2022-2023学年江西省赣州市章贡区九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省赣州市章贡区九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个棱长均为的正方体组成的几何体，从左面看到的该几何体的形状为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  年月日，赣南脐橙国际博览会在信丰县开幕，开幕式上，举行了签约仪式，签约项目个，签约金额亿元，其中亿用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列图形中，已知，则可得到的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列计算正确得是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，点是矩形的边的中点，且于点，则下列结论中错误的是(    )

A.
B.
C. 图中与相似的三角形共有个
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  在，，，这四个数中，最小的数是______ ．

8.  若的立方根是，则______．

9.  分解因式：______．

10.  如图，的直径垂直于弦，，则______度．

11.  若一元二次方程的两个实数根分别是、，则关于的一次函数的图象一定不经过______ 象限．

12.  如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

13.  解不等式组．

四、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：；
如图，在中，，，、分别是、的中点，若，求的长．

15.  本小题分
今年三八妇女节期间，某公司决定对公司女职工发放礼品进行慰问，慰问品实行弹性选择的方法，每位女职工可从小电器购物卡、化妆品打折券、床上用品、旅游年票中任选两种所选的两种礼品不能相同
若李丽已经选择了小电器购物卡，则她再选择床上用品的概率是多少？
用列表或画树状图的方法求李丽选了化妆品打折券和旅游年票的概率．

16.  本小题分
如图是由边长为的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点，均在格点上，请仅用无刻度的直尺．
在图中画出的中点；保留辅助线，辅助线用虚线
在图中画一个，使点在格点上．不写作法，保留作图痕迹
 

17.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点，直线与轴交于点．
求直线的表达式；
求：的值．

18.  本小题分
在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，和班参赛人数相同，成绩分为、、三个等级，其中相应等级的得分依次记为级分、级分、级分，达到级以上含级为优秀，其中班有人达到级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题：

求各班参赛人数，并补全条形统计图；
此次竞赛中班成绩为级的人数为______人；
小明同学根据以上信息制作了如下统计表：

请分别求出和的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩．

19.  本小题分
如图，分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座的长为米，底座与支架所成的角，点、、在同一条直线上，支架段的长为米，段的长为米，篮板底部支架的长为米．
求篮板底部支架与支架所成的角的度数．
求篮板顶端到地面的距离．结果精确到米；参考数据：，，，，
 

20.  本小题分
为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买，两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元；购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元．
求每个型垃圾箱和型垃圾箱各多少元？
该市现需要购买，两种型号的垃圾箱共个，其中购买型垃圾箱不超过个．
求购买垃圾箱的总花费元与型垃圾箱个之间的函数关系式；
当购买型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少？

21.  本小题分
如图所示，在菱形中，，是等边三角形．
如图，点、分别在菱形的边、上滑动，且、不与、、重合，求证：；
如图，点是延长线上一点，连．
求证：：
若，，求的长．
 

22.  本小题分
如图，已知是的直径，点是线段延长线上的一个动点，直线垂直于射线于点，当直线绕点逆时针旋转时，与交于点，且运动过程中，保持
当直线与相切于点时，求旋转角的度数；
当直线与半圆相交于点时如图，设另一交点为，连接，，若．
与的大小有什么关系？说明理由．
求此时旋转角的度数．
 

23.  本小题分
我们约定为二次函数的“相关数”．
特例感知
“相关数”为的二次函数的解析式为；
“相关数”为的二次函数的解析式为；
“相关数”为的二次函数的解析式为；
下列结论正确的是______填序号．
抛物线，，都经过点；
抛物线，，与直线都有两个交点；
抛物线，，有两个交点．
形成概念
把满足“相关数”为为正整数的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，，抛物线与轴的交点为，．
探究问题
“一簇抛物线”，，，，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为______．
抛物线的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
当时，抛物线与轴的左交点，与直线的一个交点为，且点不在轴上．判断和是否相等，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查从不同方向看简单几何体，理解从三个方向看的是几列几层是关键．从左面看到的是两列，其中第一列是三层，第二列是一层，进而画出从左面看到的该几何体的形状．
【解答】
解：从左面看，看到的是两列，第一列是三层，第二列是一层，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、和的是对顶角，不能判断，此选项不正确；
B、和的对顶角是同位角，又相等，所以，此选项正确；
C、和的是内错角，又相等，故AD，不是，此选项错误；
D、和互为同旁内角，同旁内角相等两直线不一定平行，此选项错误．
故选：．
先确定两角之间的位置关系，再根据平行线的判定来确定是否平行，以及哪两条直线平行．
本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握线角之间的位置关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：原式，故A错误；
原式，故B错误；
原式，故C错误；
故选：．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：A、，
∽，
，
，
，故A正确，不符合题意；
B、过作交于，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
于点，，
，
，
，故B正确，不符合题意；
C、图中与相似的三角形有，，，，共有个，故C错误，符合题意．
D、设，由∽，有．
，故D正确，不符合题意．
故选：．
由，又，所以，故A正确，不符合题意；
过作交于，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；
根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；
由∽，得到与的大小关系，根据正切函数可求的值，故D错误，符合题意．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据正数大于，大于负数，最小的数在和中，
根据两个负数比较，绝对值大的反而小，
，，
，
，
故答案为：．
根据有理数大小的比较方法可得．
本题考查的是有理数大小的比较，解题的关键是掌握正数大于，大于负数数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查立方根，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
根据立方根的定义即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：
故答案为：  

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：．
 

10.【答案】 

【解析】解：的直径垂直于弦，
，
，
和的度数都是，
的度数是，
，
故答案为：．
根据垂径定理得出，根据求出和的度数都是，求出的度数，即可得出答案．
本题考查了垂径定理和圆周角定理，能求各段弧的度数是解此题的关键．
 

11.【答案】第二 

【解析】解：方程的两个实数根分别是、，
、，
则一次函数的解析式为，
该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：第二．
根据根与系数的关系可得出、，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数的图象经过的象限，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图，作于．

，，
，
点是的中点，
，
，
，，
当时，可得，，，
当时，，
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
分两种情形分别讨论求解即可；
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
 

14.【答案】解：原式

；
、分别是、的中点，，
，
在中，，，
则． 

【解析】根据有理数的乘方、立方根的概念、有理数的除法法则计算；
根据三角形中位线定理求出，再根据含角的直角三角形的性质求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、实数的运算，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】解：由题意可得，李丽已经选择了小电器购物卡，则她再选择床上用品的概率是．
将小电器购物卡、化妆品打折券、床上用品、旅游年票分别记为、、、，
列表如下：

由表可知，共有种等可能的结果，其中李丽选了化妆品打折券和旅游年票，即和的结果有种，
李丽选了化妆品打折券和旅游年票的概率为． 

【解析】直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及李丽选了化妆品打折券和旅游年票的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

16.【答案】解：点即为所求；

点即为所求． 

【解析】根据菱形的性质健康得到结论；
根据等腰三角形的性质健康得到结论．
本题考查作图应用与设计、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题
 

17.【答案】解：点和点在双曲线，
，，
，．
点，点．
将点、代入直线，
得，
解得  
直线的表达式为：．
分别过点、作轴，轴，垂足分别为点、．
则，，，
，
． 

【解析】根据反比例函数的解析式可得和的值，利用待定系数法求一次函数的表达式；
作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论．
本题是一次函数和反比例函数的综合问题，考查了反比例函数和一次函数的交点问题；本题还考查了平行线分线段成比例定理．
 

18.【答案】解：
班有人达到级，且等级人数占被调查的人数为，
班参赛的人数为人，
和班参赛人数相同，
班参赛人数也是人，
则班等级人数为人，
补全图形如下：

；

分，
，
班的优秀率为，班的优秀率为，
从优秀率看班更好；
班的方差大于班的方差，
从稳定性看班的成绩更稳定； 

【解析】解：班有人达到级，且等级人数占被调查的人数为，
班参赛的人数为人，
和班参赛人数相同，
班参赛人数也是人，
则班等级人数为人，
补全图形如下：


此次竞赛中班成绩为级的人数为人，
故答案为：．

分，
，
班的优秀率为，班的优秀率为，
从优秀率看班更好；
班的方差大于班的方差，
从稳定性看班的成绩更稳定；
由班级人数及其所占百分比可得两个班的人数，班级人数减去、级人数可求出等级人数．
班级人数乘以等级对应的百分比可得其人数．
根据平均数和方差的定义求解可得，再根据优秀率及方差的意义比较即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．除此之外，本题也考查了对平均数、方差的认识．
 

19.【答案】解：由题意可得：，
则；
延长交的延长线于，过作于，

在中，，
米，
米，
在中，，，
，
米，
米，
答：篮板顶端到地面的距离是米． 

【解析】本题考查解直角三角形、锐角三角函数，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案；
延长交的延长线于，过作于，解直角三角形即可得到结论．
 

20.【答案】解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，
由题意得：．
解得：．
答：每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元；

设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，
由题意得：，且为整数．

由知，，
是的一次函数．
，
随的增大而减小．
又，且为整数，
当，取最小值，且最小值为．
答：函数关系式为，且为整数．
购买个型垃圾箱，总费用最少，最少费用为元． 

【解析】设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元；购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据总价单价购进数量，即可得出关于的函数关系式；
利用一次函数的性质解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量间的关系，找出关于的函数关系式；利用一次函数的性质，解决最值问题．
 

21.【答案】证明：如图，连接，

四边形为菱形，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
和为等边三角形，
，，
在和中，
，
≌．
；
证明：和为等边三角形，
，，，
，
≌，
，
又，，
；
解：过点作于点，连接，

，
，
，
，
． 

【解析】证明、为等边三角形，得出，，可证明≌，即可求得．
证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
过点作于点，连接，由勾股定理可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：如图，连接．

，，
，
，
是的切线，
，
；
旋转角，
根据对称性可知，当旋转角为时，也符合题意．
综上所述，满足条件的旋转角为或．
如图，连接．

，
，
，．
，
．
设，则．
．
结论：．
理由如下：
在与中，
，
≌，
；
，，
．
，
，即：，
．
，
旋转角． 

【解析】本题属于圆综合题，考查了切线性质，全等三角形，等腰三角形的性质以及平行线的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
连接，因为是的切线，得出，由，得出即可解决问题；
连接，证明≌，即可得；
利用等腰三角形及平行线的性质，根据三角形内角和定理构建方程可求得的度数，即可解决问题．
 

23.【答案】解：；
，；
由得：与轴的两个交点，，
的纵坐标为：，
为正整数，且构成三角形，必须抛物线与轴有两个交点，
到轴的距离为：，且，
由抛物线的对称性，当是直角三角形时，只可能是直角，且为等腰直角三角形．
分情况讨论：
当时，
当时，是直角三角形，
，舍去，
当时，
当时，是直角三角形，
，舍去，
综上所述：或；
和相等，理由如下：
当时，抛物线与轴的左交点，抛物线与轴的左交点，
当时，
，舍去，
的横坐标为：，
同理可得：的横坐标为：，
，，
． 

【解析】当时，；由得，，从而得出结论；由得，，，进而得出结论；
令和，从而求得结果；
先求得与轴的两个交点及的纵坐标，由抛物线的对称性，当是直角三角形时，只可能是直角，且为等腰直角三角形，分和两种情形，当满足到轴的距离等于抛物线与轴的两点交点之间的距离的一半时，可知是直角三角形，从而列出方程求得结果；
求得当时，抛物线与轴的左交点及抛物线与轴的左交点，求出的横坐标，的横坐标为：，计算，，从而得出结论．
本题以二次函数为背景，考查了抛物线与轴的交点与一元二次方程之间的关系，直角三角形的判定等知识，解决问题的关键是较强的计算能力和理解能力．
【解答】
解：当时，，
抛物线均过，
由得，，
当时，，
当时，，
当时，，
由得，，，
故答案为：；
，
当时，，
点在上，
当时，
，
，
，，
点在上，
故答案为：，；
见答案；
见答案．