高考数学一轮复习第3章第1课时导数的概念及运算学案

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第1课时 导数的概念及运算
[考试要求]
1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2．通过函数图象，理解导数的几何意义.
3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．
1．导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx.
提醒：f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0fx+Δx-fxΔx.
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．基本初等函数的导数公式
4．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)fxgx′＝f'xgx-fxg'xgx2(g(x)≠0)；
(4)[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[常用结论]
函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( )
(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )
(4)函数f(x)＝sin (－x)的导数是f′(x)＝cs x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材习题衍生
1．(人教A版选择性必修第二册P59探究改编)某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
C [h′(t)＝－9.8t＋8，∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.]
2．(人教A版选择性必修第二册P70练习T2改编)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
C [由导数的几何意义知，0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故选C.]
3．(人教A版选择性必修第二册P81练习T2(2)改编)设f(x)＝ln (3－2x)＋cs 2x，则f′(0)＝________．
－23 [因为f′(x)＝－23-2x－2sin 2x，所以f′(0)＝－23.]
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f(x)＝ex＋1x在x＝1处的切线方程为________．
y＝(e－1)x＋2 [f′(x)＝ex－1x2，∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.]
考点一 变化率问题
[典例1] (1)(多选)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－fb-fab-a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．
则下列结论正确的是( )
A．在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
B．在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
C．在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
D．甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强
(2)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________(由大到小排列)．
(1)ABC (2)v1＞v2＞v3 [(1)－fb-fab-a表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－fb-fab-a越大治理能力越强．
对于A，在[t1，t2]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于B，要比较t2时刻的污水治理能力，即看在t2时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，故在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；
对于C，在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；
对于D，甲在[t1，t2]这段时间内的污水治理能力最强，错误．
(2)∵v1＝st1-s0t1-0＝kOA，v2＝st2-st1t2-t1＝kAB，v3＝st3-st2t3-t2＝kBC，由图象得kOA＞kAB＞kBC，∴v1>v2>v3.]
函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
平均变化率ΔyΔx＝fx0+Δx-fx0Δx，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解.
[跟进训练]
1．(多选)[平均变化率与导数的关系](2022·广州二模)吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V)，r′V为r(V)的导函数．已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤V1tan θ，
所以r1-r01-0>r2-r12-1，所以该选项错误；
对于B，由题图得图象上点的切线的斜率越来越小，
根据导数的几何意义得r′1>r′2，所以该选项正确；
对于C，设V1＝0，V2＝3，∴rV1+V22＝r32，rV1+rV22＝r32，因为r32－r(0)>r(3)－r32，所以r32>r32，所以该选项错误；对于D，rV2-rV1V2-V1表示A(V1，r(V1))，B(V2，r(V2))两点之间的斜率，r′V0表示C(V0，r(V0))处切线的斜率，由于V0∈V1，V2，所以可以平移直线AB使之和曲线相切，切点就是点C，所以该选项正确．故选BD.]
考点二 导数的运算
[典例2] (1)(多选)下列求导运算正确的是( )
A．1lnx′＝－1xln2x B．(x2ex)′＝2x＋ex
C．(2x+1)′＝12x+1 D．x-1x′＝1＋1x2
(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′π3sinx，则fπ6＝________．
(1)ACD (2)π236+2π3 [(1)对于A，1lnx′＝－1ln2x·(ln x)′＝－1xln2x；对于B，(x2ex)′＝(x2＋2x)ex；对于C，令f(x)＝2x+1＝(2x＋1) 12，
∴f′(x)＝12(2x＋1)-12×2＝(2x＋1)-12＝12x+1；对于D，x-1x′＝1＋1x2.故选ACD.
(2)f′(x)＝2x＋f′π3csx，
∴f′π3＝2π3+12f′π3，∴f′π3＝4π3，
∴fπ6＝π236+2π3.]
导数的运算方法
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
[跟进训练]
2．(1)(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
(2)(易错题)若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝________．
(1)AC (2)3 [(1)若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝1x，令ln x＝1x，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝1x的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝sinxcsx′＝1cs2x，令tanx＝1cs2x，化简得sinx cs x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.
(2)f′(x)＝aeax＋1x+1，∴f′(0)＝a＋1＝4，
∴a＝3.]
考点三 导数的几何意义
求切线方程
[典例3] (2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________．
y＝xe y＝－xe [当x>0时，点(x1，ln x1)(x1>0)上的切线为y－ln x1＝1x1(x－x1)．若该切线经过原点，则ln x1－1＝0，解得x1＝e，此时切线方程为y＝xe.
当x