2018届中考数学提升练习：专题(六) 一次函数与反比例函数的综合

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专题提升(六)　一次函数与反比例函数的综合【经典母题】如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点A的纵坐标为80，另一端点B的坐标为B(80，10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．【解析】 利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．解：设反比例函数的表达式为y＝，∵一个端点B的坐标为(80，10)，∴k＝80×10＝800，∴反比例函数的表达式为y＝.∵端点A的纵坐标为80，∴80＝，x＝10，∴点A的横坐标为10，∴自变量的取值范围为10≤x≤80.【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设y＝，把已知一点代入函数表达式求出k的值即可．【中考变形】1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝的图象有一个公共点A(1，2)．(1)求这两个函数的表达式；(2)在图Z6－2中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．               图Z6－2 　中考变形1答图解：(1)把A(1，2)代入y＝ax，得2＝a，即y＝2x；把A(1，2)代入y＝，得b＝2，即y＝；(2)画草图如答图所示．由图象可知，当x＞1或－1＜x＜0时，正比例函数值大于反比例函数值．2．如图Z6－3，已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内P，Q(4，m)两点，与x轴交于A点．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标；(3)求∠P′AO的正弦值．图Z6－3【解析】①将P点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将Q点代入反比例函数关系式，即可求出m的值；将P，Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式．②根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点P′的坐标；③过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D，可构造出′AD，又∵点A在一次函数的图象上，∴可求出点A坐标，得到OA长度，利用P′ 点坐标，可以求出P′D，P′A，即可得到∠P′AO的正弦值．解：(1)∵点P在反比例函数的图象上，∴把点P代入y＝，得k2＝4，∴反比例函数的表达式为y＝，∴Q 点坐标为(4，1)．[来源:学科网ZXXK]把P，Q(4，1)分别代入y＝k1x＋b中，得解得∴一次函数的表达式为y＝－2x＋9；(2)P′；(3)如答图，过点P′作P′D⊥x轴，垂足为D. ∵P′，中考变形2答图∴OD＝，P′D＝8.∵点A在y＝－2x＋9的图象上，∴点A坐标为，即OA＝，∴DA＝5，∴P′A＝＝.∴sin∠P′AD＝＝＝.∴sin∠P′AO＝. 3．[2017·成都]如图Z6－4，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于A(a，－2)，B两点．(1)求反比例函数表达式和点B的坐标；(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连结PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．            图Z6－4 　　          中考变形3答图解：(1)∵点A(a，－2)在正比例函数y＝x图象上，∴－2＝a，∴a＝－4，∴点A坐标为(－4，－2)．又∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴k＝xy＝－4×(－2)＝8，∴反比例函数的表达式为y＝.∵A，B既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上，∴A，B两点关于原点O中心对称，∴点B的坐标为(4，2)；(2)如答图，设点P坐标为(a＞0)，∵PC∥y轴，点C在直线y＝x上，∴点C的坐标为，∴PC＝＝，∴S△POC＝PC·a＝·a＝＝3，当＝3时，解得a＝＝2，∴P.当＝－3时，解得a＝2，∴P(2，4)．综上所述，符合条件的点P的坐标为，(2，4)．4．如图Z6－5，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象交于A(1，4)，B(4，n)两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)求一次函数的表达式；(3)P是x轴上的一个动点，试确定点P并求出它的坐标，使得PA＋PB最小．图Z6－5解：(1)∵点A(1，4)在函数y＝上，∴m＝xy＝4，∴反比例函数的表达式为y＝；(2)把B(4，n)代入y＝，4＝xy＝4n，得n＝1，∴B(4，1)，∵直线y＝kx＋b经过A，B，∴解得∴一次函数的表达式为y＝－x＋5；(3)点B关于x轴的对称点为B′(4，－1)，设直线AB′的表达式为y＝ax＋q，∴解得∴直线AB′的表达式为y＝－x＋，令y＝0，解得x＝，∴当点P的坐标为时，PA＋PB最小．5．[2017·广安]如图Z6－6，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，图Z6－6且OB＝6.(1)求函数y＝和y＝kx＋b的表达式．(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内，求反比例函数y＝的图象上一点P，使得S△POC＝9.解：(1)∵点A(4，2)在反比例函数y＝的图象上，[来源:Z*xx*k.Com]∴m＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y＝.∵点B在y轴的负半轴上，且OB＝6，∴点B的坐标为(0，－6)，把点A(4，2)和点B(0，－6)代入y＝kx＋b中，得解得[来源:Z*xx*k.Com]∴一次函数的表达式为y＝2x－6；(2)设点P的坐标为(n＞0)．在直线y＝2x－6上，当y＝0时，x＝3，∴点C的坐标为(3，0)，即OC＝3，∴S△POC＝×3×＝9，解得n＝.∴点P的坐标为.6．[2017·黄冈]如图Z6－7，一次函数y＝－2x＋1与反比例函数y＝的图象有两个交点A(－1，m)和B，过点A作AE⊥x轴，垂足为E；过点B作BD⊥y轴，垂足为D，且点D的坐标为(0，－2)，连结DE.(1)求k的值；(2)求四边形AEDB的面积．        图Z6－7          　中考变形6答图解：(1)将点A(－1，m)代入一次函数y＝－2x＋1，得－2×(－1)＋1＝m，解得m＝3.∴A点的坐标为(－1，3)．将A(－1，3)代入y＝，得k＝(－1)×3＝－3；(2)如答图，设直线AB与y轴相交于点M，则点M的坐标为(0，1)，∵D(0，－2)，则点B的纵坐标为－2，代入反比例函数，得DB＝，∴MD＝3.又∵A(－1，3)，AE∥y轴，∴E(－1，0)，AE＝3.∴AE∥MD，AE＝MD.∴四边形AEDM为平行四边形．∴S四边形AEDB＝S▱AEDM＋S△MDB＝3×1＋××3＝.7．[2016·金华]如图Z6－8，直线y＝x－与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.[来源:Zxxk.Com](1)求点A的坐标；(2)若AE＝AC，①求k的值；②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．         图Z6－8 中考变形7答图解：(1)当y＝0时，得0＝x－，解得x＝3.∴点A的坐标为(3，0)；(2)①如答图，过点C作CF⊥x轴于点F.设AE＝AC＝t，点E的坐标是(3，t)，则反比例函数y＝可表示为y＝.∵直线y＝x－交y轴于点B，∴B(0，－)．在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°.在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴CF＝t，AF＝AC·cos30°＝t，∴点C的坐标是.∴×t＝3t，解得t1＝0(舍去)，t2＝2.[来源:学科网]∴k＝3t＝6.②点E的坐标为，设点D的坐标是，∴x＝6，解得x1＝6(舍去)，x2＝－3，∴点D的坐标是，∴点E与点D关于原点O成中心对称．【中考预测】如图Z6－9，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y＝(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)求一次函数与反比例函数的表达式；(2)求两函数图象的另一个交点的坐标；(3)直接写出不等式kx＋b≤的解集．图Z6－9解：(1)∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥DA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴DC＝10，∴C(－2，10)，B(0，6)，A(3，0)，代入一次函数y＝kx＋b，得解得∴一次函数的表达式为y＝－2x＋6.∵反比例函数y＝经过点C(－2，10)，∴n＝－20，∴反比例函数的表达式为y＝－；(2)由解得或∴另一个交点坐标为(5，－4)；(3)由图象可知kx＋b≤的解集为－2≤x＜0或x≥5.