人教版九年级上册第二十四章 圆24.2 点和圆、直线和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系随堂练习题

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课后练习
1．△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以A为圆心，以3为半径画圆，点B与⊙A的位置关系是（　　）
A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定
【分析】根据点B到圆心A的距离AB大于半径即可判断．
【解答】解：∵AB=5＞3，
∴点B在⊙A外，
故选：A．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r．
　
2．一个点与定圆上最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则此圆的半径为（　　）
A．2.5cm B．6.5cm C．13cm或5cm D．2.5cm或6.5cm
【分析】分为两种情况来讨论：当点在定圆内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点在定圆外时，直径=最远点的距离﹣最近点的距离．
【解答】解：当点在定圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；
当点在定圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，理解点与定圆上最近点的距离、最远点的距离与直径的关系，分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
　
3．若△ABC内接于⊙O，∠BOC=130°，则∠A的度数为（　　）
A．50° B．50°或130° C．65° D．65°或115°
【分析】根据题意画出图形，然后分别从当A在优弧上时与当A在劣弧BC上时去分析求解即可求得答案．
【解答】解：当A在优弧上时，∠A=∠BOC=×130°=65°；
当A在劣弧上时，∠BA′C=180°﹣∠A=115°；
∴∠A的度数为65°或115°．
故选：D．

【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质，掌握相关的定理、注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
　
4．已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径．
【解答】解：∵圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，
∴圆的直径为8﹣2=6，
∴该圆的半径是3．
故选：C．

【点评】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键．
　
5．如图⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，若⊙O的半径为2，则下列结论错误的是（　　）

A．AD=BD B．AE=BE C．AB= D．OD=1
【分析】根据由垂径定理和圆周角定理知，OD是AB的中垂线，有AE=BE，AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．利用三角函数可求得AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1，AB=2，从而判断出选项C是错误的．
【解答】解：∵OD⊥AB，
∴AE=BE，AD=BD，∠AOD=∠BOD=∠C=60°．
∴AD=AOsin60°=，OD=OAsin∠AOD=OAsin60°=1．
∴AB=2．
∴A，B，D均正确，C错误．
故选：C．
【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理，直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．
　
6．下列说法中，正确的有（　　）
①三点可以确定一个圆；
②三角形的外心是三角形三边中线的交点；
③锐角三角形的外心在三角形外；
④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】不在同一直线上三点才可以作一个圆，在同一直线上三点不能作一个圆，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的内部，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵不在同一直线上三点才可以作一个圆，∴①错误；
∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，∴②错误；
∵锐角三角形的外心在三角形的内部，∴③错误；
∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴根据垂直平分线性质得出三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，∴④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外心与外接圆，线段垂直平分线性质，确定圆的条件的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
　
7．下列四边形的四个顶点，一定可在同一个圆上的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【分析】四个顶点可在同一个圆上的四边形，一定有一点到它的四个顶点的距离都相等，因而A、C、D都是错误的；矩形的四个顶点到对角线的交点的距离都相同，因而矩形的四个顶点一定可以在同一个圆上；
【解答】解：∵矩形对角线相等且互相平分，
∴四个顶点到对角线交点距离相等，
∴矩形四个顶点定可在同一个圆上．
故选：B．
【点评】能够理解四个顶点在同一个圆上的条件是解决本题的关键．
　
8．下列说法正确的有几个（　　）
①经过三个点一定可以作圆；②任意一个圆一定有内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各边的距离相等；⑤经过不在同一直线上的四个点可以作圆．
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】分别利用三角形内心和外心的性质以及确定圆的条件等知识分别判断得出即可．
【解答】解：①不共线的三个点确定一个圆，故此结论错误；
②任意一个圆一定有内接三角形，有无数个内接三角形，故此结论错误；
③任意一个三角形一定有一个外接圆并且只有一个外接圆，此结论正确；
④三角形的内心到三角形各边的距离相等，此结论错误；
⑤经过不在同一条直线上的三点确定一个圆，此结论错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了确定圆的条件以及三角形内外心的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题关键．
　
9．平面内一点P离⊙O上的点最近距离为5cm，离⊙O上的点最远距离为13cm，则⊙O的半径为（　　）
A．4cm B．4或9cm C．8cm D．8或18cm
【分析】本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点P在⊙O内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点P在⊙O外时，直径=最远点的距离﹣最近点的距离．
【解答】解：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：
①如图1，当点P在圆内时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为13cm，则直径是5+13=18cm，因而半径是9cm；
②如图2，当点P在圆外时，最近点的距离为5cm，最远点的距离为13cm，则直径是13﹣5=8cm，因而半径是4cm．
故选：B．

【点评】本题考查了点与圆的位置关系，在解答此题时注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
　
10．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，E是AC的中点，过E作EF⊥AB于D，交⊙O于F，交AC于M，则下列结论：①AM=ME；②DE=AC；③DM=EM；④OD=BC，其中正确结论的序号是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【分析】连接AE、OE，OE交AC于N，由垂径定理得出，，DE=DF=EF，AN=CN=AC，得出，因此∠MEA=∠MAE，，得出AM=ME，①正确，AC=EF，得出DE=AC，②正确；证出ON是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出ON=BC，得出OD=BC，④正确；即可得出结果．
【解答】解：连接AE、OE，OE交AC于N，如图所示：
∵E是AC的中点，EF⊥AB于D，
∴，，DE=DF=EF，AN=CN=AC，
∴，
∴∠MEA=∠MAE，，
∴AM=ME，①正确，AC=EF，
∴DE=AC，②正确，OD=ON，
∵OA=OB，
∴ON是△ABC的中位线，
∴ON=BC，
∴OD=BC，④正确；
由题意不能得出DM=EM；
正确的是①②④；故选：D．

【点评】本题考查了三角形的外接圆、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．
　
二．填空题（共6小题）
11．若⊙O的半径为6cm，OA、OB的长分别为5cm、6cm，则点A、B与⊙O的位置是：点A在⊙O　圆内　，点B在⊙O　圆上　．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：∵⊙O的半径是6cm，点A、B与圆心O的距离分别为5cm、6cm，
∴点A在圆内，点B在圆上．
故答案为圆内，圆上
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
　
12．设OA=m，⊙O的半径r=n，且|m﹣1|+=0，则点A在圆　内　．
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d．
则d＞r时，点在圆外；
当d=r时，点在圆上；
当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：根据非负性的性质，显然绝对值与根号里都应等于0，
从而由得m=1，n=3，所以m＜r，即圆心到点A的距离小于半径，
所以点A在⊙O的内部．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
　
13．如果从⊙O内一点P到⊙O上所有点的距离中，最大距离是6，最小距离是2，那么⊙O的半径长是　4　．
【分析】根据点P在圆内，则最大距离与最小距离的和等于圆的直径，进而得出答案．
【解答】解：根据点P在圆内时，圆的直径是6+2=8，所以半径是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据已知得出圆的直径长是解题关键．
　
14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为　（2，0）　．

【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，

可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0）．
故答案为：（2，0）
【点评】能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．
　
15．在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，则△ABC外接圆的半径为　　．
【分析】欲求△ABC外接圆的半径，应把△ABC中BC边当弦，过O作OD⊥BC，则可由已知条件及勾股定理求解．
【解答】解：过O作OD⊥BC，由垂径定理得，
BD=BC=12cm，
在Rt△OBD中，OD=6cm，BD=12cm，
∴OB==cm，
即△ABC外接圆的半径为cm．

【点评】此题主要考查三角形外接圆半径的求法．
　
16．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=20，AH=16，⊙O的半径为15，则AB=　24　．

【分析】作直径AD，连接BD，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，∠D=∠C，证明△ABD∽△AHC，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD=∠AHC，
有圆周角定理得，∠D=∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴=，即=，
解得，AB=24，
故答案为：24．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心的概念和性质，掌握圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解题的关键．
　
三．解答题（共7小题）
17．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90゜，AB=10，BC=8，CD⊥AB于D，O为AB的中点．
（1）以C为圆心，6为半径作圆C，试判断点A、D、B与⊙C的位置关系；
（2）⊙C的半径为多少时，点D在⊙C上？

【分析】（1）求出AC长，根据三角形面积求出CD，根据点和圆的位置关系判断即可；
（2）根据点和圆的位置关系得出半径=CD=4.8，即可得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB=90゜，AB=10，BC=8，
由勾股定理得：AC=6，
由三角形面积公式得：AC•BC=AB•CD，
∵AB=10，AC=6，BC=8，
∴CD=4.8，
（1）∵AC=6，
∴点A在圆上，
∵BC=8＞6，
∴B在圆外，
∵CD=4.8＜6，
∴点D在圆内．

（2）∵CD=4.8，
∴⊙C的半径为4.8时，点D在⊙C上．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形面积，点和圆的位置关系的应用，注意：⊙O的半径是r，点P到O的距离是d，当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，当d＞r时，点在圆外
　
18．如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，求外接圆的半径．

【分析】设O为△ABC外接圆的圆心，连接AO，且延长AO交BC于D，连接OB、OC，求出AD⊥BC，BD=DC，根据勾股定理求出AD，设等腰△ABC外接圆的半径，在Rt△OBD中，由勾股定理得出OB2=OD2+BD2，代入求出即可．
【解答】解：设O为△ABC外接圆的圆心，连接AO，且延长AO交BC于D，连接OB、OC，
∵AB=AC，O为△ABC外接圆的圆心，
∴AD⊥BC，BD=DC，
BD=DC=BC=5，
设等腰△ABC外接圆的半径为R，
则OA=OB=OC=R，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=12，
在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，
即R2=（12﹣R）2+52，
R=．
答：等腰△ABC外接圆的半径为．

【点评】本题考查了三角形的外接圆、勾股定理、等腰三角形的性质、方程的应用，掌握外心的性质、根据勾股定理列出方程是解题的关键．
　
19．已知⊙O的半径为2cm，点A到圆心O的距离OA=acm，且关于x的方程2x2﹣2x+a﹣1=0没有实数根，请判断点A和⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】关于x的方程2x2﹣2x+a﹣1=0没有实数根，就是已知判别式的值小于0，这样就得到关于a的不等式，就可以求出a的范围；从而可以比较与半径的大小关系，就可以确定点A与圆的位置关系．
【解答】解：点A在⊙O的外部．
理由：因为没有实数根，所以根的判别式△=（﹣2）2﹣4×2（a﹣1）＜0，
整理得a＞2，即点A到圆心O的距离大于⊙O的半径，所以点A在⊙O的外部．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=R时，点在圆上；当d＞R时，点在圆外；当d＜R时，点在圆内．
　
20．如图，矩形ABCD中，对角线AC=10，BC=5，以点B为圆心，r为半径作圆⊙B；以点D为圆心，R为半径作⊙D．若r和R的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙B和⊙D相切，且使A点在⊙B内部，C在⊙B外部，求r和R的变化范围．

【分析】先利用勾股定理计算出AB=5，再根据点与圆的位置关系得到5＜r＜5，由于⊙B和⊙D相切，则分类讨论：当⊙B和⊙D外切时，R+r=10，则r=10﹣R；
当⊙B和⊙D内切时，R﹣r=10，则r=R﹣10，然后根据r的范围确定对应的R的范围．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=10，BC=5，
∴AB==5，
∵A点在⊙B内部，C在⊙B外部，
∴5＜r＜5，
当⊙B和⊙D外切时，R+r=10，则r=10﹣R，
∴5＜10﹣R＜5，
∴10﹣5＜R＜5；
当⊙B和⊙D内切时，R﹣r=10，则r=R﹣10，
∴5＜R﹣10＜5，
∴15＜R＜10+5．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r点P在圆内⇔d＜r．也考查了两圆相切的性质．
　
21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R．

【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；

（2）连接AO，OB，
∵BC=16cm，
∴BD=8cm，
∵AB=10cm，
∴AD=6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R﹣6）cm，
∴R2=82+（R﹣6）2，
解得：R=cm，
∴圆片的半径R为cm．
【点评】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．
　
22．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，弦AF与BC相交于点D，若BE=CF，求证：AF⊥BC．

【分析】直接利用圆周角定理得出∠BAE=∠FAC，进而得出∠FAC+∠ACB=90°，求出答案即可．
【解答】证明：∵BE=CF，
∴=，
∴∠BAE=∠FAC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠E=90°，
∵∠E=∠ACB，
∴∠FAC+∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AF⊥BC．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，正确得出∠BAE=∠FAC是解题关键．
　
23．如图，以BC为直径作Rt△ABC的外接圆，圆心为点P，在△ABC的同侧又作正方形BCEF，BE、CF交于点为O，连接AO．
（1）求证：点O在⊙P上且∠BAO=135°；
（2）如果AB=2，AO=4，求BO及AC的长．

【分析】（1）连接OP．根据正方形的性质、直角三角形的性质和圆周角定理的推论进行求解；
（2）过O作OK⊥BA延长线于K．根据等腰直角三角形的性质和勾股定理进行计算．
【解答】（1）证明：连接OP．
∵四边形BCEF是正方形，
∴BE⊥CF，OB=OC．
∵P是BC的中点，
∴OP=BC．
∵BC是圆的直径，
∴点O在圆上．
∴∠BAO=90°+45°=135°．

（2）解：过O作OK⊥BA延长线于K．
∵AO=4，
∴∠BAO=135°，
∴∠OAK=45°，
∴AK=OK=4．
根据勾股定理，得
BO=2，
∴AC=10．


【点评】此题综合运用了正方形的性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理．
课堂测试
1．若⊙O的半径为5，OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．点P在⊙O上或⊙O外
【分析】点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．
【解答】解：∵OP=5=5，故点P与⊙O的位置关系是点在圆上．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．
　
2．下列说法正确的个数是（　　）
①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③在同圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④直径为圆中最长的弦．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据垂径定理的推论对①进行判断；根据确定圆的条件对②进行判断；根据圆周角定理对③行判断，根据直径对④判断．
【解答】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①错误；不共线的三点确定一个圆，所以②错误；在圆中，任何一条弦都对应着两条弧，而这两条弧一般是不相等的，只有弦是直径时，所对的两条弧才相等，故③错误；直径为圆中最长的弦，故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
　
3．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是（　　）

A． B． C．2 D．
【分析】根据题意得出△ABC的外接圆的圆心位置，进而利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径．
【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，
故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．
故选：A．

【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，得出外接圆圆心位置是解题关键．
　
二．填空题（共2小题）
4．若△ABC的三边长分别为8，15，17，则△ABC的外接圆半径为　　．
【分析】根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，斜边长为17，根据圆周角定理的推论得到直角三角形的斜边为外接圆的直径，由此易得△ABC的外接圆半径．
【解答】解：∵82+152+=172，
∴△ABC为直角三角形，斜边长为17，
而直角三角形的斜边为外接圆的直径，
∴△ABC的外接圆半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了勾股定理的逆定理和圆周角定理．
　
5．直角坐标系中，圆心O的坐标是（2，0），⊙O的半径是4，则点P（﹣2，1）与⊙O的位置关系是　点P在⊙O外　．
【分析】根据两点间的距离公式计算出OP，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
【解答】解：∵圆心O的坐标是（2，0），点P（﹣2，1），
∴OP==，
而＞4，
∴OP＞4，
∴点P在⊙O外．
故答案为点P在⊙O外．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．