高考数学一轮复习讲义第3章第1节导数的概念及运算

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1．导数与导函数的概念
(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝＝.
(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝

4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)[]′＝(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【知识拓展】
1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2.[]′＝－(f(x)≠0)．
3.[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　×　)
(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　×　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　√　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　×　)

1．(教材改编)若f(x)＝x·ex，则f′(1)等于(　　)
A．0 B．e C．2e D．e2
答案　C
解析　f′(x)＝ex＋x·ex，∴f′(1)＝2e.
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)



答案　D
解析　由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.
3．某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是(　　)
A．14 m/s2 B．4 m/s2
C．10 m/s2 D．－4 m/s2
答案　A
解析　由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，
a(t)＝v′(t)＝12t－g，
当t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14.
4．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sin x＋cos x，则f′()＝.
答案　－
解析　因为f(x)＝f′()sin x＋cos x，
所以f′(x)＝f′()cos x－sin x，
所以f′()＝f′()cos－sin，
即f′()＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x.
f′(x)＝－cos x－sin x.
故f′()＝－cos－sin＝－.
5．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程是．
答案　5x＋y＋2＝0
解析　因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，
所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.

题型一　导数的计算
例1　求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝ln x＋；(3)y＝；
(4)y＝sin(2x＋)；(5)y＝ln(2x－5)．
解　(1)y′＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′
＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝(ln x＋)′＝(ln x)′＋()′
＝－.
(3)y′＝()′
＝
＝－.
(4)设u＝2x＋，则y＝sin u，
则y′＝(sin u)′·u′＝cos(2x＋)·2
∴y′＝2cos(2x＋)．
(5)令u＝2x－5，则y＝ln u，
则y′＝(ln u)′·u′＝·2＝，
即y′＝.
思维升华　(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．
　(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于(　　)
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)
A．－1 B．－2
C．2 D．0
答案　(1)B　(2)B
解析　(1)f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，故由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，则ln x0＝0，解得x0＝1.
(2)f′(x)＝4ax3＋2bx，
∵f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，
∴f′(－1)＝－2.
题型二　导数的几何意义
命题点1　求切线方程
例2　(1)(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是．
(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为(　　)
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案　(1)2x＋y＋1＝0　(2)B
解析　(1)设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.
(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.
命题点2　求参数的值
例3　(1)(2016·泉州模拟)函数y＝ex的切线方程为y＝mx，则m＝.
(2)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m