2018届中考数学提升练习：专题(二) 代数式的化简与求值

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类型之一 整式的化简与求值
【经典母题】
已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗？(x－y)2呢？
解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×1＝7；
(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×1＝5.
【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题．
完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中，知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．
【中考变形】
1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2的值为 ( C )
A．10 B．6 C．5 D．3
2．已知实数a满足a－eq \f(1,a)＝3，则a2＋eq \f(1,a2)的值为__11__.
【解析】 将a－eq \f(1,a)＝3两边平方，可得a2－2＋eq \f(1,a2)＝9，即a2＋eq \f(1,a2)＝11.
3．[2017·重庆B卷]计算：(x＋y)2－x(2y－x)．
解：原式＝x2＋2xy＋y2－2xy＋x2＝2x2＋y2.
4．[2016·漳州]先化简(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a，再根据化简结果，你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)?
解：原式＝a2－1＋a－a2－a＝－1.
故该代数式的值与a的取值没有关系．
【中考预测】
先化简，再求值：(a－b)2＋a(2b－a)，其中a＝－eq \f(1,2)，
b＝3.
解：原式＝a2－2ab＋b2＋2ab－a2＝b2.[来源:学&科&网]
当a＝－eq \f(1,2)，b＝3时，原式＝32＝9.
类型之二 分式的化简与求值
【经典母题】
计算：(1)eq \f(a,b)－eq \f(b,a)－eq \f(a2＋b2,ab)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,x－2)－\f(x,x＋2)))·eq \f(x2－4,x).
解：(1)原式＝eq \f(a2－b2,ab)－eq \f(a2＋b2,ab)＝eq \f(－2b2,ab)＝－eq \f(2b,a)；
(2)原式＝eq \f(3x（x＋2）－x（x－2）,（x－2）（x＋2）)·eq \f(x2－4,x)＝eq \f(2x2＋8x,x2－4)·eq \f(x2－4,x)＝2x＋8.
【思想方法】 (1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序，并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程；
(2)注意适当地利用运算律，寻求更合理的运算途径；
(3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以便寻求组建公分母而约分化简；
(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．
【中考变形】
1．[2017·重庆A卷]计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a＋2)＋a－2))÷eq \f(a2－2a＋1,a＋2).
解：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,a＋2)＋\f(a2－4,a＋2)))÷eq \f(（a－1）2,a＋2)
＝eq \f(（a＋1）（a－1）,a＋2)·eq \f(a＋2,（a－1）2)＝eq \f(a＋1,a－1)
2．[2017·攀枝花]先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,x＋1)))÷eq \f(x2－1,x2＋x)，其中x＝2.
解：原式＝eq \f(x＋1－2,x＋1)·eq \f(x（x＋1）,（x＋1）（x－1）)
＝eq \f(x－1,x＋1)·eq \f(x（x＋1）,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(x,x＋1).
当x＝2时，原式＝eq \f(2,2＋1)＝eq \f(2,3).
【中考预测】
先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－4x＋3,x－3)－\f(1,3－x)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－2x＋1,x2－3x＋2)－\f(2,x－2)))，其中x＝4.
解：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2－4x＋3,x－3)＋\f(1,x－3)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(（x－1）2,（x－1）（x－2）)－\f(2,x－2)))
＝eq \f(（x－2）2,x－3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－1,x－2)－\f(2,x－2)))＝eq \f(（x－2）2,x－3)·eq \f(x－3,x－2)
＝x－2.当x＝4时，原式＝x－2＝2.
类型之三 二次根式的化简与求值
【经典母题】
已知a＝eq \r(3)＋eq \r(2)，b＝eq \r(3)－eq \r(2)，求a2－ab＋b2的值．
解：∵a＝eq \r(3)＋eq \r(2)，b＝eq \r(3)－eq \r(2)，∴a＋b＝2eq \r(3)，ab＝1，
∴a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝(2eq \r(3))2－3＝9.
【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体思想，把a＋b，a－b，ab当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用，是中考重点考查的数学思想方法之一．
【中考变形】
1．已知m＝1＋eq \r(2)，n＝1－eq \r(2)，则代数式eq \r(m2＋n2－3mn)的值为 ( C )
A．9 B．±3
C．3 D．5
2．[2016·仁寿二模]先化简，再求值：eq \f(a2－2ab＋b2,a2－b2)÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)－\f(1,b)))，其中a＝eq \r(2)＋1，b＝eq \r(2)－1.
解：原式＝eq \f(（a－b）2,（a＋b）（a－b）)÷eq \f(b－a,ab)＝eq \f(a－b,a＋b)·eq \f(ab,b－a)＝－eq \f(ab,a＋b)，
当a＝eq \r(2)＋1，b＝eq \r(2)－1时，原式＝－eq \f(1,2\r(2))＝－eq \f(\r(2),4).[来源:学。科。网]
3．[2017·绵阳]先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－y,x2－2xy＋y2)－\f(x,x2－2xy)))÷eq \f(y,x－2y)，其中x＝2eq \r(2)，y＝eq \r(2).
解：原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x－y,（x－y）2)－\f(x,x（x－2y）)))÷eq \f(y,x－2y)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x－y)－\f(1,x－2y)))÷eq \f(y,x－2y)
＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(（x－2y）－（x－y）,（x－y）（x－2y）)))÷eq \f(y,x－2y)
＝eq \f(－y,（x－y）（x－2y）)·eq \f(x－2y,y)＝－eq \f(1,x－y).
当x＝2eq \r(2)，y＝eq \r(2)时，原式＝－eq \f(1,x－y)＝－eq \f(1,\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
【中考预测】
先化简，再求值：eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b)＋eq \f(b,a（a＋b）)，其中a＝eq \f(\r(5)＋1,2)，b＝eq \f(\r(5)－1,2).
解：原式＝eq \f(ab＋a（a＋b）＋b2,ab（a＋b）)＝eq \f(（a＋b）2,ab（a＋b）)＝eq \f(a＋b,ab)，
∵a＋b＝eq \f(\r(5)＋1,2)＋eq \f(\r(5)－1,2)＝eq \r(5)，ab＝eq \f(\r(5)－1,2)×eq \f(\r(5)＋1,2)＝1，
∴原式＝eq \r(5).