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2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷（word版 含答案），共22页。试卷主要包含了解析题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10题，每题4分，满分40分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1.5 C．﹣1 D．2
2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
3．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠4+∠5 B．∠2＝∠3+∠5 C．∠1＝∠2 D．∠2＜∠5
4．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝64°，则∠OCB的度数是（ ）
A．24° B．26° C．28° D．30°
5．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
6．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
7．已知一次函数y＝kx+4的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标不会是（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣1，6） C．（﹣2，6） D．（1，3）
8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
9．如果x2+nx+2k＝（x﹣1）2，那么kn是（ ）
A．﹣ B． C．4 D．﹣4
10．将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（本大题共8题，每题4分，满分32分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
11．已知f（x）＝，那么f（5）的值是 ．
12．计算：＝ ．
13．分解因式：xy2﹣x＝ ．
14．为了解某市六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有120名学生会游泳，那么估计该市会游泳的六年级学生人数约为 ．
15．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α2+α﹣αβ的值是 ．
16．小李从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小李从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小李从家出发去学校步行16分钟时，到学校还需步行 米．
17．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ．
18．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
三、解析题（本大题共8个小题，满分78分）
19．（6分）计算：（）﹣2﹣2sin45°+|﹣|﹣（2021﹣π）0．
20．（8分）先化简，再求值（）÷，其中m＝+1．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
22．（10分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：
（1）直接写出a的值，a＝ ，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B的圆心角度数．
（3）如果全校有2700名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？
23．（10分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈
24．（10分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．
25．（13分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
26．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每题4分，满分40分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1.5 C．﹣1 D．2
【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜﹣1.5＜﹣1＜2，
∴比﹣2小的数是﹣3，
故选：A．
2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝a6÷a3＝a3．
故选：C．
3．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠4+∠5 B．∠2＝∠3+∠5 C．∠1＝∠2 D．∠2＜∠5
【分析】根据对顶角的性质，三角形的外角性质判断即可．
【解答】解：A．∵∠1是△OBC的外角，∴∠1＝∠4+∠5，故本选项不符合题意；
B．∵∠2是△AOD的外角，∴∠2＝∠3+∠A，故本选项不符合题意；
C．∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，正确．
D．∵∠2是△OBC的外角，∴∠2＞∠5，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝64°，则∠OCB的度数是（ ）
A．24° B．26° C．28° D．30°
【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC＝128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCB的度数．
【解答】解：∵∠A与∠BOC都对，
∴∠BOC＝2∠A＝2×64°＝128°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝（180°﹣128°）＝26°．
故选：B．
5．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3、1﹣n＝2，
解得：m＝2、n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
故选：D．
6．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：蚂蚁也可以沿A﹣B﹣C的路线爬行，AB+BC＝9，
把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝3π，
所以AC＝＝＝3＜9，
故选：A．
7．已知一次函数y＝kx+4的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标不会是（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣1，6） C．（﹣2，6） D．（1，3）
【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k的值，结合y随x的增大而减小即可求解．
【解答】解：A、当点A的坐标为（﹣2，﹣5）时，﹣2k+4＝﹣5，
解得k＝4.5＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A符合题意；
B、当点A的坐标为（﹣1，6）时，﹣k+4＝6，
解得k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意；
C、当点A的坐标为（﹣2，6）时，﹣2k+4＝6，
解得k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为（1，3）时，k+4＝3，
解得k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，选项D不符合题意，
故选：A．
8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
∴x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
9．如果x2+nx+2k＝（x﹣1）2，那么kn是（ ）
A．﹣ B． C．4 D．﹣4
【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简，再根据多项式相等的条件求出n与k的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵x2+nx+2k＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，
∴n＝﹣2，2k＝1，
解得：k＝，
则kn＝（）﹣2＝4．
故选：C．
10．将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知5：10＝x：5，
解得x＝2.5，
即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5．
再根据相似的性质可知2：5＝x：2.5，
解得：x＝1，
所以梯形的下底就是3﹣1＝2，
所以阴影梯形的高是（2+0.5）×3÷2＝3.75＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共8题，每题4分，满分32分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
11．已知f（x）＝，那么f（5）的值是 ．
【分析】把x＝5代入函数关系式求解即可．
【解答】解：当x＝5时，
f（5）＝＝，
故答案为：．
12．计算：＝ ﹣2 ．
【分析】先求出的值，再化简即可．
【解答】解：原式＝3﹣5
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．分解因式：xy2﹣x＝ x（y﹣1）（y+1） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣x，
＝x（y2﹣1），
＝x（y﹣1）（y+1）．
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
14．为了解某市六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有120名学生会游泳，那么估计该市会游泳的六年级学生人数约为 2520 ．
【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．
【解答】解：8400×＝2520（人），
答：估计该市会游泳的六年级学生人数约为2520人．
故答案为：2520．
15．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α2+α﹣αβ的值是 4 ．
【分析】由题意得α2+α﹣2＝0，αβ＝﹣2，再代入所要求的代数式，即可得出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α2+α﹣2＝0、αβ＝﹣2，
∴α2+α﹣αβ＝2﹣（﹣2）＝4，
故答案为4．
16．小李从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小李从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小李从家出发去学校步行16分钟时，到学校还需步行 280 米．
【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝16时s的值，从而得出答案．
【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
，
解得，
∴s＝70t+400；
当t＝16时，s＝1520，
1800﹣1520＝280（米），
∴当小明从家出发去学校步行16分钟时，到学校还需步行280米，
故答案为：280．
17．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
18．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6或4.32或4.8 ．
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC＝5、S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，S△ABC＝AB•BC＝6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝3.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，
作△ABC的高BD，则BD＝＝＝2.4，
∴AD＝DP＝＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.32；
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S等腰△BCP＝S△ABC＝×6＝4.8．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
三、解析题（本大题共8个小题，满分78分）
19．（6分）计算：（）﹣2﹣2sin45°+|﹣|﹣（2021﹣π）0．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4﹣2×+﹣1
＝4﹣+﹣1
＝3．
20．（8分）先化简，再求值（）÷，其中m＝+1．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将m的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝，
当m＝+1时，
原式＝
＝
＝1．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D＝∠CBD，求出BC＝CD＝4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE＝2CE，即可得出答案．
【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵BC＝4，
∴CD＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝2CE，
∵AC＝6＝AE+CE，
∴AE＝4．
22．（10分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：
（1）直接写出a的值，a＝ 30 ，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B的圆心角度数．
（3）如果全校有2700名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？
【分析】（1）先根据E等级人数及其占总人数的比例可得总人数，再用D等级人数除以总人数可得a的值，用总人数减去其他各等级人数求得C等级人数可补全图形；
（2）用360°乘以B等级人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以样本中E等级人数所占比例．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为10÷＝50（人），
∴D等级人数所占百分比a%＝×100%＝30%，即a＝30，
C等级人数为50﹣（5+7+15+10）＝13人，
补全图形如下：
故答案为：30；
（2）扇形B的圆心角度数为360°×＝50.4°；
（3）估计获得优秀奖的学生有2700×＝540（人）．
23．（10分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈
【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM＝x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．
【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON＝MC，OM＝NC，
设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，
在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，
∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，
在Rt△BOM中，BM＝＝x，
由题意得，840﹣x+x＝500，
解得，x＝480，
答：点O到BC的距离为480m．
24．（10分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．
【分析】（1）连接OE，BE，因为DE＝EF，所以＝，从而易证∠OEB＝∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；
（2）设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，从而可求出r的值．
【解答】解：（1）证明：连接OE，BE，
∵DE＝EF，
∴＝，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C＝90°；
（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，
∴AB＝5，
设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，
在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，
∴r＝，
∴AF＝5﹣2×＝．
25．（13分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝＝，y2＝＝，然后根据y1﹣y2＝4列出方程﹣＝4，解方程即可求出m的值；
（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE＝8，求出PE＝4m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1＝＝，y2＝＝，
∵y1﹣y2＝4，
∴﹣＝4，
∴m＝1，
经检验，m＝1是原方程的解．
故m的值是1；
（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，），BD＝﹣＝．
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE＝8，
∴••PE＝8，
∴PE＝4m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．
26．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c＝2，再代入（﹣，0）即可找出2a﹣b+2＝0（a≠0）；
（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b＝0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；
②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由O、M、N三点共线可得出x2＝﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2．
又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，
∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．
（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b＝0．
∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，
又∵OB＝OC＝OA＝2，
∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．
∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，
∴3a+2＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．
直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且＝，
∴﹣x1+＝﹣x2+，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（0，4）．
设直线PM的解析式为y＝k2x+4，
∵点M的坐标为（x1，﹣+2），
∴﹣+2＝k2x1+4，
∴k2＝﹣，
∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．
∵﹣•+4＝＝﹣+2，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
2021年湖南省株洲市渌口区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10题，每题4分，满分40分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1.5 C．﹣1 D．2
2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
3．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠4+∠5 B．∠2＝∠3+∠5 C．∠1＝∠2 D．∠2＜∠5
4．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝64°，则∠OCB的度数是（ ）
A．24° B．26° C．28° D．30°
5．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
6．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
7．已知一次函数y＝kx+4的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标不会是（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣1，6） C．（﹣2，6） D．（1，3）
8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
9．如果x2+nx+2k＝（x﹣1）2，那么kn是（ ）
A．﹣ B． C．4 D．﹣4
10．将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题（本大题共8题，每题4分，满分32分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
11．已知f（x）＝，那么f（5）的值是 ．
12．计算：＝ ．
13．分解因式：xy2﹣x＝ ．
14．为了解某市六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有120名学生会游泳，那么估计该市会游泳的六年级学生人数约为 ．
15．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α2+α﹣αβ的值是 ．
16．小李从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小李从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小李从家出发去学校步行16分钟时，到学校还需步行 米．
17．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ．
18．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ．
三、解析题（本大题共8个小题，满分78分）
19．（6分）计算：（）﹣2﹣2sin45°+|﹣|﹣（2021﹣π）0．
20．（8分）先化简，再求值（）÷，其中m＝+1．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
22．（10分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：
（1）直接写出a的值，a＝ ，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B的圆心角度数．
（3）如果全校有2700名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？
23．（10分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈
24．（10分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．
25．（13分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
26．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10题，每题4分，满分40分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣1.5 C．﹣1 D．2
【分析】正数大于0，负数小于0，正数大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜﹣1.5＜﹣1＜2，
∴比﹣2小的数是﹣3，
故选：A．
2．计算（﹣a）6÷a3的结果是（ ）
A．﹣a3 B．﹣a2 C．a3 D．a2
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝a6÷a3＝a3．
故选：C．
3．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠4+∠5 B．∠2＝∠3+∠5 C．∠1＝∠2 D．∠2＜∠5
【分析】根据对顶角的性质，三角形的外角性质判断即可．
【解答】解：A．∵∠1是△OBC的外角，∴∠1＝∠4+∠5，故本选项不符合题意；
B．∵∠2是△AOD的外角，∴∠2＝∠3+∠A，故本选项不符合题意；
C．∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，正确．
D．∵∠2是△OBC的外角，∴∠2＞∠5，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝64°，则∠OCB的度数是（ ）
A．24° B．26° C．28° D．30°
【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC＝128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCB的度数．
【解答】解：∵∠A与∠BOC都对，
∴∠BOC＝2∠A＝2×64°＝128°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OCB＝（180°﹣128°）＝26°．
故选：B．
5．若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．1
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，
∴1+m＝3、1﹣n＝2，
解得：m＝2、n＝﹣1，
所以m+n＝2﹣1＝1，
故选：D．
6．如图所示，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝6，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）
A．3 B．6 C．3 D．6
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【解答】解：蚂蚁也可以沿A﹣B﹣C的路线爬行，AB+BC＝9，
把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD为底面半圆弧长，AD＝3π，
所以AC＝＝＝3＜9，
故选：A．
7．已知一次函数y＝kx+4的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标不会是（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣1，6） C．（﹣2，6） D．（1，3）
【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k的值，结合y随x的增大而减小即可求解．
【解答】解：A、当点A的坐标为（﹣2，﹣5）时，﹣2k+4＝﹣5，
解得k＝4.5＞0，
∴y随x的增大而增大，选项A符合题意；
B、当点A的坐标为（﹣1，6）时，﹣k+4＝6，
解得k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，选项B不符合题意；
C、当点A的坐标为（﹣2，6）时，﹣2k+4＝6，
解得k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，选项C不符合题意；
D、当点A的坐标为（1，3）时，k+4＝3，
解得k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，选项D不符合题意，
故选：A．
8．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
∴x的取值范围是：x≥2．
故选：B．
9．如果x2+nx+2k＝（x﹣1）2，那么kn是（ ）
A．﹣ B． C．4 D．﹣4
【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简，再根据多项式相等的条件求出n与k的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：∵x2+nx+2k＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，
∴n＝﹣2，2k＝1，
解得：k＝，
则kn＝（）﹣2＝4．
故选：C．
10．将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知5：10＝x：5，
解得x＝2.5，
即阴影梯形的上底就是3﹣2.5＝0.5．
再根据相似的性质可知2：5＝x：2.5，
解得：x＝1，
所以梯形的下底就是3﹣1＝2，
所以阴影梯形的高是（2+0.5）×3÷2＝3.75＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共8题，每题4分，满分32分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
11．已知f（x）＝，那么f（5）的值是 ．
【分析】把x＝5代入函数关系式求解即可．
【解答】解：当x＝5时，
f（5）＝＝，
故答案为：．
12．计算：＝ ﹣2 ．
【分析】先求出的值，再化简即可．
【解答】解：原式＝3﹣5
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．分解因式：xy2﹣x＝ x（y﹣1）（y+1） ．
【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣x，
＝x（y2﹣1），
＝x（y﹣1）（y+1）．
故答案为：x（y﹣1）（y+1）．
14．为了解某市六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有120名学生会游泳，那么估计该市会游泳的六年级学生人数约为 2520 ．
【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．
【解答】解：8400×＝2520（人），
答：估计该市会游泳的六年级学生人数约为2520人．
故答案为：2520．
15．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α2+α﹣αβ的值是 4 ．
【分析】由题意得α2+α﹣2＝0，αβ＝﹣2，再代入所要求的代数式，即可得出答案．
【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
∴α2+α﹣2＝0、αβ＝﹣2，
∴α2+α﹣αβ＝2﹣（﹣2）＝4，
故答案为4．
16．小李从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小李从家步行到学校所走的路程s（米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小李从家出发去学校步行16分钟时，到学校还需步行 280 米．
【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝16时s的值，从而得出答案．
【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，
将（8，960）、（20，1800）代入，得：
，
解得，
∴s＝70t+400；
当t＝16时，s＝1520，
1800﹣1520＝280（米），
∴当小明从家出发去学校步行16分钟时，到学校还需步行280米，
故答案为：280．
17．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝，则CD＝ ﹣1 ．
【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABC中，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，
∵两个同样大小的含45°角的三角尺，
∴AD＝BC＝2，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝
∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
18．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3.6或4.32或4.8 ．
【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC＝5、S△ABC＝6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝＝5，S△ABC＝AB•BC＝6．
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝3.6；
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，
作△ABC的高BD，则BD＝＝＝2.4，
∴AD＝DP＝＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴S等腰△ABP＝S△ABC＝×6＝4.32；
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S等腰△BCP＝S△ABC＝×6＝4.8．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
三、解析题（本大题共8个小题，满分78分）
19．（6分）计算：（）﹣2﹣2sin45°+|﹣|﹣（2021﹣π）0．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4﹣2×+﹣1
＝4﹣+﹣1
＝3．
20．（8分）先化简，再求值（）÷，其中m＝+1．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将m的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝，
当m＝+1时，
原式＝
＝
＝1．
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D＝∠CBD，求出BC＝CD＝4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE＝2CE，即可得出答案．
【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵BC＝4，
∴CD＝4，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝2CE，
∵AC＝6＝AE+CE，
∴AE＝4．
22．（10分）为响应党的“文化自信”号召，某校开展了古诗词诵读大赛活动，现随机抽取部分同学的成绩进行统计，并绘制成两个不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列各题：
（1）直接写出a的值，a＝ 30 ，并把频数分布直方图补充完整．
（2）求扇形B的圆心角度数．
（3）如果全校有2700名学生参加这次活动，90分以上（含90分）为优秀，那么估计获得优秀奖的学生有多少人？
【分析】（1）先根据E等级人数及其占总人数的比例可得总人数，再用D等级人数除以总人数可得a的值，用总人数减去其他各等级人数求得C等级人数可补全图形；
（2）用360°乘以B等级人数所占比例可得；
（3）用总人数乘以样本中E等级人数所占比例．
【解答】解：（1）∵被调查的总人数为10÷＝50（人），
∴D等级人数所占百分比a%＝×100%＝30%，即a＝30，
C等级人数为50﹣（5+7+15+10）＝13人，
补全图形如下：
故答案为：30；
（2）扇形B的圆心角度数为360°×＝50.4°；
（3）估计获得优秀奖的学生有2700×＝540（人）．
23．（10分）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．
参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈
【分析】作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，设OM＝x，根据矩形的性质用x表示出OM、MC，根据正切的定义用x表示出BM，根据题意列式计算即可．
【解答】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，
则四边形ONCM为矩形，
∴ON＝MC，OM＝NC，
设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，
在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，
∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，
在Rt△BOM中，BM＝＝x，
由题意得，840﹣x+x＝500，
解得，x＝480，
答：点O到BC的距离为480m．
24．（10分）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC、AB分别相交于点D、F，且DE＝EF．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）当BC＝3，sinA＝时，求AF的长．
【分析】（1）连接OE，BE，因为DE＝EF，所以＝，从而易证∠OEB＝∠DBE，所以OE∥BC，从可证明BC⊥AC；
（2）设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，从而可求出r的值．
【解答】解：（1）证明：连接OE，BE，
∵DE＝EF，
∴＝，
∴∠OBE＝∠DBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠DBE，
∴OE∥BC，
∵⊙O与边AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴BC⊥AC，
∴∠C＝90°；
（2）在△ABC，∠C＝90°，BC＝3，sinA＝，
∴AB＝5，
设⊙O的半径为r，则AO＝5﹣r，
在Rt△AOE中，sinA＝＝＝，
∴r＝，
∴AF＝5﹣2×＝．
25．（13分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0．
（1）当y1﹣y2＝4时，求m的值；
（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．
【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝＝，y2＝＝，然后根据y1﹣y2＝4列出方程﹣＝4，解方程即可求出m的值；
（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE＝8，求出PE＝4m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），
∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），
∴y1＝＝，y2＝＝，
∵y1﹣y2＝4，
∴﹣＝4，
∴m＝1，
经检验，m＝1是原方程的解．
故m的值是1；
（2）设BD与x轴交于点E．
∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，
∴D（2m，），BD＝﹣＝．
∵三角形PBD的面积是8，
∴BD•PE＝8，
∴••PE＝8，
∴PE＝4m，
∵E（2m，0），点P在x轴上，
∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）．
26．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2）．
（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；
（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．
①求抛物线的解析式；
②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．
【分析】（1）由抛物线经过点A可求出c＝2，再代入（﹣，0）即可找出2a﹣b+2＝0（a≠0）；
（2）①根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为y轴、开口向下，进而可得出b＝0，由抛物线的对称性可得出△ABC为等腰三角形，结合其有一个60°的内角可得出△ABC为等边三角形，设线段BC与y轴交于点D，根据等边三角形的性质可得出点C的坐标，再利用待定系数法可求出a值，此题得解；
②由①的结论可得出点M的坐标为（x1，﹣+2）、点N的坐标为（x2，﹣+2），由O、M、N三点共线可得出x2＝﹣，进而可得出点N及点N′的坐标，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点N′在直线PM上，进而即可证出PA平分∠MPN．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（0，2），
∴c＝2．
又∵点（﹣，0）也在该抛物线上，
∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，
∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．
（2）①∵当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大；
同理：当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴抛物线的对称轴为y轴，开口向下，
∴b＝0．
∵OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B、C，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵△ABC有一个内角为60°，
∴△ABC为等边三角形．
设线段BC与y轴交于点D，则BD＝CD，且∠OCD＝30°，
又∵OB＝OC＝OA＝2，
∴CD＝OC•cos30°＝，OD＝OC•sin30°＝1．
不妨设点C在y轴右侧，则点C的坐标为（，﹣1）．
∵点C在抛物线上，且c＝2，b＝0，
∴3a+2＝﹣1，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
②证明：由①可知，点M的坐标为（x1，﹣+2），点N的坐标为（x2，﹣+2）．
直线OM的解析式为y＝k1x（k1≠0）．
∵O、M、N三点共线，
∴x1≠0，x2≠0，且＝，
∴﹣x1+＝﹣x2+，
∴x1﹣x2＝﹣，
∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，
∴点N的坐标为（﹣，﹣+2）．
设点N关于y轴的对称点为点N′，则点N′的坐标为（，﹣+2）．
∵点P是点O关于点A的对称点，
∴OP＝2OA＝4，
∴点P的坐标为（0，4）．
设直线PM的解析式为y＝k2x+4，
∵点M的坐标为（x1，﹣+2），
∴﹣+2＝k2x1+4，
∴k2＝﹣，
∴直线PM的解析式为y＝﹣x+4．
∵﹣•+4＝＝﹣+2，
∴点N′在直线PM上，
∴PA平分∠MPN．
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