÷a﹣3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　）

A．△ABC三条中线的交点处
B．△ABC三条高所在直线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边的垂直平分线的交点处
5．（3分）将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．缩小到原来的
6．（3分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

A． B． C． D．不能确定
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：2a2﹣8＝　 　．
8．（3分）当x　 　时，分式值为0．
9．（3分）已知10a＝2，10b＝3，则102a+3b＝　 　．
10．（3分）如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加条件　 　，证明全等的理由是　 　．

11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝1，AC＝，E、F分别是AC、BC上的动点，则BE+EF的最小值是　 　．

12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm．动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥MN于E，QF⊥MN于F．则点P运动时间为　 　秒时，△PEC与△QFC全等．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：（2﹣1）0﹣|﹣6|+（）﹣2．
（2）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2．
14．（6分）解方程：﹣1＝
15．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2﹣4a+1＝0．
16．（6分）如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．

17．（6分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使AP＝AP′．
（2）如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使BP＝CP′．

四、（本大题共3小题，每题8分，共24分）
18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，直接写出P的坐标为　 　；
（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有　 　个．

19．（8分）已知△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）∠B＝50°，∠C＝70°，求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

20．（8分）某中学教学楼需要在规定时间内改造完以迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如表（部分信息）：
甲：（1）施工一天，需付甲工程队2.1万元；
（2）单独完成这项工程可提前两天完成．
乙：（1）施工一天，需付乙工程队工程款1万元；
（2）单独完成这项工程会延期8天才可以完成．
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队单独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：（1）学校规定的期限是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
五、（本大题共2小题，每题9分，共18分）
21．（9分）阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系．
∵x2﹣2x+3＝（x﹣　 　）2+　 　．
所以x2﹣2x+3　 　0（填“＞”、“＜”、“＝”）
（2）如图①所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图②所示的长方形边长分别是5a、a+5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）
（3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由．

22．（9分）已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°
（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；
（2）如图1，请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．

六、（本大题共12分）
23．（12分）如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣2|＝0．
（1）求点D的坐标；
（2）求∠AKO的度数；
（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．


2020-2021学年江西省赣州市章贡区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）垃圾分类功在当代利在千秋，如图垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）现有两根木棒，它们的长分别是30cm和70cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　）
A．40cm B．70cm C．100cm D．130cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形三边关系，
∴三角形的第三边x满足：70﹣30＜x＜30+70，即40＜x＜100，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B．（a2）3＝a5
C．a﹣1÷a﹣3＝a2 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】分别根据任何非零数的零次幂等于1，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，负整数指数幂的定义以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A、，故本选项不合题意；
B、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；
C、a﹣1÷a﹣3＝a﹣1+3＝a2，故本选项符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的除法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
4．（3分）如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　）

A．△ABC三条中线的交点处
B．△ABC三条高所在直线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边的垂直平分线的交点处
【分析】根据题意和线段垂直平分线的性质，可以解答本题．
【解答】解：∵到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，
故选：D．
【点评】本题考查线段的垂直平分线，解答本题的关键是明确题意，利用线段垂直平分线的性质解答．
5．（3分）将分式中x、y的值都扩大到原来的3倍，则扩大后分式的值（　　）
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的9倍
C．不变 D．缩小到原来的
【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质化简即可．
【解答】解：＝＝，
即分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
6．（3分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）

A． B． C． D．不能确定
【分析】过P作BC的平行线，交AC于M；则△APM也是等边三角形，在等边三角形APM中，PE是AM上的高，根据等边三角形三线合一的性质知AE＝EM；易证得△PMD≌△QCD，则DM＝CD；此时发现DE的长正好是AC的一半，由此得解．
【解答】解：过P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等边三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等边三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE＝EM＝AM；（等边三角形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；
又∵PA＝PM＝CQ，
在△PMD和△QCD中

∴△PMD≌△QCD（AAS）；
∴CD＝DM＝CM；
∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝，故选：B．

【点评】此题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形△APM是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）因式分解：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
8．（3分）当x　＝﹣1　时，分式值为0．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0
解得：x＝﹣1
故答案是：＝﹣1
【点评】本题主要考查了分式值是0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
9．（3分）已知10a＝2，10b＝3，则102a+3b＝　108　．
【分析】根据幂的乘方进行计算即可．
【解答】解：∵10a＝2，10b＝3，
∴102a+3b＝（10a）2•（10b）3＝4×27＝108，
故答案为108．
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
10．（3分）如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加条件　∠E＝∠F或∠ECA＝∠FBD或AB＝CD　，证明全等的理由是　ASA或AAS或SAS　．

【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：①∠E＝∠F 两角及夹边对应相等的两个三角形全等
②∠ECA＝∠FBD 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
③AB＝CD，AC＝BD，两边及夹角对应相等的两个三角形全等
故答案为∠E＝∠F或∠ECA＝∠FBD或AB＝CD；ASA或AAS或SAS．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝1，AC＝，E、F分别是AC、BC上的动点，则BE+EF的最小值是　　．

【分析】延长BA至D，设DA＝BA，作DF⊥BC于F，交AC于E，根据线段垂直平分线的性质以及垂线段最短即可得到BE+EF的最小值是DF的长．
【解答】解：延长BA至D，设DA＝BA，作DF⊥BC于F，交AC于E，此时，BE+EF的值最小，最小值为DF，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝1，
∴BD＝2，
∴DF＝BD＝×2＝，
故答案为．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解直角三角形以及线段垂直平分线的性质，垂线段最短的性质，明确BE+EF的最小值是DF的长是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm．动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过点P和Q作PE⊥MN于E，QF⊥MN于F．则点P运动时间为　或　秒时，△PEC与△QFC全等．

【分析】根据全等三角形的性质得到CP＝CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t＝8﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t＝3t﹣8，Q在AC上，列方程即可得出答案．
【解答】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，
∵△PEC≌△QFC，
∴斜边CP＝CQ，
有2种情况：①如图1，点P在AC上，点Q在BC上，

CP＝5﹣t，CQ＝12﹣3t，
∴5﹣t＝12﹣3t，
∴t＝；
②如图2，点P、Q都在AC上，此时点P、Q重合，

∴CP＝5﹣t＝3t﹣12，
∴t＝；
综上所述，点P运动时间为或秒时，△PEC与△QFC全等，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算：（2﹣1）0﹣|﹣6|+（）﹣2．
（2）计算：（a+1）（a﹣1）﹣（a﹣2）2．
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可得到答案；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得到答案．
【解答】解：（1）原式＝1﹣6+4＝﹣1；
（2）原式＝a2﹣1﹣a2+4a﹣4＝4a﹣5．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．（6分）解方程：﹣1＝
【分析】本题是分式方程，去分母后把分式方程转化为整式方程，求解检验即可．
【解答】解：方程两边乘（x﹣1）（x+2），得x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3
即：x2+2x﹣x2﹣x+2＝3
整理，得x＝1
检验：当x＝1时，（x﹣1）（x+2）＝0，
∴原方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是方程的两边都乘以最简公分母，化分式方程为整式方程．注意验根．
15．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a满足a2﹣4a+1＝0．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后由a2﹣4a+1＝0，可以得到a2﹣4a＝﹣1，再代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝[]
＝
＝
＝
＝
＝，
∵a2﹣4a+1＝0，
∴a2﹣4a＝﹣1，
当a2﹣4a＝﹣1，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
16．（6分）如图，点E在AB上，△ABC≌△DEC，求证：CE平分∠BED．

【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠DEC，全等三角形对应边相等可得BC＝EC，根据等边对等角可得∠B＝∠BEC，从而得到∠BEC＝∠DEC，再根据角平分线的定义证明即可．
【解答】证明：∵△ABC≌△DEC，
∴∠B＝∠DEC，BC＝EC，
∴∠B＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠DEC，
∴CE平分∠BED．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键．
17．（6分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使AP＝AP′．
（2）如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使BP＝CP′．

【分析】（1）连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P'，判断出△ABP'≌△ACP即可得出结论；
（2）借助（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：（1）如图①，点P'为所求作的图形，

理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
连接CP，交AD于H，连接BH并延长交AC于P'，
∴BH＝CH，
∴∠HBC＝∠HCB，
∴∠ABP'＝∠ACP，
∵AB＝AC，∠BAP'＝∠CAP，
∴△ABP'≌△ACP，
∴AP'＝AP，

（2）如图②，点P'为所求作的图形，

理由：同（1）的方法即可得出，BP＝CP'．
【点评】此题主要考查了基本作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线定理，熟练掌握基本作图是解本题的关键．
四、（本大题共3小题，每题8分，共24分）
18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，直接写出P的坐标为　（0，0）　；
（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有　4　个．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）连接BA2交x轴于点P，点P即为所求作．
（3）分三种情形讨论求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作，P（0，0），
故答案为：（0，0）．

（3）如图，A为顶点的等腰三角形有2个，C为顶点的等腰三角形有一个，Q为顶点的等腰三角形有一个，共有4个．

故答案为4．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）已知△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．
（1）∠B＝50°，∠C＝70°，求∠EDA的度数；
（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

【分析】（1）直接利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得出答案；
（2）过D作DF⊥AC于F，依据角平分线的性质，即可得到DF＝DE＝3，再根据S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°，
∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）如图，过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝3，
又∵AB＝10，AC＝8，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝×10×3+×8×3＝27．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形的面积，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
20．（8分）某中学教学楼需要在规定时间内改造完以迎接新学期的开学，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书如表（部分信息）：
甲：（1）施工一天，需付甲工程队2.1万元；
（2）单独完成这项工程可提前两天完成．
乙：（1）施工一天，需付乙工程队工程款1万元；
（2）单独完成这项工程会延期8天才可以完成．
学校后勤处提出两个方案：①由甲工程队单独施工；②由乙工程队单独施工；
校团委学生代表小组根据甲、乙两队的投标书测算及工期安排，提出了新的方案：③若甲乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．
试问：（1）学校规定的期限是多少天？
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．
【分析】（1）设该工程的规定时间为x天，等量关系为：甲乙合作4天的工作总量+乙做（规定天数﹣4）天的工作量＝1，依此列出方程求解即可；
（2）根据已知算出各种方案的价钱之后，再根据题意进行选择．
【解答】解：（1）设该工程的规定时间为x天，则甲队需要（x﹣2）天完成，乙队需要（x+8）天完成，
根据题意，得：4×+x×＝1，
解得：x＝12，
经检验：x＝12是原分式方程的根，
答：学校规定的期限是12天；

（2）选择方案③，
理由如下：由于不耽误工期，故方案②舍去，只能选择方案①与方案③．
方案①：由甲队单独施工，10天完成，其费用为10×2.1＝21（万元）；
方案③：由甲乙合作4天，再由乙队施工8天，其费用为4×2.1+12×1＝20.4（万元）；
所以选择方案③进行施工．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．
五、（本大题共2小题，每题9分，共18分）
21．（9分）阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式．
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系．
∵x2﹣2x+3＝（x﹣　1　）2+　2　．
所以x2﹣2x+3　＞　0（填“＞”、“＜”、“＝”）
（2）如图①所示的长方形边长分别是2a+5、3a+2，求长方形的面积S1（用含a的式子表示）；如图②所示的长方形边长分别是5a、a+5，求长方形的面积S2（用含a的式子表示）
（3）比较（2）中S1与S2的大小，并说明理由．

【分析】（1）利用配方法将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，利用非负数的性质判断x2﹣2x+3与0的大小关系；
（2）利用矩形的面积公式解答；
（3）利用作差法比较（2）中S1与S2的大小．
【解答】解：（1）x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+2＞0
故答案为：1，2；＞；

（2），；

（3）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1
∵（a﹣3）2≥0
∴（a﹣3）2+1＞0，
∴S1﹣S2＞0，
∴S1＞S2．
【点评】本题考查的是配方法的应用，正确完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
22．（9分）已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°
（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；
（2）如图1，请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE＝63°，由三角形内角和定理得出∠EAB＝54°，推出∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，即可得出结果；
（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，由中线的性质得出BD＝CD，由SAS证得△BDH≌△CDA得出HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，得出AC∥BH，由平行线的性质得出∠ABH+∠BAC＝180°，证得∠EAF＝∠ABH，由SAS证得△ABH≌△EAF，即可得出结论；
（3）由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，得出EG＝AD，由（2）△ABH≌△EAF得出∠AEG＝∠BAD，由SAS证得△EAG≌△ABD得出∠EAG＝∠ABC＝70°，由已知得出∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，推出∠BAC＝55°﹣∠CAF，由三角形内角和定理得出∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，即可得出结果．
【解答】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝63°，
∴∠EAB＝54°，
∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，
∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝36°；
（2）EF＝2AD；理由如下：
延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，如图1所示：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDH和△CDA中，，
∴△BDH≌△CDA（SAS），
∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC＝180°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABH，
在△ABH和△EAF中，，
∴△ABH≌△EAF（SAS），
∴EF＝AH＝2AD；
（3）；理由如下：
由（2）得，AD＝EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
由（2）△ABH≌△EAF，
∴∠AEG＝∠BAD，
在△EAG和△ABD中，，
∴△EAG≌△ABD（SAS），
∴∠EAG＝∠ABC＝70°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，
即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，
∴∠BAC+∠CAF＝55°，
∴∠BAC＝55°﹣∠CAF，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，
∴55°﹣∠CAF＝110°﹣∠ACB，
∴∠ACB﹣∠CAF＝55°．

【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键．
六、（本大题共12分）
23．（12分）如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA＝OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC＝OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣2|＝0．
（1）求点D的坐标；
（2）求∠AKO的度数；
（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP＝OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．

【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．只要证明△BOD≌△AOC，推出EO＝OF（全等三角形对应边上的高相等），推出OK平分∠BKC，再证明∠AKB＝∠BOA＝90°，即可解决问题；
（3）结论：BM＝MN+ON．只要证明△BNH≌△BNO，以及MH＝MB即可解决问题；
【解答】解：（1）∵（m﹣2n）2+|n﹣2|＝0，
又∵（m﹣2n）2≥0，|n﹣2|≥0，
∴n＝2，m＝4，
∴点D坐标为（4，2）．

（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．

∵OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴△BOD≌△AOC，
∴EO＝OF（全等三角形对应边上的高相等），
∴OK平分∠BKC，
∴∠OBD＝∠OAC，易证∠AKB＝∠BOA＝90°，
∴∠OKE＝45°，
∴∠AKO＝135°．

（3）结论：BM＝MN+ON．
理由：如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．

∵OQ＝OP，OA＝OB，∠AOQ＝∠BOP＝90°，
∴△AOQ≌△BOP，
∴∠OBP＝∠OAQ，
∵∠OBA＝∠OAB＝45°，
∴∠ABP＝∠BAQ，
∵NM⊥AQ，BM⊥ON，
∴∠ANM+∠BAQ＝90°，∠BNO+∠ABP＝90°，
∴∠ANM＝∠BNO＝∠HNB，
∵∠HBN＝∠OBN＝45°，BN＝BN，
∴△BNH≌△BNO，
∴HN＝NO，∠H＝∠BON，
∵∠HBM+∠MBO＝90°，∠BON+∠MBO＝90°，
∴∠HBM＝∠BON＝∠H，
∴MH＝MB，
∴BM＝MN+NH＝MN+ON．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，综合性比较强，属于中考压轴题．