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2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了的相反数是，以下问题，不适合用全面调查的是，下列运算正确的是，sin60°的值等于等内容，欢迎下载使用。
1．的相反数是（ ）
A．﹣2017B．2017C．D．
2．当2＜a＜3时，代数式|a﹣3|+|2﹣a|的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
3．以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
4．如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．两个外切的圆B．两个内切的圆
C．两个内含的圆D．一个圆
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1
C．（ab）2＝a2b2D．a6÷a3＝a2
6．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．80°B．40°C．60°D．50°
7．把x3﹣16x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x2﹣16）B．x（x﹣4）2
C．x（x+4）2D．x（x+4）（x﹣4）
8．sin60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．
根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（ ）
A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺
B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺
C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺
D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺
10．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为 ．
12．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 米．
13．方程2x+3＝7的解是 ．
14．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为 cm2．
16．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是 ．
17．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 （填出一个即可）．
18．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的大小为 度．
三．解答题（本题共8小题，共78分）
19．（12分）（1）计算：20+﹣；
（2）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
20．（7分）解不等式组：．
21．（9分）列方程解应用题．
福州市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.9折销售；
②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1元．请问哪种方案更优惠？
22．（8分）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）
23．（10分）某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10名学生进行汉字听写测试，计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及格、达到9分或10分以上为优秀．这20位同学的成绩与统计数据如表：
（1）在表中，a＝ ，b＝ ；
（2）有人说二班的及格率、优秀率高于一班，所以二班的成绩比一班好，但也有人坚持认为一班成绩比二班好，请你给出支持一班成绩好的两条理由；
（3）若从这两班获满分的同学中随意抽1名同学参加“汉字听写大赛”，求参赛同学恰好是一班同学的概率．
24．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E
（1）求证：△AMN是等腰三角形；
（2）求BM•AN的最大值；
（3）当M为BC中点时，求ME的长．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．
（1）直接写出AE与BC的位置关系；
（2）求证：△BCG∽△ACE；
（3）若∠F＝60°，GF＝1，求⊙O的半径长．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，共40分）
1．的相反数是（ ）
A．﹣2017B．2017C．D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣的相反数为，
故选：D．
2．当2＜a＜3时，代数式|a﹣3|+|2﹣a|的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【分析】根据2＜a＜3判断出a﹣3＜0，2﹣a＜0，然后根据负数的绝对值等于它的相反数，化简即可．
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴a﹣3＜0，2﹣a＜0，
∴原式＝3﹣a+a﹣2＝1．
故选：B．
3．以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，数量不大，宜用全面调查，故A选项错误；
B、旅客上飞机前的安检，意义重大，宜用全面调查，故B选项错误；
C、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故C选项错误；
D、了解全市中小学生每天的零花钱，工作量大，且普查的意义不大，不适合全面调查，故D选项正确．
故选：D．
4．如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．两个外切的圆B．两个内切的圆
C．两个内含的圆D．一个圆
【分析】根据左视图是从左面看得到的视图，圆的位置关系解答即可．
【解答】解：从左面看，为两个内切的圆，切点在水平面上，
所以，该几何体的左视图是两个内切的圆．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1
C．（ab）2＝a2b2D．a6÷a3＝a2
【分析】根据二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则判断．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A选项错误；
B、2（a+1）＝2a+2≠2a+1，故B选项错误；
C、（ab）2＝a2b2，故C选项正确；
D、a6÷a3＝a3≠a2，故D选项错误．
故选：C．
6．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．80°B．40°C．60°D．50°
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠FCM，由角平分线的定义可求解∠FCM的度数，进而可求解．
【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCM，
∵CF平分∠ACM，∠ACF＝50°，
∴∠FCM＝∠ACF＝50°，
∴∠B＝50°，
故选：D．
7．把x3﹣16x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x2﹣16）B．x（x﹣4）2
C．x（x+4）2D．x（x+4）（x﹣4）
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣16）＝x（x+4）（x﹣4），
故选：D．
8．sin60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【解答】解：sin60°＝．
故选：C．
9．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．
根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（ ）
A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺
B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺
C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺
D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺
【分析】根据题意先画出图形，可得出AE＝400，AB＝CD＝300，再得出DE＝100，即可得出邮局出发走到小杰家的路径为：向北直走AB+AE＝700，再向西直走DE＝100公尺．
【解答】解：依题意，OA＝OC＝400＝AE，AB＝CD＝300，
DE＝400﹣300＝100，所以邮局出发走到小杰家的路径为，
向北直走AB+AE＝700，再向西直走DE＝100公尺．
故选：A．
10．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为 4 ．
【分析】根据同类项的概念可得方程：a＝1，b＝3，再代入a+b即可求解．
【解答】解：∵﹣x3ya与xby是同类项，
∴a＝1，b＝3，
∴a+b＝1+3＝4．
故答案为：4．
12．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 30 米．
【分析】根据三角形的中位线定理得出AB＝2DE，再代入求出答案即可．
【解答】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝AB，
即AB＝2DE，
∵DE＝15米，
∴AB＝30（米），
故答案为：30．
13．方程2x+3＝7的解是 x＝2 ．
【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：移项得：2x＝7﹣3，
合并同类项得：2x＝4，
化系数为1得：x＝2．
故答案为：x＝2．
14．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
15．如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为 4﹣π cm2．
【分析】根据题意可知图中阴影部分的面积＝边长为2的正方形面积﹣一个圆的面积．
【解答】解：∵半径为1cm的四个圆两两相切，
∴四边形是边长为2cm的正方形，圆的面积为πcm2，
阴影部分的面积＝2×2﹣π＝4﹣π（cm2），
故答案为：4﹣π．
16．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是 2 ．
【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．
【解答】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴滚动第2021次后与第1次相同，
∴朝下的数字是5的对面2，
故答案为：2．
17．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 AB＝CD（答案不唯一） （填出一个即可）．
【分析】添加条件是AB＝CD，根据AAS推出两三角形全等即可．
【解答】解：AB＝CD，
理由是：∵在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS），
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
18．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的大小为 150 度．
【分析】根据根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴∠AOC＝2∠B＝150°，
故答案为150．
三．解答题（本题共8小题，共78分）
19．（12分）（1）计算：20+﹣；
（2）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
【分析】（1）根据零指数幂、平方差公式、绝对值的性质计算即可；
（2）根据二次根式的减法法则、乘方法则分别求出x﹣y、xy，根据完全平方公式、提公因式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣1+2﹣1﹣2＝﹣1；
（2）∵x＝1﹣，y＝1+，
∴x﹣y＝（1﹣）﹣（1+）＝﹣2，xy＝（1﹣）（1+）＝1﹣2＝﹣1，
则原式＝x2+y2﹣2xy﹣2x+2y+xy
＝（x﹣y）2﹣2 （x﹣y）+xy
＝（x﹣y）（x﹣y﹣1）+xy
＝（﹣2）×（﹣2﹣1）﹣1
＝8+2﹣1
＝7+2．
20．（7分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣1＜x+1，得：x＜1，
解不等式2（2x﹣1）≤5x+1，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
21．（9分）列方程解应用题．
福州市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.9折销售；
②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1元．请问哪种方案更优惠？
【分析】（1）根据每次的均价等于上一次的价格乘以（1﹣x）（x为平均每次下调的百分率），可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率；
（2）根据两种优惠方案分别算出两种不同方案的优惠价格，比较其大小即可知哪种方案更优惠．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
依题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意舍去）
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）第①种方案：
8100×100×0.99+1×100×24＝801900+2400＝804300（元），
第②种方案：
8100×100＝810000（元），
∵804300＜810000，
∴第①种方案更优惠．
22．（8分）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）
【分析】作PC⊥AB于C，如图，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，设BC＝x，先判断△PBC为等腰直角三角形得到BC＝PC＝x，再在Rt△PAC中利用正切的定义得到8+x＝，解得x＝4（+1）≈10.92，即PC≈10.92，然后比较AC与10的大小即可判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险．
【解答】解：没有触礁的危险．理由如下：
作PC⊥AB于C，如图，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，
设BC＝x，
在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC＝PC＝x，
在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝，
∴AC＝，即8+x＝，解得x＝4（+1）≈10.92，
即PC≈10.92，
∵10.92＞10，
∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．
23．（10分）某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10名学生进行汉字听写测试，计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及格、达到9分或10分以上为优秀．这20位同学的成绩与统计数据如表：
（1）在表中，a＝ 8 ，b＝ 7.5 ；
（2）有人说二班的及格率、优秀率高于一班，所以二班的成绩比一班好，但也有人坚持认为一班成绩比二班好，请你给出支持一班成绩好的两条理由；
（3）若从这两班获满分的同学中随意抽1名同学参加“汉字听写大赛”，求参赛同学恰好是一班同学的概率．
【分析】1）分别用平均数的计算公式和众数的定义解答即可；
（2）由平均数和方差求解即可；
（3）由概率公式容易求出结果．
【解答】解：（1））∵数据8出现了4次，最多，
∴众数a＝8；
b＝＝7.5；
故答案为：8，7.5；
（2）如①一班的平均分比二班高，所以一班成绩比二班好；
②一班学生得分的方差比二班小，说明一班成绩比二班稳定；
（3）一共有5名满分同学，每人每抽到的可能性相同，其中一班满分的同学有2位，
∴参赛同学恰好是一班同学的概率为．
24．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E
（1）求证：△AMN是等腰三角形；
（2）求BM•AN的最大值；
（3）当M为BC中点时，求ME的长．
【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）作NH⊥AM于H，证明△NAH∽△AMB，根据相似三角形的性质得到AN•BM＝AM2，根据勾股定理计算即可；
（3）由（2）的结论，结合相似三角形的性质求出CE，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠NAM＝∠BMA，又∠AMN＝∠AMB，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；
（2）解：作NH⊥AM于H，
∵AN＝MN，NH⊥AM，
∴AH＝AM，
∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠AMN＝∠AMB，
∴△NAH∽△AMB，
∴＝，
∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，
在Rt△AMB中，AM2＝AB2+BM2＝9+BM2，
∵BM≤2，
∴9+BM2≤13，
∴AN•BM≤，
即当BM＝2时，BM•AN的最大值为；
（3）解：∵M为BC中点，
∴BM＝CM＝BC＝1，
由（2）得，AN•BM＝AM2，
∵AM2＝32+12＝10，
∴AN＝5，
∴DN＝5﹣2＝3，
设DE＝x，则CE＝3﹣x，
∵AN∥BC，
∴＝，即＝，
解得，x＝，即DE＝，
∴CE＝，
∴ME＝＝．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．
（1）直接写出AE与BC的位置关系；
（2）求证：△BCG∽△ACE；
（3）若∠F＝60°，GF＝1，求⊙O的半径长．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径即可得到AE与BC垂直．
（2）易证∠CBF＝∠BAE，再结合条件∠BAF＝2∠CBF就可证到∠CBF＝∠CAE，易证∠CGB＝∠AEC，从而证到△BCG∽△ACE．
（3）由∠F＝60°，GF＝1可求出CG＝；连接BD，容易证到∠DBC＝∠CBF，根据角平分线的性质可得DC＝CG＝；设圆O的半径为r，易证AC＝AB，∠BAD＝30°，从而得到AC＝2r，AD＝r，由DC＝AC﹣AD＝可求出⊙O的半径长．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．
∴AE⊥BC．
（2）如图1，
∵BF与⊙O相切，
∴∠ABF＝90°．
∴∠CBF＝90°﹣∠ABE＝∠BAE．
∵∠BAF＝2∠CBF．
∴∠BAF＝2∠BAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
∴∠CBF＝∠CAE．
∵CG⊥BF，AE⊥BC，
∴∠CGB＝∠AEC＝90°．
∵∠CBF＝∠CAE，∠CGB＝∠AEC，
∴△BCG∽△ACE．
（3）连接BD，如图2所示．
∵∠DAE＝∠DBE，∠DAE＝∠CBF，
∴∠DBE＝∠CBF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴BD⊥AF．
∵∠DBC＝∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，
∴CD＝CG．
∵∠F＝60°，GF＝1，∠CGF＝90°，
∴tan∠F＝＝CG＝tan60°＝
∵CG＝，
∴CD＝．
∵∠AFB＝60°，∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝30°．
∵∠ADB＝90°，∠BAF＝30°，
∴AB＝2BD．
∵∠BAE＝∠CAE，∠AEB＝∠AEC，
∴∠ABE＝∠ACE．
∴AB＝AC．
设⊙O的半径为r，则AC＝AB＝2r，BD＝r．
∵∠ADB＝90°，
∴AD＝r．
∴DC＝AC﹣AD＝2r﹣r＝（2﹣）r＝．
∴r＝2+3．
∴⊙O的半径长为2+3．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的解析式求出A、D、C三点的坐标即可；
（2）分M点在x轴上方和下方两种情况根据面积相等分别计算M点的坐标；
（3）分AP∥BC和AP∥AB两种情况分别求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，
∴当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得x＝，
∴A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），
∵当x＝0，y＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵y＝x2﹣x﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
∵AD在x轴上，点M在抛物线上，
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：
①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x＝对称，
∵C点坐标为（0，﹣3），
∴M点坐标为（1，﹣3）；
②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3，
当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，解得x1＝3，x2＝﹣2，
∴M点坐标为（3，3）或（﹣2，3），
综上所述，所求M点坐标为（1，﹣3）或（3，3）或（﹣2，3）；
（3）结论：存在，如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1，
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B（1，﹣3），
可知BC∥x轴，则P1与D点重合，
∴P1（，0），
∵P1A＝﹣＝，BC＝1﹣0＝1，
∴P1A≠BC，
∴四边形ABCP1为梯形；
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2，
∵A点坐标为（，0），B点坐标为（1，﹣3），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣，
∴可设直线CP2的解析式为y＝x+n，
将C点坐标（0，﹣3）代入，得n＝﹣3，
∴直线CP2的解析式为y＝x﹣3，
∵点P2在抛物线y＝x2﹣x﹣3上，
∴x2﹣x﹣3＝x﹣3，
化简得：x2﹣x＝0，
解得x1＝0（舍去），x2＝，
∴点P2横坐标为，代入直线CP2解析式求得纵坐标为4+，
∴P2（，4），
∵AB∥CP2，AB≠CP2，
∴四边形ABCP2为梯形，
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（，0）或（，4+）．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平均数
中位数
众数
方差
及格率
优秀率
一班
5
8
8
9
8
10
10
8
5
5
7.6
8
a
3.82
70%
30%
二班
10
6
6
9
10
4
5
7
10
8
b
7.5
10
4.94
80%
40%
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平均数
中位数
众数
方差
及格率
优秀率
一班
5
8
8
9
8
10
10
8
5
5
7.6
8
a
3.82
70%
30%
二班
10
6
6
9
10
4
5
7
10
8
b
7.5
10
4.94
80%
40%
1．的相反数是（ ）
A．﹣2017B．2017C．D．
2．当2＜a＜3时，代数式|a﹣3|+|2﹣a|的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
3．以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
4．如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．两个外切的圆B．两个内切的圆
C．两个内含的圆D．一个圆
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1
C．（ab）2＝a2b2D．a6÷a3＝a2
6．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．80°B．40°C．60°D．50°
7．把x3﹣16x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x2﹣16）B．x（x﹣4）2
C．x（x+4）2D．x（x+4）（x﹣4）
8．sin60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
9．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．
根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（ ）
A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺
B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺
C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺
D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺
10．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为 ．
12．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 米．
13．方程2x+3＝7的解是 ．
14．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
15．如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为 cm2．
16．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是 ．
17．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 （填出一个即可）．
18．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的大小为 度．
三．解答题（本题共8小题，共78分）
19．（12分）（1）计算：20+﹣；
（2）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
20．（7分）解不等式组：．
21．（9分）列方程解应用题．
福州市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.9折销售；
②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1元．请问哪种方案更优惠？
22．（8分）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）
23．（10分）某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10名学生进行汉字听写测试，计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及格、达到9分或10分以上为优秀．这20位同学的成绩与统计数据如表：
（1）在表中，a＝ ，b＝ ；
（2）有人说二班的及格率、优秀率高于一班，所以二班的成绩比一班好，但也有人坚持认为一班成绩比二班好，请你给出支持一班成绩好的两条理由；
（3）若从这两班获满分的同学中随意抽1名同学参加“汉字听写大赛”，求参赛同学恰好是一班同学的概率．
24．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E
（1）求证：△AMN是等腰三角形；
（2）求BM•AN的最大值；
（3）当M为BC中点时，求ME的长．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．
（1）直接写出AE与BC的位置关系；
（2）求证：△BCG∽△ACE；
（3）若∠F＝60°，GF＝1，求⊙O的半径长．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，共40分）
1．的相反数是（ ）
A．﹣2017B．2017C．D．
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣的相反数为，
故选：D．
2．当2＜a＜3时，代数式|a﹣3|+|2﹣a|的值是（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【分析】根据2＜a＜3判断出a﹣3＜0，2﹣a＜0，然后根据负数的绝对值等于它的相反数，化简即可．
【解答】解：∵2＜a＜3，
∴a﹣3＜0，2﹣a＜0，
∴原式＝3﹣a+a﹣2＝1．
故选：B．
3．以下问题，不适合用全面调查的是（ ）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．了解全市中小学生每天的零花钱
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，数量不大，宜用全面调查，故A选项错误；
B、旅客上飞机前的安检，意义重大，宜用全面调查，故B选项错误；
C、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故C选项错误；
D、了解全市中小学生每天的零花钱，工作量大，且普查的意义不大，不适合全面调查，故D选项正确．
故选：D．
4．如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A．两个外切的圆B．两个内切的圆
C．两个内含的圆D．一个圆
【分析】根据左视图是从左面看得到的视图，圆的位置关系解答即可．
【解答】解：从左面看，为两个内切的圆，切点在水平面上，
所以，该几何体的左视图是两个内切的圆．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．2（a+1）＝2a+1
C．（ab）2＝a2b2D．a6÷a3＝a2
【分析】根据二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则判断．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A选项错误；
B、2（a+1）＝2a+2≠2a+1，故B选项错误；
C、（ab）2＝a2b2，故C选项正确；
D、a6÷a3＝a3≠a2，故D选项错误．
故选：C．
6．如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．80°B．40°C．60°D．50°
【分析】根据平行线的性质可得∠B＝∠FCM，由角平分线的定义可求解∠FCM的度数，进而可求解．
【解答】解：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCM，
∵CF平分∠ACM，∠ACF＝50°，
∴∠FCM＝∠ACF＝50°，
∴∠B＝50°，
故选：D．
7．把x3﹣16x分解因式，结果正确的是（ ）
A．x（x2﹣16）B．x（x﹣4）2
C．x（x+4）2D．x（x+4）（x﹣4）
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣16）＝x（x+4）（x﹣4），
故选：D．
8．sin60°的值等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【解答】解：sin60°＝．
故选：C．
9．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．
根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（ ）
A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺
B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺
C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺
D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺
【分析】根据题意先画出图形，可得出AE＝400，AB＝CD＝300，再得出DE＝100，即可得出邮局出发走到小杰家的路径为：向北直走AB+AE＝700，再向西直走DE＝100公尺．
【解答】解：依题意，OA＝OC＝400＝AE，AB＝CD＝300，
DE＝400﹣300＝100，所以邮局出发走到小杰家的路径为，
向北直走AB+AE＝700，再向西直走DE＝100公尺．
故选：A．
10．下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．若﹣x3ya与xby是同类项，则a+b的值为 4 ．
【分析】根据同类项的概念可得方程：a＝1，b＝3，再代入a+b即可求解．
【解答】解：∵﹣x3ya与xby是同类项，
∴a＝1，b＝3，
∴a+b＝1+3＝4．
故答案为：4．
12．如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE＝15米，则AB＝ 30 米．
【分析】根据三角形的中位线定理得出AB＝2DE，再代入求出答案即可．
【解答】解：连接AB，
∵D、E分别是AC、BC的中点，
∴DE＝AB，
即AB＝2DE，
∵DE＝15米，
∴AB＝30（米），
故答案为：30．
13．方程2x+3＝7的解是 x＝2 ．
【分析】先移项，再合并同类项，最后化系数为1，从而得到方程的解．
【解答】解：移项得：2x＝7﹣3，
合并同类项得：2x＝4，
化系数为1得：x＝2．
故答案为：x＝2．
14．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
15．如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为 4﹣π cm2．
【分析】根据题意可知图中阴影部分的面积＝边长为2的正方形面积﹣一个圆的面积．
【解答】解：∵半径为1cm的四个圆两两相切，
∴四边形是边长为2cm的正方形，圆的面积为πcm2，
阴影部分的面积＝2×2﹣π＝4﹣π（cm2），
故答案为：4﹣π．
16．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是 2 ．
【分析】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答案．
【解答】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴滚动第2021次后与第1次相同，
∴朝下的数字是5的对面2，
故答案为：2．
17．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是 AB＝CD（答案不唯一） （填出一个即可）．
【分析】添加条件是AB＝CD，根据AAS推出两三角形全等即可．
【解答】解：AB＝CD，
理由是：∵在△AOB和△DOC中
∴△AOB≌△DOC（AAS），
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
18．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的大小为 150 度．
【分析】根据根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵＝，
∴∠AOC＝2∠B＝150°，
故答案为150．
三．解答题（本题共8小题，共78分）
19．（12分）（1）计算：20+﹣；
（2）已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．
【分析】（1）根据零指数幂、平方差公式、绝对值的性质计算即可；
（2）根据二次根式的减法法则、乘方法则分别求出x﹣y、xy，根据完全平方公式、提公因式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣1+2﹣1﹣2＝﹣1；
（2）∵x＝1﹣，y＝1+，
∴x﹣y＝（1﹣）﹣（1+）＝﹣2，xy＝（1﹣）（1+）＝1﹣2＝﹣1，
则原式＝x2+y2﹣2xy﹣2x+2y+xy
＝（x﹣y）2﹣2 （x﹣y）+xy
＝（x﹣y）（x﹣y﹣1）+xy
＝（﹣2）×（﹣2﹣1）﹣1
＝8+2﹣1
＝7+2．
20．（7分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣1＜x+1，得：x＜1，
解不等式2（2x﹣1）≤5x+1，得：x≥﹣3，
则不等式组的解集为：﹣3≤x＜1．
21．（9分）列方程解应用题．
福州市某楼盘准备以每平方米10000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米8100元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：
①打9.9折销售；
②不打折，送两年物业管理费．物业管理费是每平方米每月1元．请问哪种方案更优惠？
【分析】（1）根据每次的均价等于上一次的价格乘以（1﹣x）（x为平均每次下调的百分率），可列出一个一元二次方程，解此方程可得平均每次下调的百分率；
（2）根据两种优惠方案分别算出两种不同方案的优惠价格，比较其大小即可知哪种方案更优惠．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，
依题意得：10000（1﹣x）2＝8100，
解得：x1＝10%，x2＝190%（不合题意舍去）
答：平均每次下调的百分率为10%；
（2）第①种方案：
8100×100×0.99+1×100×24＝801900+2400＝804300（元），
第②种方案：
8100×100＝810000（元），
∵804300＜810000，
∴第①种方案更优惠．
22．（8分）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）
【分析】作PC⊥AB于C，如图，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，设BC＝x，先判断△PBC为等腰直角三角形得到BC＝PC＝x，再在Rt△PAC中利用正切的定义得到8+x＝，解得x＝4（+1）≈10.92，即PC≈10.92，然后比较AC与10的大小即可判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险．
【解答】解：没有触礁的危险．理由如下：
作PC⊥AB于C，如图，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，
设BC＝x，
在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴BC＝PC＝x，
在Rt△PAC中，∵tan∠PAC＝，
∴AC＝，即8+x＝，解得x＝4（+1）≈10.92，
即PC≈10.92，
∵10.92＞10，
∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．
23．（10分）某校为了选拔学生参加“汉字听写大赛”，对九年级一班、二班各10名学生进行汉字听写测试，计分采用10分制（得分均取整数），成绩达到6分或6分以上为及格、达到9分或10分以上为优秀．这20位同学的成绩与统计数据如表：
（1）在表中，a＝ 8 ，b＝ 7.5 ；
（2）有人说二班的及格率、优秀率高于一班，所以二班的成绩比一班好，但也有人坚持认为一班成绩比二班好，请你给出支持一班成绩好的两条理由；
（3）若从这两班获满分的同学中随意抽1名同学参加“汉字听写大赛”，求参赛同学恰好是一班同学的概率．
【分析】1）分别用平均数的计算公式和众数的定义解答即可；
（2）由平均数和方差求解即可；
（3）由概率公式容易求出结果．
【解答】解：（1））∵数据8出现了4次，最多，
∴众数a＝8；
b＝＝7.5；
故答案为：8，7.5；
（2）如①一班的平均分比二班高，所以一班成绩比二班好；
②一班学生得分的方差比二班小，说明一班成绩比二班稳定；
（3）一共有5名满分同学，每人每抽到的可能性相同，其中一班满分的同学有2位，
∴参赛同学恰好是一班同学的概率为．
24．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E
（1）求证：△AMN是等腰三角形；
（2）求BM•AN的最大值；
（3）当M为BC中点时，求ME的长．
【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）作NH⊥AM于H，证明△NAH∽△AMB，根据相似三角形的性质得到AN•BM＝AM2，根据勾股定理计算即可；
（3）由（2）的结论，结合相似三角形的性质求出CE，根据勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠NAM＝∠BMA，又∠AMN＝∠AMB，
∴∠AMN＝∠NAM，
∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；
（2）解：作NH⊥AM于H，
∵AN＝MN，NH⊥AM，
∴AH＝AM，
∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠AMN＝∠AMB，
∴△NAH∽△AMB，
∴＝，
∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，
在Rt△AMB中，AM2＝AB2+BM2＝9+BM2，
∵BM≤2，
∴9+BM2≤13，
∴AN•BM≤，
即当BM＝2时，BM•AN的最大值为；
（3）解：∵M为BC中点，
∴BM＝CM＝BC＝1，
由（2）得，AN•BM＝AM2，
∵AM2＝32+12＝10，
∴AN＝5，
∴DN＝5﹣2＝3，
设DE＝x，则CE＝3﹣x，
∵AN∥BC，
∴＝，即＝，
解得，x＝，即DE＝，
∴CE＝，
∴ME＝＝．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O于点E，且∠BAF＝2∠CBF，CG⊥BF于点G，连接AE．
（1）直接写出AE与BC的位置关系；
（2）求证：△BCG∽△ACE；
（3）若∠F＝60°，GF＝1，求⊙O的半径长．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径即可得到AE与BC垂直．
（2）易证∠CBF＝∠BAE，再结合条件∠BAF＝2∠CBF就可证到∠CBF＝∠CAE，易证∠CGB＝∠AEC，从而证到△BCG∽△ACE．
（3）由∠F＝60°，GF＝1可求出CG＝；连接BD，容易证到∠DBC＝∠CBF，根据角平分线的性质可得DC＝CG＝；设圆O的半径为r，易证AC＝AB，∠BAD＝30°，从而得到AC＝2r，AD＝r，由DC＝AC﹣AD＝可求出⊙O的半径长．
【解答】解：（1）如图1，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．
∴AE⊥BC．
（2）如图1，
∵BF与⊙O相切，
∴∠ABF＝90°．
∴∠CBF＝90°﹣∠ABE＝∠BAE．
∵∠BAF＝2∠CBF．
∴∠BAF＝2∠BAE．
∴∠BAE＝∠CAE．
∴∠CBF＝∠CAE．
∵CG⊥BF，AE⊥BC，
∴∠CGB＝∠AEC＝90°．
∵∠CBF＝∠CAE，∠CGB＝∠AEC，
∴△BCG∽△ACE．
（3）连接BD，如图2所示．
∵∠DAE＝∠DBE，∠DAE＝∠CBF，
∴∠DBE＝∠CBF．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴BD⊥AF．
∵∠DBC＝∠CBF，BD⊥AF，CG⊥BF，
∴CD＝CG．
∵∠F＝60°，GF＝1，∠CGF＝90°，
∴tan∠F＝＝CG＝tan60°＝
∵CG＝，
∴CD＝．
∵∠AFB＝60°，∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝30°．
∵∠ADB＝90°，∠BAF＝30°，
∴AB＝2BD．
∵∠BAE＝∠CAE，∠AEB＝∠AEC，
∴∠ABE＝∠ACE．
∴AB＝AC．
设⊙O的半径为r，则AC＝AB＝2r，BD＝r．
∵∠ADB＝90°，
∴AD＝r．
∴DC＝AC﹣AD＝2r﹣r＝（2﹣）r＝．
∴r＝2+3．
∴⊙O的半径长为2+3．
26．（12分）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．
（1）直接写出A、D、C三点的坐标；
（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；
（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线的解析式求出A、D、C三点的坐标即可；
（2）分M点在x轴上方和下方两种情况根据面积相等分别计算M点的坐标；
（3）分AP∥BC和AP∥AB两种情况分别求出P点坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，
∴当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得x＝，
∴A点坐标为（，0），D点坐标为（，0），
∵当x＝0，y＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵y＝x2﹣x﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
∵AD在x轴上，点M在抛物线上，
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：
①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x＝对称，
∵C点坐标为（0，﹣3），
∴M点坐标为（1，﹣3）；
②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3，
当y＝3时，x2﹣x﹣3＝3，解得x1＝3，x2＝﹣2，
∴M点坐标为（3，3）或（﹣2，3），
综上所述，所求M点坐标为（1，﹣3）或（3，3）或（﹣2，3）；
（3）结论：存在，如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：
①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1，
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B（1，﹣3），
可知BC∥x轴，则P1与D点重合，
∴P1（，0），
∵P1A＝﹣＝，BC＝1﹣0＝1，
∴P1A≠BC，
∴四边形ABCP1为梯形；
②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2，
∵A点坐标为（，0），B点坐标为（1，﹣3），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣，
∴可设直线CP2的解析式为y＝x+n，
将C点坐标（0，﹣3）代入，得n＝﹣3，
∴直线CP2的解析式为y＝x﹣3，
∵点P2在抛物线y＝x2﹣x﹣3上，
∴x2﹣x﹣3＝x﹣3，
化简得：x2﹣x＝0，
解得x1＝0（舍去），x2＝，
∴点P2横坐标为，代入直线CP2解析式求得纵坐标为4+，
∴P2（，4），
∵AB∥CP2，AB≠CP2，
∴四边形ABCP2为梯形，
综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（，0）或（，4+）．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
平均数
中位数
众数
方差
及格率
优秀率
一班
5
8
8
9
8
10
10
8
5
5
7.6
8
a
3.82
70%
30%
二班
10
6
6
9
10
4
5
7
10
8
b
7.5
10
4.94
80%
40%
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80%
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