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试卷 2020年湖南省永州市中考数学模拟试卷（二） 解析版
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这是一份试卷 2020年湖南省永州市中考数学模拟试卷（二） 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
2．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
4．下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．x+2y＝3xy
C．D．（﹣a3）2＝﹣a6
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．同位角相等
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．三角形内角和为180°
D．直角三角形斜边中线等于斜边的一半
7．已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．如图，直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx﹣k的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b＝0，则a＝0或b＝0
②a@（b+c）＝a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．党的十八大以来，永州市把脱贫攻坚作为重大政治任务和第一民生工程来抓．扎实推进精准扶贫、精准脱贫，脱贫攻坚取得了重大历史性成就．全市累计减贫61.2万人，把数据61.2万用科学记数法表示为 ．
12．分解因式：16﹣x2＝ ．
13．如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为 ．
14．已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为 ．
15．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．
16．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 ．
17．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（8分）计算：2cs45|+（）﹣2﹣（2020﹣π）0．
20．（8分）解不等式组：．
21．（8分）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
根据统计图表的信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的学生总人数及a、b的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1300名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
23．（10分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
24．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
25．（12分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
26．（12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）
2020年湖南省永州市中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把每小题的正确选项选出，填在下表中）
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
3．方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；
【解答】解：，
①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得：x＝2，
则方程组的解为；
故选：D．
4．下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，可得答案．
【解答】解：该圆柱体的主视图、俯视图均为矩形，左视图为圆，
故选：A．
5．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．x+2y＝3xy
C．D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝a2﹣2ab+b2，故A错误；
（B）原式＝x+2y，故B错误；
（D）原式＝a6，故D错误；
故选：C．
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．同位角相等
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．三角形内角和为180°
D．直角三角形斜边中线等于斜边的一半
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；
B、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项说法是真命题；
C、三角形内角和为180°，本选项说法是真命题；
D、直角三角形斜边中线等于斜边的一半，本选项说法是真命题；
故选：A．
7．已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：由题意得6+2+8+x+7＝6×5，
解得：x＝7，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，6，7，7，8，
则中位数为7．
故选：A．
8．如图，直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】先由＝得出＝，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵a∥b∥c，
∴＝＝．
故选：A．
9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx﹣k的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】首先根据x1＜x2＜0时，y1＞y2，确定反比例函数y＝（k≠0）中k的符号，然后再确定一次函数y＝kx﹣k的图象所在象限．
【解答】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，
∴不经过第二象限，
故选：B．
10．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b＝0，则a＝0或b＝0
②a@（b+c）＝a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
【分析】根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：①根据题意得：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，
整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝0，即4ab＝0，
解得：a＝0或b＝0，正确；
②∵a@（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac
a@b+a@c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac，
∴a@（b+c）＝a@b+a@c正确；
③a@b＝a2+5b2，a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
令a2+5b2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
解得，a＝0，b＝0，故错误；
④∵a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，
∴a2+b2+2ab≥4ab，
∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab＝4ab，
解得，a＝b，
∴a@b最大时，a＝b，故④正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．党的十八大以来，永州市把脱贫攻坚作为重大政治任务和第一民生工程来抓．扎实推进精准扶贫、精准脱贫，脱贫攻坚取得了重大历史性成就．全市累计减贫61.2万人，把数据61.2万用科学记数法表示为 6.12×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：61.2万＝612000＝6.12×105．
故答案为：6.12×105．
12．分解因式：16﹣x2＝ （4+x）（4﹣x） ．
【分析】16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：16﹣x2＝（4+x）（4﹣x）．
13．如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为 32° ．
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠2，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠ACB＝∠2，
∵AC⊥BA，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠ACB＝180°﹣∠1﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣58°＝32°，
故答案为：32°．
14．已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为 ﹣15 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（x+2y）（x﹣2y）
＝﹣3×5
＝﹣15
故答案为：﹣15
15．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．
【分析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，
∴P＝．
故答案为：．
16．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 πa ．
【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝a，再利用弧长公式求出的长＝的长＝的长＝＝，那么勒洛三角形的周长为×3＝πa．
【解答】解：如图．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝a，
∴的长＝的长＝的长＝＝，
∴勒洛三角形的周长为×3＝πa．
故答案为πa．
17．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为 （8，0） ．
【分析】根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案．
【解答】解：∵点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），
∴OP1＝1，OP2＝2，
∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3，
∴＝，即＝，
解得，OP3＝4，
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，
∴＝，即＝，
解得，OP4＝8，
则点P4的坐标为（8，0），
故答案为：（8，0）．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 2n+1﹣2 ．
【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
【解答】解：由题意得OA＝OA1＝2，
∴OB1＝OA1＝2，
B1B2＝B1A2＝4，B2A3＝B2B3＝8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2＝22﹣2，6＝23﹣2，14＝24﹣2，…
∴Bn的横坐标为2n+1﹣2．
故答案为 2n+1﹣2．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（8分）计算：2cs45|+（）﹣2﹣（2020﹣π）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣（）+4﹣1
＝﹣+1+4﹣1
＝4．
20．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式＜1，得x＜5；
解不等式2x+16＞14，得x＞﹣1，
在数轴上表示不等式组的解集为
故不等式组的解集为﹣1＜x＜5．
21．（8分）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
根据统计图表的信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的学生总人数及a、b的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1300名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数．
【分析】（1）用书法的人数除以其所占的百分比即可求出抽样调查的学生总人数，用文学鉴赏、音乐舞蹈的人数除以总人数即可求出a、b的值；
（2）用总人数乘以国际象棋的人数所占的百分比求出国际象棋的人数，再把条形统计图补充即可；
（3）用该校总人数乘以全校选择“音乐舞蹈”社团的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的学生总人数是：20÷10%＝200，
a＝×100%＝30%，
b＝×100%＝35%，
（2）国际象棋的人数是：200×20%＝40，
条形统计图补充如下：
（3）若该校共有1300名学生，则全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是1300×35%＝455（人），
答：全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是1300×35%＝455人．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD＝BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD＝AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD＝EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCB，
∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，
∴tan∠ABE＝＝3，
∵BF＝，
∴EF＝，
∴DE＝3，
∴S菱形AEBD＝•AB•DE＝•3＝15．
23．（10分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金＝前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，
根据题意得：1280（1+x）2＝1280+1600，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）．
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，
根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，
解得：a≥1900．
答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
24．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，结合半径OC＝5可得答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OCtan∠COB＝5．
25．（12分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ＝﹣2x2+6x+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为﹣时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为（﹣，），点Q的坐标为（，﹣）．
设直线PQ的表达式为y＝mx+n，
将P（﹣，）、Q（，﹣）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ的表达式为y＝﹣x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+）＝﹣x2+3x+，
∴S△DPQ＝S△DPE+S△DQE＝DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+6x+＝﹣2（x﹣）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y＝﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]＝﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，
∴S△DPQ＝DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t＝﹣2[x﹣（t+2）]2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
26．（12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）
【分析】（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE＝BC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，即可得到CD＝AD，即＝；
（2）①由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2＝BP2+BC2，进而得出AP＝BC，再根据PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而得到∠CPH＝90°；
②由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．
【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE＝∠BCD＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴＝cs45°＝，即CE＝BC，
由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，
∴CD＝AD，
∴＝；
（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝a，BE＝a，
∴AE＝（﹣1）a，
如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，
∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，
∴∠AEH＝45°＝∠AHE，
∴AH＝AE＝（﹣1）a，
设AP＝x，则BP＝a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，
∴AH2+AP2＝BP2+BC2，
即[（﹣1）a]2+x2＝（a﹣x）2+a2，
解得x＝a，即AP＝BC，
又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，
∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），
∴∠APH＝∠BCP，
又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠APH+∠BPC＝90°，
∴∠CPH＝90°；
②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，
故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；
折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，
由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，
又∵∠DCH＝∠ECH，
∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，
故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．
选择意向
文学鉴赏
国际象棋
音乐舞蹈
书法
其他
所占百分比
a
20%
b
10%
5%
选择意向
文学鉴赏
国际象棋
音乐舞蹈
书法
其他
所占百分比
a
20%
b
10%
5%
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
2．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
4．下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．x+2y＝3xy
C．D．（﹣a3）2＝﹣a6
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．同位角相等
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．三角形内角和为180°
D．直角三角形斜边中线等于斜边的一半
7．已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．如图，直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx﹣k的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b＝0，则a＝0或b＝0
②a@（b+c）＝a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．党的十八大以来，永州市把脱贫攻坚作为重大政治任务和第一民生工程来抓．扎实推进精准扶贫、精准脱贫，脱贫攻坚取得了重大历史性成就．全市累计减贫61.2万人，把数据61.2万用科学记数法表示为 ．
12．分解因式：16﹣x2＝ ．
13．如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为 ．
14．已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为 ．
15．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．
16．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 ．
17．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（8分）计算：2cs45|+（）﹣2﹣（2020﹣π）0．
20．（8分）解不等式组：．
21．（8分）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
根据统计图表的信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的学生总人数及a、b的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1300名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
23．（10分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
24．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
25．（12分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
26．（12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）
2020年湖南省永州市中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把每小题的正确选项选出，填在下表中）
1．﹣2的相反数是（ ）
A．2B．﹣2C．D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数．
【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
3．方程组的解为（ ）
A．B．C．D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可；
【解答】解：，
①×3﹣②得：5y＝﹣5，即y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得：x＝2，
则方程组的解为；
故选：D．
4．下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，可得答案．
【解答】解：该圆柱体的主视图、俯视图均为矩形，左视图为圆，
故选：A．
5．下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．x+2y＝3xy
C．D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】根据相关的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝a2﹣2ab+b2，故A错误；
（B）原式＝x+2y，故B错误；
（D）原式＝a6，故D错误；
故选：C．
6．下列命题是假命题的是（ ）
A．同位角相等
B．角平分线上的点到角两边的距离相等
C．三角形内角和为180°
D．直角三角形斜边中线等于斜边的一半
【分析】根据平行线的性质、角平分线的性质定理、三角形内角和定理、直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题；
B、角平分线上的点到角两边的距离相等，本选项说法是真命题；
C、三角形内角和为180°，本选项说法是真命题；
D、直角三角形斜边中线等于斜边的一半，本选项说法是真命题；
故选：A．
7．已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：由题意得6+2+8+x+7＝6×5，
解得：x＝7，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，6，7，7，8，
则中位数为7．
故选：A．
8．如图，直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】先由＝得出＝，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵a∥b∥c，
∴＝＝．
故选：A．
9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，那么一次函数y＝kx﹣k的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】首先根据x1＜x2＜0时，y1＞y2，确定反比例函数y＝（k≠0）中k的符号，然后再确定一次函数y＝kx﹣k的图象所在象限．
【解答】解：∵当x1＜x2＜0时，y1＞y2，
∴k＞0，
∴﹣k＜0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，
∴不经过第二象限，
故选：B．
10．设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b＝0，则a＝0或b＝0
②a@（b+c）＝a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b＝a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a＝b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
【分析】根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：①根据题意得：a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝0，
整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝0，即4ab＝0，
解得：a＝0或b＝0，正确；
②∵a@（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4ab+4ac
a@b+a@c＝（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac，
∴a@（b+c）＝a@b+a@c正确；
③a@b＝a2+5b2，a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
令a2+5b2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
解得，a＝0，b＝0，故错误；
④∵a@b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
（a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，
∴a2+b2+2ab≥4ab，
∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab＝4ab，
解得，a＝b，
∴a@b最大时，a＝b，故④正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．党的十八大以来，永州市把脱贫攻坚作为重大政治任务和第一民生工程来抓．扎实推进精准扶贫、精准脱贫，脱贫攻坚取得了重大历史性成就．全市累计减贫61.2万人，把数据61.2万用科学记数法表示为 6.12×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：61.2万＝612000＝6.12×105．
故答案为：6.12×105．
12．分解因式：16﹣x2＝ （4+x）（4﹣x） ．
【分析】16和x2都可写成平方形式，且它们符号相反，符合平方差公式特点，利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：16﹣x2＝（4+x）（4﹣x）．
13．如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝58°，则∠2的度数为 32° ．
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB＝∠2，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠ACB＝∠2，
∵AC⊥BA，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠ACB＝180°﹣∠1﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣58°＝32°，
故答案为：32°．
14．已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为 ﹣15 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（x+2y）（x﹣2y）
＝﹣3×5
＝﹣15
故答案为：﹣15
15．一个不透明的口袋中有5个完全相同的小球，分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号是偶数的概率为 ．
【分析】确定出偶数有2个，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵标号为1，2，3，4，5的5个小球中偶数有2个，
∴P＝．
故答案为：．
16．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为 πa ．
【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝a，再利用弧长公式求出的长＝的长＝的长＝＝，那么勒洛三角形的周长为×3＝πa．
【解答】解：如图．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA＝a，
∴的长＝的长＝的长＝＝，
∴勒洛三角形的周长为×3＝πa．
故答案为πa．
17．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为 （8，0） ．
【分析】根据相似三角形的性质求出P3D的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案．
【解答】解：∵点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），
∴OP1＝1，OP2＝2，
∵Rt△P1OP2∽Rt△P2OP3，
∴＝，即＝，
解得，OP3＝4，
∵Rt△P2OP3∽Rt△P3OP4，
∴＝，即＝，
解得，OP4＝8，
则点P4的坐标为（8，0），
故答案为：（8，0）．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 2n+1﹣2 ．
【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题．
【解答】解：由题意得OA＝OA1＝2，
∴OB1＝OA1＝2，
B1B2＝B1A2＝4，B2A3＝B2B3＝8，
∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，
2＝22﹣2，6＝23﹣2，14＝24﹣2，…
∴Bn的横坐标为2n+1﹣2．
故答案为 2n+1﹣2．
三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19．（8分）计算：2cs45|+（）﹣2﹣（2020﹣π）0．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×﹣（）+4﹣1
＝﹣+1+4﹣1
＝4．
20．（8分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式＜1，得x＜5；
解不等式2x+16＞14，得x＞﹣1，
在数轴上表示不等式组的解集为
故不等式组的解集为﹣1＜x＜5．
21．（8分）为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团，为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向．并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）：
根据统计图表的信息，解答下列问题：
（1）求本次抽样调查的学生总人数及a、b的值；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1300名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数．
【分析】（1）用书法的人数除以其所占的百分比即可求出抽样调查的学生总人数，用文学鉴赏、音乐舞蹈的人数除以总人数即可求出a、b的值；
（2）用总人数乘以国际象棋的人数所占的百分比求出国际象棋的人数，再把条形统计图补充即可；
（3）用该校总人数乘以全校选择“音乐舞蹈”社团的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）本次抽样调查的学生总人数是：20÷10%＝200，
a＝×100%＝30%，
b＝×100%＝35%，
（2）国际象棋的人数是：200×20%＝40，
条形统计图补充如下：
（3）若该校共有1300名学生，则全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是1300×35%＝455（人），
答：全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数是1300×35%＝455人．
22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC＝，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的面积．
【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD＝BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD＝AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF＝∠EBF，
∵∠AFD＝∠EFB，AF＝FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD＝EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD＝AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCB，
∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF，
∴tan∠ABE＝＝3，
∵BF＝，
∴EF＝，
∴DE＝3，
∴S菱形AEBD＝•AB•DE＝•3＝15．
23．（10分）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金＝前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，
根据题意得：1280（1+x）2＝1280+1600，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）．
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，
根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，
解得：a≥1900．
答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
24．（10分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP＝90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB＝60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF＝90°，结合半径OC＝5可得答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD＝CD，
∴PA＝PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP＝∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°．
∴∠OCP＝90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB＝OC，∠OBC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∵AB＝10，
∴OC＝5，
由（1）知∠OCF＝90°，
∴CF＝OCtan∠COB＝5．
25．（12分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．
（Ⅰ）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；
（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．
【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）（I）由点P的横坐标可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ＝﹣2x2+6x+，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，进而可得出点P、Q的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ的表达式，设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），进而即可得出DE的长度，利用三角形的面积公式可得出S△DPQ＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）（I）当点P的横坐标为﹣时，点Q的横坐标为，
∴此时点P的坐标为（﹣，），点Q的坐标为（，﹣）．
设直线PQ的表达式为y＝mx+n，
将P（﹣，）、Q（，﹣）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线PQ的表达式为y＝﹣x+．
如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣x+），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+）＝﹣x2+3x+，
∴S△DPQ＝S△DPE+S△DQE＝DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+6x+＝﹣2（x﹣）2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（，）．
（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，﹣（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y＝﹣2（t+1）x+t2+4t+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点E的坐标为（x，﹣2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE＝﹣x2+2x+3﹣[﹣2（t+1）x+t2+4t+3]＝﹣x2+2（t+2）x﹣t2﹣4t，
∴S△DPQ＝DE•（xQ﹣xP）＝﹣2x2+4（t+2）x﹣2t2﹣8t＝﹣2[x﹣（t+2）]2+8．
∵﹣2＜0，
∴当x＝t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．
26．（12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）
（1）根据以上操作和发现，求的值；
（2）将该矩形纸片展开．
①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°；
②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）
【分析】（1）依据△BCE是等腰直角三角形，即可得到CE＝BC，由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，即可得到CD＝AD，即＝；
（2）①由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，依据勾股定理可得AH2+AP2＝BP2+BC2，进而得出AP＝BC，再根据PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，即可得到Rt△APH≌Rt△BCP（HL），进而得到∠CPH＝90°；
②由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，进而得到CP平分∠BCE，故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．
【解答】解：（1）由图①，可得∠BCE＝∠BCD＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴＝cs45°＝，即CE＝BC，
由图②，可得CE＝CD，而AD＝BC，
∴CD＝AD，
∴＝；
（2）①设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝a，BE＝a，
∴AE＝（﹣1）a，
如图③，连接EH，则∠CEH＝∠CDH＝90°，
∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，
∴∠AEH＝45°＝∠AHE，
∴AH＝AE＝（﹣1）a，
设AP＝x，则BP＝a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2，
∴AH2+AP2＝BP2+BC2，
即[（﹣1）a]2+x2＝（a﹣x）2+a2，
解得x＝a，即AP＝BC，
又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，
∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），
∴∠APH＝∠BCP，
又∵Rt△BCP中，∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠APH+∠BPC＝90°，
∴∠CPH＝90°；
②折法：如图，由AP＝BC＝AD，可得△ADP是等腰直角三角形，PD平分∠ADC，
故沿着过D的直线翻折，使点A落在CD边上，此时折痕与AB的交点即为P；
折法：如图，由∠BCE＝∠PCH＝45°，可得∠BCP＝∠ECH，
由∠DCE＝∠PCH＝45°，可得∠PCE＝∠DCH，
又∵∠DCH＝∠ECH，
∴∠BCP＝∠PCE，即CP平分∠BCE，
故沿着过点C的直线折叠，使点B落在CE上，此时，折痕与AB的交点即为P．
选择意向
文学鉴赏
国际象棋
音乐舞蹈
书法
其他
所占百分比
a
20%
b
10%
5%
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