2018届中考数学提升练习：专题(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明

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类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明
【经典母题】
图Z11－1
已知：如图Z11－1，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠CFD，∵AB＝CD，
∴Rt△AEB≌Rt△CFD，∴BE＝DF.
【思想方法】 (1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；
(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．
【中考变形】
图Z11－2
1．[2016·益阳]如图Z11－2，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE.
求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF.
∴△AED≌△CFB(AAS)．∴AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.
图Z11－3
2．[2016·黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH，
∵E，F分别为AD，BC边的中点，
∴AE＝DE＝eq \f(1,2)AD，CF＝BF＝eq \f(1,2)BC，
∵AD＝BC，∴AE＝CF＝DE＝BF.
∵DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，[来源:学*科*网Z*X*X*K]
∴BE∥DF，∴∠AEG＝∠ADF，
∴∠AEG＝∠CFH，
在△AEG和△CFH中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EAG＝∠FCH，,AE＝CF，,∠AEG＝∠CFH，))
∴△AEG≌△CFH(ASA)，∴AG＝CH.
【中考预测】
图Z11－4
[2016·义乌模拟]如图Z11－4，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∵BE＝DF，∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)如答图，∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
中考预测答图
∴∠1＝∠2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，
∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，
∴BE＝AE＝CE＝eq \f(1,2)BC＝5.
类型之二 以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明
【经典母题】
如图Z11－5，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．

图Z11－5 经典母题答图
解：如答图，连结AC.
∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点，
∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD，
∴△ABC，△ACD均为等边三角形，
∴菱形ABCD的四个内角度数分别为∠B＝∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°.
【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比法，比较它们的区别和联系．对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质．
【中考变形】
图Z11－6
1．[2017·日照]如图Z11－6，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即__AD＝BC__，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
解：(1)证明：在△DCA和△EAC中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DC＝EA，,AD＝CE，,AC＝CA，))∴△DCA≌△EAC(SSS)；
(2)添加AD＝BC，可使四边形ABCD为矩形．理由如下：
∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°，
由(1)得△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．故答案为AD＝BC(答案不唯一)．
图Z11－7
2．[2017·白银]如图Z11－7，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠OBE＝∠ODF，,OB＝OD，,∠BOE＝∠DOF，))∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6－x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，
∴x2＝42＋(6－x)2，
解得x＝eq \f(13,3)，∵BD＝eq \r(AD2＋AB2)＝2eq \r(13)，
∴OB＝eq \f(1,2)BD＝eq \r(13)，∵BD⊥EF，
∴OE＝eq \r(BE2－OB2)＝eq \f(2\r(13),3)，∴EF＝2EO＝eq \f(4\r(13),3).
图Z11－8
3．[2017·盐城]如图Z11－8，矩形ABCD中，∠ABD，
∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.
(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
(2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，
∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，
∴∠EBD＝eq \f(1,2)∠ABD，∠FDB＝eq \f(1,2)∠BDC，
∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，理由：
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．
图Z11－9
4．[2016·株洲]如图Z11－9，在正方形ABCD中，BC＝3，E，F分别是CB，CD延长线上的点，DF＝BE，连结AE，AF，过点A作AH⊥ED于H点．
(1)求证：△ADF≌△ABE；
(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．
解：(1)证明：正方形ABCD中，
∵AD＝AB，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠ADF＝∠ABE＝90°，
在△ADF与△ABE中，
AD＝AB，∠ADF＝∠ABE，DF＝BE，
∴△ADF≌△ABE(SAS)；
(2)在Rt△ABE中，∵AB＝BC＝3，BE＝1，
∴AE＝eq \r(10)，ED＝eq \r(CD2＋CE2)＝5，
∵S△AED＝eq \f(1,2)ED·AH＝eq \f(1,2)AD·BA＝eq \f(9,2)，
∴AH＝eq \f(9,5)，
在Rt△AHD中，DH＝eq \r(AD2－AH2)＝eq \f(12,5)，
∴EH＝ED－DH＝eq \f(13,5)，∴tan∠AED＝eq \f(AH,EH)＝eq \f(9,13).
图Z11－10
5．[2017·上海]已知：如图Z11－10，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)在△ADE与△CDE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AD＝CD，,DE＝DE，,EA＝EC，))∴△ADE≌△CDE(SSS)，∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，
∵AD＝CD，∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，[来源:学.科.网]
∴∠CBE＝180×eq \f(2,2＋3＋3)＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
6．如图Z11－11，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；
(3)求四边形EFGH面积的最小值．

图Z11－11 中考变形6答图
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA，
∵AE＝DH＝BF，∴BE＝AH，∴△AEH≌△BFE(SAS)，
∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF，同理，FE＝GF＝HG，
∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形EFGH是菱形，
∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°，
∴∠FEH＝90°，∴四边形EFGH是正方形；
(2)直线EG经过正方形ABCD的中心．
理由：如答图，连结BD交EG于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠EBD＝∠GDB，
∵AE＝CG，∴BE＝DG，
∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD(AAS)，
∴BO＝DO，即O为BD的中点，
∴直线EG经过正方形ABCD的中心；
(3)设AE＝DH＝x，则AH＝8－x，
在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，
∵S四边形EFGH＝EH·EF＝EH2，
∴四边形EFGH面积的最小值为32 cm2.
【中考预测】
如图Z11－12，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.
图Z11－12
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
解：(1)证明：∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.
∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，
∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB＝∠AFD.
又∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.
又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD.
∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.
又∵CF为公共边，
∴△BCF≌△DCF(SAS)，
∴∠CBF＝∠CDF.
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，
∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD，
∴∠EFD＝∠BCD.