2018届中考数学提升练习：专题(一) 数形结合与实数的运算

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类型之一 数轴与实数
【经典母题】
如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把eq \r(2)和－eq \r(2)表示在数轴上．
图Z1－1
【思想方法】 (1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；
(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．
【中考变形】
1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 ( C )
图Z1－2
A.eq \r(5)＋1 B.eq \r(5)
C.eq \r(5)－1 D．1－eq \r(5)
【解析】 ∵AD长为2，CD长为1，∴AC＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，∵A点表示－1，∴E点表示的数为eq \r(5)－1.
2．[2016·娄底]已知点M，N，P，Q在数轴上的位置如图Z1－3，则其中对应的数的绝对值最大的点是 ( D )
图Z1－3
A．M B．N C．P D．Q
3．[2016·天津]实数a，b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是 ( C )
图Z1－4
A．－a＜0＜－b B．0＜－a＜－b
C．－b＜0＜－a D．0＜－b＜－a
【解析】 ∵从数轴可知a＜0＜b，∴－b＜0，－a＞0，∴－b＜0＜－a.
4．[2017·余姚模拟]如图Z1－5，数轴上的点A，B，C，D，E表示连续的五个整数，若点A，E表示的数分别为x，y，且x＋y＝2，则点C表示的数为( B )
图Z1－5
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 根据题意，知y－x＝4，即y＝x＋4，将y＝x＋4代入x＋y＝2，得x＋x＋4＝2，解得x＝－1，则点A表示的数为－1，则点C表示的数为－1＋2＝1.
5．如图Z1－6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于 ( A )
图Z1－6
A．－4和－3之间 B．3和4之间
C．－5和－4之间 D．4和5之间
【解析】 ∵点P的坐标为(－2，3)，
∴OP＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13).
∵点A，P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA＝OP＝eq \r(13)，
∵9＜13＜16，∴3＜eq \r(13)＜4.
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.
6．[2017·成都改编]如图Z1－7，数轴上点A表示的实数是__－eq \r(2)__．
图Z1－7
【中考预测】
如图Z1－8，数轴上的点A，B分别对应实数a，b，下列结论中正确的是( C )
图Z1－8
A．a＞b B．|a|＞|b|
C．－a＜b D．a＋b＜0
【解析】 由图知，a＜0＜b且|a|＜|b|，∴a＋b＞0，即－a＜b，故选C.
类型之二 实数的混合运算
【经典母题】
计算：2×(3＋eq \r(5))＋4－2×eq \r(5).
解：2×(3＋eq \r(5))＋4－2×eq \r(5)＝2×3＋2×eq \r(5)＋4－2×eq \r(5)＝6＋4＋2×eq \r(5)－2×eq \r(5)＝10.
【中考变形】
1．[2016·台州]计算： eq \r(4)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2－1.
解：原式＝2－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝2.
2．[2017·临沂]计算：|1－eq \r(2)|＋2cs45°－eq \r(8)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1).
解：|1－eq \r(2)|＋2cs45°－eq \r(8)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＝eq \r(2)－1＋2×eq \f(\r(2),2)－2eq \r(2)＋2＝eq \r(2)－1＋eq \r(2)－2eq \r(2)＋2＝1.
3．[2017·泸州]计算：(－3)2＋2 0170－eq \r(18)×sin45°.[来源:学*科*网Z*X*X*K]
解：(－3)2＋2 0170－eq \r(18)×sin45°＝9＋1－3eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)
＝10－3＝7.
【中考预测】
计算：eq \r(12)－3tan30°＋(π－4)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1).
解：eq \r(12)－3tan30°＋(π－4)0－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(－1)＝2eq \r(3)－3×eq \f(\r(3),3)＋1－2＝eq \r(3)－1.