高考数学统考一轮复习第3章导数及其应用第1节导数的概念及运算学案

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导数的概念及运算
[考试要求] 1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.
2.能根据导数定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x ，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f (1,x)，y＝eq \r(x)的导数.
3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
1．导数的概念
(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数：函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f (Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f (f x0＋Δx－f x0,Δx)为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f (Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f (f x0＋Δx－f x0,Δx).
(2)函数f (x)的导函数f ′(x)：f ′(x)＝eq \(lim,\s\d14(Δx→0)) eq \f (f x＋Δx－f x,Δx).
提醒：函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
2．导数的几何意义
函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．
提醒：(1)瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．
(2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(3)曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．
3．基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (f x,gx)))′＝eq \f (f ′xgx－f xg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
eq \([常用结论])
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．熟记以下结论：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,x)))eq \s\up12(′)＝－eq \f (1,x2)；
(2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f (1,f x)))eq \s\up12(′)＝－eq \f (f ′x,[f x]2)(f (x)≠0)；
(3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)．( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(4)函数f (x)＝sin(－x)的导数是f ′(x)＝cs x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．函数y＝xcs x－sin x的导数为( )
A．xsin x B．－xsin x
C．xcs x D．－xcs x
B [y′ ＝x′cs x＋x(cs x)′－(sin x)′＝cs x－xsin x－cs x＝－xsin x．]
2．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
C [因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9.故选C．]
3.已知函数f (x)的图象如图，f ′(x)是f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2)
B．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2)
C．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)
D．0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3)
C [由导数的几何意义知，0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)，故选C．]
4．在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2.
－9.8t＋6.5 －9.8 [v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.]
5．若y＝ln(2x＋5)，则y′＝________.
eq \f (2,2x＋5) [令v＝2x＋5，则y′＝eq \f (v′,v)＝eq \f (2,2x＋5).]
考点一 导数的计算

已知函数解析式求函数的导数
[典例1－1] 求下列各函数的导数：
(1)y＝xeq \r(2x)；(2)y＝tan x；
(3)y＝2sin2eq \f (x,2)－1；(4)y＝lneq \f (2x－1,2x＋1).
[解] (1)先变形：y＝eq \r(2)xeq \s\up12(eq \f (3,2))，再求导：y′＝(eq \r(2)xeq \s\up12(eq \f (3,2)))′＝eq \f (3\r(2),2)xeq \s\up12(eq \f (1,2)).
(2)先变形：y＝eq \f (sin x,cs x)，再求导：
y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (sin x,cs x)))eq \s\up12(′)＝eq \f (sin x′·cs x－sin x·cs x′,cs2x)＝eq \f (1,cs2x).
(3)先变形：y＝－cs x，
再求导：y′＝－(cs x)′＝－(－sin x)＝sin x.
(4)先变形：y＝ln(2x－1)－ln(2x＋1)，
再求导：y′＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋1)]′
＝eq \f (1,2x－1)·(2x－1)′－eq \f (1,2x＋1)·(2x＋1)′
＝eq \f (2,2x－1)－eq \f (2,2x＋1)＝eq \f (4,4x2－1).
点评：(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．
(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误．
抽象函数求导
[典例1－2] 已知f (x)＝x2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.
－4 [∵f ′(x)＝2x＋2f ′(1)，
∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，
∴f ′(1)＝－2，
∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4.]
点评：赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f ′(1)为常数，然后借助导数运算法则计算f ′(x)，最后分别令x＝1，x＝0代入f ′(x)求解即可．
eq \([跟进训练])
1．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x)＝eq \f (ex,x＋a)，若f ′(1)＝eq \f (e,4)，则a＝________.
1 [由于f ′(x)＝eq \f (exx＋a－ex,x＋a2)，故f ′(1)＝eq \f (ea,1＋a2)＝eq \f (e,4)，解得a＝1.]
2．已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f (x)＝x2＋3xf ′(2)＋ln x，则f ′(2)＝________.
－eq \f (9,4) [因为f (x)＝x2＋3xf ′(2)＋ln x，所以f ′(x)＝2x＋3f ′(2)＋eq \f (1,x)，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋eq \f (1,2)＝3f ′(2)＋eq \f (9,2)，所以f ′(2)＝－eq \f (9,4).]
3．求下列函数的导数．
(1)y＝x2sin x；(2)y＝eq \f (cs x,ex)；
(3)y＝x－sin eq \f (x,2)cs eq \f (x,2)；
(4)y＝eq \r(2x＋1).
[解] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cs x.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (cs x,ex)))eq \s\up12(′)＝eq \f (cs x′ex－cs xex′,ex2)
＝eq \f (－exsin x－excs x,e2x)
＝－eq \f (sin x＋cs x,ex).
(3)∵y＝x－sin eq \f (x,2)cs eq \f (x,2)＝x－eq \f (1,2)sin x，
∴y′＝1－eq \f (1,2)cs x.
(4)令u＝2x＋1，y＝ueq \s\up12(eq \f (1,2))，
∴y′＝eq \f (1,2)ueq \s\up12(－eq \f (1,2))(u)′＝eq \f (2x＋1′,2\r(2x＋1))＝eq \f (1,\r(2x＋1)).
考点二 导数的几何意义
求曲线的切线方程
切线方程的求法
(1)已知切点A(x0，f (x0))求切线方程，可先求该点处的导数值f ′(x0)，再根据y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)求解．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＝f x1，,y0－y1＝f ′x1x0－x1))求解即可．
[典例2－1] (1)(2020·全国卷Ⅰ)函数f (x)＝x4－2x3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
(2)已知函数f (x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f (x)相切，则直线l的方程为________．
(1)B (2)x－y－1＝0 [(1)法一：∵f (x)＝x4－2x3，
∴f ′(x)＝4x3－6x2，∴f ′(1)＝－2，又f (1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B．
法二：∵f (x)＝x4－2x3，∴f ′(x)＝4x3－6x2，f ′(1)＝－2，∴切线的斜率为－2，排除C，D．又f (1)＝1－2＝－1，∴切线过点(1，－1)，排除A．故选B．
(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．又∵f ′(x)＝1＋ln x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝1＋ln x0x0，))解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.]
求切点坐标
求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
[典例2－2] (2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
(e,1) [设A(x0，y0)，由y′＝eq \f (1,x)，得k＝eq \f (1,x0)，
所以在点A处的切线方程为y－ln x0＝eq \f (1,x0)(x－x0)．
因为切线经过点(－e，－1)，
所以－1－ln x0＝eq \f (1,x0)(－e－x0)，所以ln x0＝eq \f (e,x0)，
解得x0＝e，y0＝1，即A(e,1)．]
点评：切点既在曲线上，也在切线上，这是解题的切入点．
求参数的值(范围)
1．利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围．
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
[典例2－3] (1)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
(2)已知函数f (x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝eq \f (1,2)x垂直的切线，则实数m的取值范围是( )
A．m＞2 B．m≤2 C．m＞－eq \f (1,2) D．m≤－eq \f (1,2)
(1)D (2)A [(1)∵y′＝aex＋ln x＋1，∴y′|x＝1＝ae＋1，
∴2＝ae＋1，∴a＝e－1.∴切点为(1,1)，
将(1,1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，
∴b＝－1，故选D．
(2)f ′(x)＝ex－m，由题意知方程f ′(x)＝－2有解．
即m＝ex＋2有解，由ex＋2＞2得m＞2，故选A．]
两曲线的公切线问题
解决此类问题通常有两种方法
一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
二是设公切线l在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝eq \f (f x1－gx2,x1－x2).
[典例2－4] (1)已知曲线f (x)＝x3＋ax＋eq \f (1,4)在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
(2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ex的切线，则b＝________.
(1)－eeq \s\up12(－eq \f (3,4)) (2)0或1 [(1)由f (x)＝x3＋ax＋eq \f (1,4)，得f ′(x)＝3x2＋a.
∵f ′(0)＝a，f (0)＝eq \f (1,4)，
∴曲线y＝f (x)在x＝0处的切线方程为y－eq \f (1,4)＝ax.
设直线y－eq \f (1,4)＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－eq \f (1,x)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－ln x0－\f (1,4)＝ax0， ①,a＝－\f (1,x0)， ②))
将②代入①得ln x0＝eq \f (3,4)，
(2)设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2的切点为(x1，y1)，与曲线y＝ex的切点为(x2，y2)，y＝ln x＋2的导数为y′＝eq \f (1,x)，y＝ex的导数为y′＝ex，可得k＝eeq \s\up12(x2)＝eq \f (1,x1).又由k＝eq \f (y2－y1,x2－x1)＝，消去x2，可得(1＋ln x1)·(x1－1)＝0，则x1＝eq \f (1,e)或x1＝1，则直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x＋2的切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,e)，1))或(1,2)，与曲线y＝ex的切点为(1，e)或(0,1)，所以k＝eq \f (e－1,1－\f (1,e))＝e或k＝eq \f (1－2,0－1)＝1，则切线方程为y＝ex或y＝x＋1，可得b＝0或1.]
点评：求解过程中，关键在消元．
eq \([跟进训练])
1．曲线f (x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
C [f ′(x)＝3x2－1，令f ′(x)＝2，得3x2－1＝2，
解得x＝±1，当x＝1时，y＝3，当x＝－1时，y＝3，
∴P(1,3)或P(－1,3)，经检验，点P(－1,3)和P(1,3)均不在直线y＝2x－1上，故选C．]
2．若直线y＝12x＋m与曲线y＝x3－2相切，则m＝________.
14或－18 [设切点坐标为(x0，y0)，由y＝x3－2得y′＝3x2，
＝3xeq \\al(2,0)，由题意知3xeq \\al(2,0)＝12，解得x0＝±2，
当x0＝2时，y0＝6，当x0＝－2时，y0＝－10，
即切点坐标为(2,6)或(－2，－10)，
当切点坐标为(2,6)时，由6＝24＋m得m＝－18，
当切点坐标为(－2，－10)时，由－10＝－24＋m得m＝14.]
3．已知f (x)＝ln x，g(x)＝eq \f (1,2)x2＋mx＋eq \f (7,2)(m＜0)，直线l与函数f (x)，g(x)的图象都相切，与f (x)图象的切点为(1，f (1))，则m＝________.
－2 [∵f ′(x)＝eq \f (1,x)，∴直线l的斜率k＝f ′(1)＝1.
又f (1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq \f (1,2)xeq \\al(2,0)＋mx0＋eq \f (7,2)，m＜0，
∴m＝－2.]
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握
1.考查形式
本章内容在高考中一般是“一大一小”.
2.考查内容
(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中.
(2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题．第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题.
原函数
导函数
f (x)＝c(c为常数)
f ′(x)＝0
f (x)＝xn(n∈Q*)
f ′(x)＝nxn－1
f (x)＝sin x
f ′(x)＝csx
f (x)＝cs x
f ′(x)＝－sin x
f (x)＝ax
f ′(x)＝axlna(a＞0)
f (x)＝ex
f ′(x)＝ex
f (x)＝lgax(a＞0，且a≠1)
f ′(x)＝eq \f (1,xln a)(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x
f ′(x)＝eq \f (1,x)