高考数学一轮复习第3章第1节导数的概念及运算学案

这是一份高考数学一轮复习第3章第1节导数的概念及运算学案，共10页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。


第一节　导数的概念及运算
考试要求：1．了解导数概念的实际背景．
2．理解导数的几何意义．
3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数的导数．

一、教材概念·结论·性质重现
1．导数与导函数的概念
(1)一般地，设函数f(x)在x0附近有意义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|，即f′(x0)＝
(2)当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是一个数值，与给定的函数及x0的位置有关，与Δx无关；导函数简称导数，是一个确定的函数，它依赖于函数本身，与x，Δx无关．
2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”．
3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．

直线与曲线相切时不一定只有一个公共点．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ln x
f′(x)＝
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝


要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，以防混淆．
4．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝(g(x)≠0)．

1．和差的导数运算法则可以推广到任意有限个可导函数的和差求导运算．
2．应用积商的导数运算法则时要注意，不能对构成积商的两个函数简单求导．
5．复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

要分清复合函数的复合关系，选择适当的中间变量．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同． (　×　)
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)． (　×　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． (　√　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． (　×　)
(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x． (　×　)
2．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　)
A．x－3y＋3＝0　　　 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
C　解析：y′＝cos x＋ex，令x＝0得切线的斜率k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0．
3．函数y＝cos(1＋x2)的导数是(　　)
A．y′＝2xsin(1＋x2)
B．y′＝－sin(1＋x2)
C．y′＝－2xsin(1＋x2)
D．y′＝2cos(1＋x2)
C　解析：y′＝－sin(1＋x2)·(1＋x2)′＝－2xsin(1＋x2)．
4．已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________．
(－2,9)　解析：因为f(x)＝2x2＋1，所以f′(x)＝4x． 令4x0＝－8，则x0＝－2，所以f(x0)＝9，所以点M的坐标为(－2,9)．
5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线为y＝－2x＋5，则f(2)＋f′(2)＝________．

－1　解析：因为函数y＝f(x)的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－2x＋5，
所以f′(2)＝－2，f(2)＝－4＋5＝1，所以f(2)＋f′(2)＝1＋(－2)＝－1．


考点1　导数的计算——基础性

1．(2022·成都期中)下列求导运算正确的是(　　)
A．(x4)′＝x4ln 4
B．(3x)′＝x·3x－1
C．(x3sin x)′＝3x2sin x－x3cos x
D．＝－
D　解析：根据题意，依次分析选项．对于A，(x4)′＝4x3，A错误；对于B，(3x)′＝3xln 3，B错误；对于C，(x3sin x)′＝3x2sin x＋x3cos x，C错误；对于D，＝－，D正确．
2．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间(a，b)内的导数为f′(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)－f(a)＝f′(c)(b－a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f(x)＝x3－3x在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　)
A．3　　　　　 B．2　　　　　
C．1　　　　　 D．0
B　解析：函数f(x)＝x3－3x，则有f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3．由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)，可得f′(c)＝1，即3c2－3＝1，解得c＝±∈[－2,2]，所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．
3．已知函数f(x)＝－x2＋2xf′(2 021)＋2 021ln x－2，则f′(2 021)＝(　　)
A．2 022 B．2 021 C．2 020 D．2 019
C　解析：由题意可知f′(x)＝－x＋2f′(2 021)＋．
令x＝2 021，所以f′(2 021)＝－2 021＋2f′(2 021)＋1，
所以f′(2 021)＝2 020．
4．(2021·阎良区期末)已知函数f(x)＝e2x·cos x，则f′(x)＝________．
e2x(2cos x－sin x)　解析：由积的求导法则可得，f′(x)＝(e2x·cos x)′＝e2x·2·cos x＋e2x(cos x)′＝2e2xcos x－e2xsin x＝e2x(2cos x－sin x)．

第2题是新定义问题，理解定义是关键；解答第3题时要注意求导时把f′(2 021)看作数字系数，再赋特殊值；解答第4题时一定要注意y＝e2x是简单的复合函数．

考点2　导数的几何意义——应用性

考向1　求切线方程
(1)(2021·全国甲卷)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．
5x－y＋2＝0　解析：由题意知，当x＝－1时，y＝－3，故点(－1，－3)在曲线上，
求导得，y′＝＝，
所以y′|x＝－1＝5，
故切线方程为5x－y＋2＝0．
(2)已知曲线S：y＝2x－x3，则过点B(2,0)并与曲线S相切的直线方程为________．
y＝2－x或y＝(－10±6)(x－2)　解析：显然点B不在曲线上．设切点坐标为(m,2m－m3)，则所求直线的斜率k＝(m≠2)，
而y′|x＝m＝2－3m2，所以＝2－3m2，整理得m3－3m2＋2＝0，
即m3－m2－2(m2－1)＝0⇒m2(m－1)－2(m＋1)(m－1)＝0⇒(m－1)(m2－2m－2)＝0，
解得m1＝1，m2＝1＋，m3＝1－．
当m＝1时，k＝2－3m2＝－1，直线方程为y＝－(x－2)＝2－x；
当m＝1＋时，k＝2－3m2＝－10－6，直线方程为y＝(－10－6)(x－2)；
当m＝1－时，k＝2－3m2＝－10＋6，直线方程为y＝(－10＋6)(x－2)．

本例(1)中曲线方程改为“f(x－1)＝”，则曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处切线的斜率为(　　)
A．－2　　　 B．　　　
C．　　　 D．5
C　解析：由f(x－1)＝，知f(x)＝，所以f′(x)＝，所以f′(－1)＝．
由导数的几何意义知，所求切线的斜率k＝．

求曲线的切线方程的题型及方法
(1)切线所过点A(x0，f(x0))在曲线上：切线斜率是该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)切线所过点P(x0，y0)不在曲线上，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
考向2　求切点坐标
(1)(2021·南昌二模)若曲线y＝－3ln x在x＝x0处的切线的斜率为，则x0＝________．
3　解析：由y＝－3ln x，得y′＝x－(x>0)，故x0－＝，解得x0＝3或x0＝－2(舍去)，故x0＝3．
(2)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．
(1,1)　解析：点(0,1)在曲线y＝ex上．因为y′＝ex，所以曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1．设P(m，n)，y＝(x>0)的导数为y′＝－ (x>0)，所以曲线y＝ (x>0)在点P处的切线斜率k2＝－ (m>0)．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．

求切点的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，再将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
考向3　求参数的值或取值范围
(1)(2021·萍乡二模)函数y＝在点处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．
－4　解析：因为y′＝f′(x)＝－，所以f′(2)＝－．
因为切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，
所以×(－a)＝－1，解得a＝－4．
(2)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
(－∞，2)　解析：函数f(x)＝ln x＋ax的定义域为(0，＋∞)．因为函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－．
因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．

1．根据已知条件，建立关于参数的方程(不等式)，求解即可．
2．常用的等量关系：(1)切点处的导数是切线的斜率．(2)切点在切线上，也在曲线上．
考向4　导数与函数图象的关系
(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)


B　解析：由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小．故选B．
(2)函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是(　　)

A．f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜0
B．f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)＜0
C．f(3)－f(2)＜f′(3)＜f′(2)＜0
D．f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3)＜0
D　解析：根据题意，设M(2，f(2))，N(3，f(3))为函数y＝f(x)上的点，
则f′(2)为函数f(x)在x＝2处切线的斜率，
f′(3)为函数f(x)在x＝3处切线的斜率，
f(3)－f(2)＝为直线MN的斜率．
结合图象(图略)分析可得f′(2)＜f(3)－f(2)＜f′(3)＜0．


函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．

1．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)


A B

C 　D
D　解析：由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C．
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B．
2．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为(　　)
A．　　　　 B．－
C．－e　 　 D．e
D　解析：函数y＝ex的导数为y′＝ex，设切点为P(x0，e)，则过P的切线方程为y－e＝e (x－x0)，代入点(0,0)得x0＝1，所以P(1，e)，所以k＝e．
3．曲线y＝ln x－在x＝1处的切线的倾斜角为α，则cos的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
D　解析：依题意，y′＝＋，所以tan α＝＋＝3，
所以cos＝－sin 2α＝－＝－＝－＝－．