人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系一等奖教学作业ppt课件

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24.2.2 直线与圆的位置关系(第二课时)
人教版数学九年级上册
学习目标1）理解和掌握切线的性质与判定定理。2）通过合作探究体会切线的判定和性质的联系。3）利用切线的性质与判定定理进行计算。重点理解和掌握切线的性质与判定定理。难点利用切线的性质与判定定理进行计算。
0
r
d
0
r
d
0
r
d
相切
相交
相离
1
2
0
d=r
d>r
d切点
切线
割线
如图，⊙O的半径为r,在⊙O上任意取一点A，连接OA，(1)过点A作直线l⊥OA（保留作图痕迹）(2)直线l与⊙O有______个交点(3)圆心O到直线l的距离d与r的关系是______(4)直线l和⊙O的位置关系是______
d=r
相切
O
A
D
l
1
切线的判定定理：
∵OA⊥l于点A,OA是半径，∴直线l是⊙O的切线．
符号语言：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
【提问】要使直线l是圆的切线需要满足哪些条件？
①经过半径的外端；②垂直于这条半径．
判断下列各直线是不是圆的切线？若不是，请说明原因？
1)不是，因为没有垂直.
2)不是，因为没有经过半径的外端点A.
判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
在雨中旋转雨伞，观察雨滴路径
使用切割机切割金属时，观察光束
生活中圆与直线相切的实例
已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：连接OC, ∵OA=OB，CA＝CB, ∴OC⊥AB于点C. ∵直线AB经过⊙O上的点C, ∴OC是半径 ∴直线AB是⊙O的切线.
【切线判定定理解题思路一】已知公共点，连半径，证垂直。
【变式】已知OA=OB=5，AB=8，⊙O的直径为6． 求证：直线AB是⊙O的切线．
证明：过点O作OC⊥AB于C, ∵OA=OB=5，AB=8, ∴AC=BC=4. 在Rt△AOC中,根据勾股定理可得：OC=3 ∵⊙O的直径为6 ∴OC是⊙O的半径 ∴直线AB是⊙O的切线.
【切线判定定理解题思路二】未知公共点，作垂线，证半径。
例1 判断下列命题是否正确⑴ 经过半径外端的直线是圆的切线. （ ）⑵ 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）⑶ 过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线. （ ）⑷ 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）⑸ 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. （ ）
×
×
√
√
√
变式1-1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D。 求证：AC是⊙O的切线。
D
变式1-2 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
连接AC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
变式1-3 1）如图1，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：① _________ ；② _____________ .2）如图2，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线.
BA⊥EF
∠CAE=∠B
证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径.∴ ∠D+ ∠DAC=90 °,∵ ∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角 ,∴ ∠D= ∠B,又∵ ∠CAE= ∠B, ∴ ∠D= ∠CAE,∴ ∠DAC+ ∠EAC=90°,∴EF是☉O的切线.
D
【猜想】在⊙O中直线l是⊙O的切线，切点为A，那么直线l与半径OA是不是一定垂直？
已知：OA是⊙O半径,直线l是⊙O的切线，求证：OA⊥直线l.
证明：(1)假设OA不垂直于直线l，过点O作OP⊥直线l于点P;(2)因为点到直线的距离垂线段最短，所以OP˂OA,即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，因此l与⊙O相交，这与已知条件“直线l是⊙O的切线”相矛盾；(3)所以假设不成立,OA⊥直线l．
P
切线的性质定理：
∵直线l是⊙O的切线，∴OA⊥l．
符号语言：
圆的切线垂直于过切点的半径．
例2 以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．
【详解】解：如图所示，∵AB是直径，AC是切线，∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角三角形．
变式2-1 如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（　　）A．65° B．55° C．45° D．35°
详解】解：∵AB为⊙O切线，∴∠OAB=90°，∵∠B=35°，∴∠AOB=90°-∠B=55°．故选：B．
变式2-2 如图，CB是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A点，PA=4cm，PB=2cm，则⊙O的半径为________ cm．
【解析】设圆的半径是x，则PO=x+2，根据题意得：PA² + AO² = PO² ，∵PA=4cm，PB=2cm，∴4² + x² = （x+2）² ，解得：x=3.∴O的半径为3cm.
3
【解析】因为OA=OB,所以∠A=∠ABO=20°,所以∠BOC=2∠A=40°,又因为BC是⊙O切线，所以∠CBO=90°,所以∠C=50°,故选B．
变式2-3 如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线与过点B的⊙O的切线交于点C，如果∠ABO＝20°，则∠C的度数是（ ）A．70° B．50° C．45° D．20°
切线的判定方法
定义法
数量关系法
判定定理
1个公共点，则相切
d=r，则相切
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质
证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.
有1个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直.