初中24.2.2 直线和圆的位置关系优秀课时作业

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24.2.1 点和圆的位置关系（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·广东珠海·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（    ）

A．（－2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（0，－1）
【答案】A
【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．
【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：A

【点睛】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．
2．（2022·河北沧州·九年级期末）△ABC的外接圆圆心是该三角形（　　）的交点．
A．三条边垂直平分线 B．三条中线
C．三条角平分线 D．三条高
【答案】A
【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．
【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.
3．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（    ）
A．0＜r＜3 B．2＜r＜8 C．3＜r＜5 D．r＞5
【答案】C
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【详解】解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，
∴OA小于r，OB大于r，
∵OA＝3，OB＝5，
∴3＜r＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
4．（2022·黑龙江黑河·九年级期末）已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是1，则这个点在（    ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能
【答案】A
【分析】根据点与圆的位置关系，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点到圆心的距离1＜圆的半径3，
∴这个点在圆内．
故选：A
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内是解题的关键．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙是的外接圆，则点是的（    ）

A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，即可求解.
【详解】∵⊙O是三角形的外接圆，
∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点.
故选：B.
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握外心的定义是解答本题的关键.
6．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题正确的是（    ）
A．两点之间，直线最短
B．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行且相等
【答案】C
【分析】利用线段的性质，多边形的外角和定理，确定一个圆的条件，平移的性质等知识进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A．两点之间，线段最短，故选项错误，不符合题意；
B．多边形的外角和是360°，故选项错误，不符合题意；
C．不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故选项正确，符合题意；
D．一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应线段平行或者在同一条直线上，并且相等，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】命题是表示判断的语句，判断正确的命题是真命题，判断错误的命题是假命题，熟练掌握所学知识是进行正确判断的基础．
7．（2022·全国·九年级课时练习）如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．
【详解】解：如图，

以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），
以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），
以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），
以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），
以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），
以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），
共6组．
故选D．
【点睛】本题考查四点共圆的判断方法．解题的关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．
8．（2022·广东·丰顺县东海中学九年级开学考试）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞4，则a＞2”是假命题的反例是（　　）
A．a＝﹣3 B．a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝3
【答案】A
【分析】根据举反例可进行求解．
【详解】解：用来证明命题“若a2＞4，则a＞2”是假命题的反例可以是：a＝﹣3，
∵（﹣3）2＞4，但是a＝﹣3＜2，
∴A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查真假命题，熟练掌握利用举反例来说明命题的真假是解题的关键．
9．（2022·福建龙岩·二模）公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派的“万物皆数”观点是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，学派中的希帕索斯发现了无理数，引发了第一次数学危机． 欧几里得《原本》中对是无理数的证明如下：
假设是有理数，那么（是互质的正整数），所以，故是偶数，从而是偶数．设，则，即，从而也是偶数，这与 “是互质的正整数”矛盾，于是“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．
这种证明“是无理数”的方法是（  ）
A．反证法 B．综合法 C．举反例法 D．列举法
【答案】A
【分析】先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，这种方法叫反证法．
【详解】根据题意，假设是有理数，那么p是偶数
根据，可得q也是偶数
而p、q互质，所以假设不成立
假设是有理数推理出来的p、q之间的关系与已知条件矛盾
根据反证法的含义，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，故本题采用的是反证法．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法的概念理解，正确理解反证法的含义是解决问题的关键．
10．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）下列说法正确的是（    ）
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果的周长是周长的4倍，那么的面积是面积的8倍
D．已知的半径为8，A为平面内的一点，且，那么点A在上
【答案】D
【分析】根据圆的相关概念解答即可.
【详解】解：A.直径是圆中最长的弦，有无数条,故该选项不符合题意；
B.在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；
C.如果的周长是周长的4倍,那么的面积是面积的16倍,故该选项不符合题意；
D.已知的半径为8，A为平面内的一点，且OA=8，那么点A在上，故该选项符合题意.
故选：D .
【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的相关概念是解答本题的关键.

二、填空题
11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点是的外心，且，则________．

【答案】
【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵点为的外心，
∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键．
12．（2022·浙江·淳安县教育发展研究中心一模）如图，在每个小正方形边长都为1的5×5网格中，有四个点A，B，C，D，以其中任意三点为顶点的三角形的外接圆半径长是______．

【答案】
【分析】连接AB，BC，CD，AD，BD．根据勾股定理可求出AB，BC，CD，AD，BD的长度，根据勾股定理逆定理和圆周角定理的推论可以确定以A，B，C，D中任意三个点为顶点的三角形的外接圆是以BD为直径的圆，进而即可求出半径．
【详解】解：如下图所示，连接AB，BC，CD，AD，BD．

∵每个小正方形的边长都为1，
∴，，，，．
∵，，
∴，．
∴∠BAD=90°，∠BCD=90°．
∴点A和点C都在以BD为直径的圆上．
∴以A，B，C，D中任意三个点为顶点的三角形的外接圆是以BD为直径的圆．
∴半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求特殊三角形的外接圆的半径，勾股定理及其逆定理，圆周角定理的推论，综合应用这些知识点是解题关键．
13．（2022·浙江金华·九年级期末）已知点P在半径为r的内，．请写一个满足条件的r的值______．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】点与圆一共有三种位置关系，点在圆内时，0Pr；根据题意即可作答．
【详解】∵点P在半径为r的内，
∴OP ∵
∴r>4
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练地掌握点与圆的各种位置关系以及不同情况下点到圆心的距离与半径的关系是解题的关键．
14．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为_________．

【答案】5
【分析】根据圆的确定方法做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
【详解】如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，

以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为5．
【点睛】此题考查了确定圆的方法，三角形的外接圆，解题的关键是根据题意确定三角形ABC外接圆的圆心．
15．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过点作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．

【答案】（2，0）
【分析】连接AC，作AC的垂直平分线，交坐标轴于D，D即为圆心，根据图形即可得出点的坐标．
【详解】解：如图所示：D（2，0），
故答案为：（2，0）．

【点睛】本题主要考查垂径定理、坐标与图形性质，关键是根据题意确定出圆心D的位置．
16．（2022·北京西城·二模）用一个a的值说明命题“若，则”是错误的，这个值可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可．
【详解】解：当a=时，a2=，，而＜2，
∴命题“若a>0，则a2>”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
17．（2022·河北·二模）用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有两个角小于90°”时，应先假设__________．
【答案】三角形三个内角中最多有一个角小于90°
【分析】由反证法的基本步骤知应先提出与结论相反的假设．
【详解】解：用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有两个角小于90°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角中最多有一个角小于90°．
故答案为：三角形三个内角中最多有一个角小于90°．
【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．
18．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，∆ 外接圆的圆心坐标为________．

【答案】（5，2）
【分析】画出三角形两边的垂直平分线的交点即可确定三角形的外心．
【详解】解：如图：画出BC和AB的垂直平分线，相交于点Q，点Q即为所求．

由图可知∶Q（5，2）
故答案为：（5，2）．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心．利用三角形两边的垂直平分线的交点确定△ABC外接圆的圆心是解题的关键．
19．（2022·浙江·九年级单元测试）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定__个不同的圆．
【答案】5
【分析】根据不在同一条直线上的三点可以确定一个圆分析得出．
【详解】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆．
故答案为5．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟记不在同一条直线上的三点可以确定一个圆．

三、解答题
20．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C，半径为r．
（1）当r取什么值时，点A在⊙C外？
（2）当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．

【答案】（1）r<3时，点A在⊙C外；（2）3 【分析】（1）根据点A在圆外，则点A到圆心C的距离大于半径r，从而可得r的取值；
（2）根据点A在圆内，则点A到圆心C的距离小于半径r，根据点B在圆外，则点B到圆心C的距离大于半径r，两者结合起来即可得到r的取值范围．
【详解】（1）点A在⊙C外，则AC>r，即r<3
即当r<3时，点A在在⊙C外；
（2）点A在⊙C内，则AC3；点B在⊙C外，则BC>r，即r<4，
综合起来，当3 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的大小关系即可确定点与圆的位置关系，掌握它是解答本题的关键．
21．（2022·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习）已知：在中，，．

(1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
(2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）分别作线段和线段的中垂线，中垂线的交点即为的外心O，以O为圆心，为半径画出的外接圆即可；
（2）如图，连接，利用垂径定理求出半径，即可求出的面积．
（1）
解：如图即为所求．
①分别以点，点为圆心，大于的长为半径，画弧，作出线段的中垂线；
②同理作出线段的中垂线；
③两条中垂线的交点O为圆心，为半径画圆，即为所求．

（2）
解：如图，连接，由题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴圆的面积为：．

【点睛】本题考查画三角形的外接圆，以及垂径定理求半径．熟练掌握外心的定义和等腰三角形的判定与性质，以及垂径定理是解题的关键．
22．（2022·江苏·连云港市新海实验中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，

(1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A（画图），则B、C、D与圆的位置关系是什么？
(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是______．
【答案】(1)作图见解析，点B在圆上，点C和点D在圆外
(2)6
【分析】（1）根据题意画出图形， 结合图形即可判断点与圆的位置关系．
（2）根据勾股定理计算出对角线AC的长度，则半径的取值范围为AB （1）

由图可知：点B在圆上，点C和点D在圆外．
（2）
连接AC，在Rt△ABC中，AC=，
∴6 故答案为：6
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，则点D与以AB为直径的⊙O的位置关系是（    ）

A．圆上 B．圆内 C．圆外 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据题意可知，的中点为点，连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得为的半径，由此即可得．
【详解】解：如图，由题意可知，的中点为点，连接，

是等边三角形，
，
是的中点，为的中点，
，
，
即为的半径，
点在上，
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理、点与圆的位置关系，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
2．（2022·山东滨州·九年级期末）已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为(   )
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】C
【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．
【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，

得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
即能画的圆的个数是2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键．
3．（2022·湖南长沙·模拟预测）下列命题为真命题的是（       ）
A．同旁内角互补
B．三角形的外心是三条内角平分线的交点
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．若甲、乙两组数据中，，，则乙组数据较稳定
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差一一判断即可．
【详解】解：A、两平行线被第三直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
B、三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，原命题是假命题，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；
D、若甲、乙两组数据的平均数都是3，S甲2=0.8，S乙2=1.4，则甲组数据较稳定，原命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据平行线的性质和判定，三角形的外心性质，方差解答．
4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，已知，用尺规按照下面步骤操作：
作线段的垂直平分线；
作线段的垂直平分线，交于点；
以为圆心，长为半径作．
结论：点是的外心；结论：
则对于结论和结论Ⅱ，下列判断正确的是（  ）

A．和Ⅱ都对
B．和Ⅱ都不对
C．不对，对
D．对，Ⅱ不对
【答案】D
【分析】根据三角形外心的定义对结论 Ⅰ 进行判断；利用点 D、 G有任意性可对结论 Ⅱ 进行判断．
【详解】解：点是和的垂直平分线的交点，
点是的外心，故结论Ⅰ正确；
点，的位置不确定，
和的长度不确定，故结论Ⅱ不正确．
故选：．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心，熟练掌握尺规作图和三角形外心的性质是解题的关键．
5．（2022·江苏·九年级专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )．
A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆
【答案】C
【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可．
【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．
故选C．
【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键．
6．（2022·全国·九年级课时练习）已知锐角，如图，
（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接；
（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，；
（3）连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的（    ）

A． B．若．则
C． D．
【答案】D
【分析】连接、，根据作法可得，即可得到，则可判断A选项；若，可得，推出即可求出的度数，则可判断B选项；根据得到即可判断C选项；根据即可判断D选项．
【详解】解：连接、，如图所示

∵以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，分别以点，为圆心，长为半径作弧，交弧于点，
∴
∴
∴A选项说法正确，不符合题意
若
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴B选项说法正确，不符合题意
∵
∴
∴
∴C选项说法正确，不符合题意
∵
∴
∴D选项说法错误，符合题意
故选D．
【点睛】本题考查了作图、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、弧、弦和圆心角的关系等知识点，解决此题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的性质将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

二、填空题
7．（2022·全国·九年级单元测试）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是______．
【答案】2.5
【分析】画出图形，根据点在圆外时，点到圆周上点的最大距离最小距离转化为点到圆心的距离表示即可得到结论．
【详解】解：如图所示：

当点M在圆外时，外点到圆上各点的距离中，最大值可表示为半径，最小值可表示为半径，
点到圆上的最小距离MB＝1，最大距离MA＝6，
∴2半径＝6﹣1＝5，
∴半径r＝2.5，
故答案为：2.5．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据题意画出图形是解决本题的关键．
8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．

【答案】1
【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接、，

，
，
，即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键．
9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．

【答案】△ADC、△BDC、△ABD
【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．
【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：，
则外接圆半径，
图中D点到O点距离为：，
图中E点到O点距离为：，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．
【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．
10．（2022·河南·郑州外国语中学一模）用反证法证明“若，则”是真命题时，第一步应该先假设__________．
【答案】若|a|＜1，则a2≥1
【分析】直接利用反证法的步骤，即可得出答案．
【详解】用反证法证明“若|a|＜1，则a2＜1”是真命题时，第一步应先假设：若|a|＜1，则a2≥1．
故答案为：若|a|＜1，则a2≥1．
【点睛】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

三、解答题
11．（2022·江苏·沭阳县潼阳中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．设经过A、B、C三点的圆弧所在的圆的圆心为点M，

(1)点M的坐标为　 　；
(2)点D（5，﹣2）在⊙M （填“内”、“外”、“上”）．
【答案】(1)（2，0）
(2)内

【分析】（1）由网络可得出线段AB和BC的垂直平分线的交点，这个交点即为圆心M，进而可得点M的坐标；
（2）利用勾股定理求出AM和MD的长，根据点与圆的位置关系即可作出结论．
（1）
解：如图，作线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点为圆心M，则点M坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）；

（2）
解：由图知， 圆的半径，，
∵，
∴点D在圆M内，
故答案为：内．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系以及坐标与图形性质，解答的关键是利用网格结构得出圆心M的位置，并熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外．
12．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围．

【答案】0＜r＜5
【分析】先根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求得AB、AD，再根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵5＜6＜8，
∴AD＜AB＜AC，
∵A为圆心，r为半径，点B，D，C均在外，
∴0＜r＜5．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外．
13．（2022·浙江·温州外国语学校一模）如图，在平面直角坐标系中，点

(1)利用网格确定的外接圆的圆心坐标为______；
(2)作出的外接圆；
(3)利用直尺作出的角平分线．
【答案】(1)(0,-1)
(2)图见解析
(3)图见解析

【分析】（1）利用网格特点作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为P点，则P点为△ABC的外接圆的圆心，然后写出P点坐标；
（2）以点P为圆心，PA长为半径作⊙P即可；
（3）找到⊙P与y轴的交点D，用直线作射线CD即可．
（1）
解：利用网格特点作AB和AC的垂直平分线，它们的交点为P点，

∵A(-1,1)，
∴P(0,-1)
∴△ABC的外接圆的圆心坐标为(0,-1)；
故答案为(0,-1)；
（2）
解：作AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点为P，连结PB，以点P为圆心，PB为半径作圆，
如图，⊙P为所作△ABC的外接圆；

（3）
解：如图，CD为所作．

由（1）可知，点P在y轴上，⊙P与y轴的交点D，
∴OP⊥AB，
∴，
∴∠ACD=∠BCD，
∴CD是∠ACB的平分线．
【点睛】本题考查利用网格作线段垂直平分线，画角平分线，点的作标，三角形外接圆，垂径定理，圆周角定理，利用三角形外心的定义找三角形外接圆的圆心是解题的关键．
14．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，点是的边上一点，，，相交于点．

(1)求证：；
(2)若．
①当时，求的度数；
②当的外心在其内部时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；②

【分析】（1）先证明∠D=∠B，∠DAE=∠BAC，再结合AD=AB即可得证；
（2）①先根据全等三角形性质及等腰三角形性质求出∠EAC、∠B的度数，再等量代换即可；
②根据锐角三角形外心的性质求解即可．
（1）
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）
解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②．
∵的外心在其内部，
∴为锐角三角形，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形外心的定义等知识点．灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．
15．（2022·江苏·九年级）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；
（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．

【答案】（1）见解析；（2）10π
【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；
（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：（1）如图所示，点O即为所求；
（2）连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
∴外接圆⊙O的面积为：π×（）2＝10π．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的关键．
16．（2022·浙江温州·一模）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．请按要求画格点线段EF（端点在格点上），且EF分别交线段AB，AC于点G，H．

(1)在图1中作出∠AHG＝∠C．
(2)在图2中作出∠AGH＝∠C．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）将BC向上平移，使点B，点C 均在格点上即可；
（2）作 交AB于G，交AC于H，可得线段EF，此时
(1)
如图，线段EF，∠AHG即为所作，

(2)
如图，线段EF，即为所作，

【点睛】本题主要考查了作图----应用与设计作图，熟练掌握平移是解答本题的关键．
17．（2022·福建·九年级专题练习）如图，点C是射线上的动点，四边形是矩形，对角线交于点O，的平分线交边于点P，交射线于点F，点E在线段上（不与点P重合），连接，若．

(1)证明：
(2)点Q在线段上，连接、、，当时，是否存在的情形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)不存在的情形，理由见解析

【分析】（1）根据矩形的性质可得∠DAF=∠CFA，从而得到∠CAF=∠CFA，进而AC=CF，再由OB=OC，可得∠OBC=∠OCB，然后根据，可得∠ACF=2∠ECF，即可求证；
（2）先假设DQ=PC，可先证得点A、C、E、D四点共圆，从而得到∠DAE=∠DCE，∠CAE=∠CDE，再由AF平分∠CAD，可得DE=CE，进而得到点E在CD的垂直平分线上，再由，可得∠AQC=∠CPQ，从而得到CP=CQ，CQ=DQ，进而得到点Q在CD的垂直平分线上，得到AF∥BC，AF交射线于点F相矛盾，即可求解．
（1）
证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，OB=OC，
∴∠DAF=∠CFA，
∵AF平分∠CAD，
∴∠DAF=∠CAF，
∴∠CAF=∠CFA，
∴AC=CF，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵，
∴2∠ECF+∠OCB=180°，
∵∠OCB+∠ACF=180°，
∴∠ACF=2∠ECF，
∴∠ACE=∠FCE，
∴AE=EF；
（2）
解：不存在PC=DQ，理由如下：
假设DQ=PC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
由（1）得：AC=CF，AE=EF，
∴CE⊥AF，即∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴点A、C、E、D四点共圆，
∴∠DAE=∠DCE，∠CAE=∠CDE，
∵AF平分∠CAD，
∴∠CAE=∠DAE=∠DCE=∠EDC，
∴DE=CE，
∴点E在CD的垂直平分线上，
∵，∠CPQ=∠EDC+∠DEA，
∴∠AQC=∠CPQ，
∴CP=CQ，
∵CP=DQ，
∴CQ=DQ，
∴点Q在CD的垂直平分线上，
∴EQ⊥CD，即AF⊥CD，
∵BC⊥CD，
∴AF∥BC，AF交射线于点F相矛盾，
∴假设不成立，原结论成立，
即当时，不存在的情形．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，四点共圆问题，反证法，线段垂直平分线的判定，熟练掌握相关知识点，利用四点共圆解决问题是解题的关键．
18．（2022·全国·九年级期末）对于平面内⊙C和⊙C外一点P，若过点P的直线l与⊙C有两个不同的公共点M，N，点Q为直线l上的另一点，且满足（如图1所示），则称点Q是点P关于⊙O的密切点．已知在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为2，点P（4，0）．

(1)在点D（﹣2，1），E（1，0），F（3，）中，是点P关于⊙O的密切点的为 　 　．
(2)设直线l方程为y＝kx＋b，如图2所示，
①k＝时，求出点P关于O的密切点Q的坐标；
②⊙T的圆心为T（t，0），半径为2，若⊙T上存在点P关于⊙O的密切点，直接写出t的取值范围．
【答案】(1)E
(2)①Q（1，1）；②﹣1≤t＜0或2＜t≤3

【分析】（1）用假设法通过特殊位置判断；
（1）①待定系数法求得直线l的解析式，作轴交A，轴交于B，由直线与圆的交点M和点N求出一元二次方程，求得点M和点N的横坐标，根据题目条件信息化简计算即可；
②作出点P关于⊙T的密切点的运动轨迹，根据图象即可得出取值范围．
(1)
当圆心在坐标原点时，直线l为y＝0时，
∵⊙O的半径为2，点P（4，0），
∴M（2，0），N（﹣2，0），PM＝2，PN＝6，＝，
∵，
∴，
设Q点坐标为（x，y），则QM＝|2﹣x|，QN＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|，
∴，
∴|2+x|＝3|2﹣x|，
∴2+x＝6﹣3x，或2+x＝3x﹣6，
∴x＝1或x＝4，
∴E（1，0）是点P关于⊙O的密切点．
故答案为：E．
(2)
①依题意直线l：y＝kx+b过定点P（4，0），
∵k＝，
∴将P（4，0）代入y＝x+b得：0＝×4+b，
∴b＝，
∴y＝x+．
如图，作MA⊥x轴于点A，NB垂直x轴于点B，

设M（x， x+），由OM＝2得：，
∴5x2﹣4x﹣10＝0，
则M，N两点的横坐标，是方程5x2﹣4x﹣10＝0的两根，
解得，，
∴AB＝，PA＝，PB＝，
∵，
∴，
∴，
∴HA＝，
∴OH＝OA﹣HA＝，
∴Q（1，1）．
②点P关于⊙O的密切点的轨迹为切点弦ST（不含端点），如图所示：

∴﹣1≤t＜0或2＜t≤3．
【点睛】本题考查属于圆的综合问题，解题的关键在于读懂题目信息，根据及其数形结合思想来求解．
19．（2022·福建·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A，D的坐标分别是，其中．
(1)若点B在x轴的上方，
①，求的长；
②，且．证明：四边形是菱形；
(2)抛物线经过点B，C．对于任意的，当a，m的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为（与不重合），则命题“对所有的a，b，当时，一定不存在的情形．”是否正确？请说明理由．

【答案】(1)①4；②
(2)命题正确，证明见解析

【分析】（1）①根据平行四边形中AD=BC计算即可；
②根据距离公式证明AD=AB即可说明四边形是菱形；
（2）由BC=AD求出B的横坐标，再在解析式中求出B坐标，即可求出AB的解析式，同时根据顶点坐标特征求出的解析式，再利用反证法证明即可．
(1)
①∵平行四边形
∴
∵A，D的坐标分别是，其中
∴
∵
∴
②∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵平行四边形
∴四边形是菱形
(2)
命题正确，理由如下：
抛物线的对称轴为
∴顶点坐标为
∴顶点在定直线上移动
即的解析式为，

∵抛物线经过点B，C．且对称轴为，
∴B点横坐标为
∴B点坐标为：
设直线AB的解析式为
则
假设对所有的a，b，当时，存在的情形，
∴对所有的a，b，当时，
∴
去分母整理得：

∵
∴，此时
∴
∵
∴互相矛盾，假设不成立
∴对所有的a，b，当时，一定不存在的情形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、反证法、二次函数的性质．解题的关键是利用平行四边形对边相等找关系，最后一问计算量比较大，需要特别注意．