高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.2 指数函数的性质与图像导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.2 指数函数的性质与图像导学案，共24页。

课程标准：1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
教学重点：指数函数的概念、图像和性质．
教学难点：运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题.
1．指数函数y＝ax的特征
(1)ax的系数是1.
(2)ax的底数是常数，且是不等于1的正实数．
(3)ax的指数仅含有自变量x.
2．指数函数y＝ax中规定底数a>0且a≠1的原因
(1)若a<0，则对于x的某些数值，ax无意义，如(－2)x，当x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,4)等时，无意义．
(2)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．
(3)若a＝1，则对于任何x∈R，ax是一个常量1，没有研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义．
3．在同一坐标系中，几个指数函数图像的相对位置与底数的关系
在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，这一性质可通过x取1时，函数值的大小去理解．如图所示，a，b，c分别对应函数y＝ax，y＝bx，y＝cx当x取1时的函数值，∵a>b>c，∴在y轴右侧图像从上到下对应y＝ax，y＝bx，y＝cx，这就验证了上述性质．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数的图像一定在x轴的上方．( )
(2)当a>1时，对于任意x∈R总有ax>1.( )
(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( )
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝________.
(2)若函数f(x)＝ax＋1(a>0且a≠1)的图像过点(3,9)，则f(1)＝________.
(3)函数f(x)＝(eq \r(2))－x，x∈[0,2]的值域是________．
题型一 指数函数的概念
例1 (1)函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________；
(2)若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，则f(－2)＝________，f(1)＝________.
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) 已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图像过点(2,4)，求a的值．
题型二 指数函数的图像问题
例2 (1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A．aB．bC．1D．a(2)函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图像过定点________．
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) (1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图像可能是( )
(2)函数y＝a2x＋1＋1(a>0且a≠1)的图像过定点________．
题型三 比较大小
例3 比较下列各题中数的大小：
(1)1.5a,1.5a－1；
(2)0.3－2,0.33；
(3)0.8－0.1,1.250.2；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ；
(5)a1－a，(1－a)aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) 比较下列各组数的大小：
(1)1.82.2,1.83；
(2)0.7－0.3,0.7－0.4；
(3)1.90.4,
题型四 定义域、值域问题
例4 求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝2 eq \s\up15(eq \f(1, x－4)) ；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2x＋1.
eq \a\vs4\al([跟踪训练4]) (1)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1，x∈[－1,2]的值域为________．
(2)求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|的定义域和值域．
题型五 指数函数性质的综合应用
例5 (1)若函数f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1，＋∞)
(2)求函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－2x的定义域和单调区间；
(3)求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2，x∈[－2,2]的值域．
eq \a\vs4\al([跟踪训练5]) (1)函数y＝22x－2x＋1＋2的定义域为M，值域P＝[1,2]，则下列结论中一定正确的有( )
①M＝[0,1]；②M＝(－∞，1)；③[0,1]⊆M；④M⊆(－∞，1]；⑤1∈M；⑥－1∈M.
A．2个B．3个
C．4个D．5个
(2)求y＝3x2－2x＋7的单调区间；
(3)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数．
①求k的值；
②若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)．
1．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2a＋1A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．(－∞，1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
2．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为( )
3．(多选)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )
A．y＝5 eq \s\up15(eq \f(1,2－x)) B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－x
C．y＝eq \f(1,\r(2x－1))D．y＝eq \r(1－2x)
4．指数函数y＝f(x)的图像过点(π，2)，则f(0)＝______，f(－π)＝________.
5．求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝0.3 eq \s\up15(eq \f(1, x－1)) ；(2)y＝3 eq \s\up15(eq \r(5x－1)) ；
(3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3.
一、选择题
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2B．a＝1
C．a＝2D．a>0，且a≠1
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) 的大小关系是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3))
3．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(0,1)
4．函数y＝eq \f(xax,|x|)(05．(多选)已知函数f(x)＝4|x|＋x2＋a，下列命题正确的有( )
A．对于任意实数a，f(x)为偶函数
B．对于任意实数a，f(x)>0
C．存在实数a，f(x)在(－∞，－1)上单调递减
D．存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)
二、填空题
6．已知函数y＝ax＋a－3(a>0，且a≠1)的图像不经过第二象限，则实数a的取值范围为________．
7．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x2－x的单调递减区间为________．
8．函数y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的值域为________．
三、解答题
9．(1)已知a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围；
(2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围．
10．已知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x＋1|.
(1)作出此函数的图像；
(2)由图像确定其单调性；
(3)由图像指出当x取什么值时函数有最大值．
1．已知f(x)＝a3x2－3，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))5x＋5，其中a>0且a≠1.
(1)若0(2)求关于x的不等式f(x)≥g(x)的解的集合．
2．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(b－2x,2x＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
4.1.2 指数函数的性质与图像
(教师独具内容)
课程标准：1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
教学重点：指数函数的概念、图像和性质．
教学难点：运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题.
1．指数函数y＝ax的特征
(1)ax的系数是1.
(2)ax的底数是常数，且是不等于1的正实数．
(3)ax的指数仅含有自变量x.
2．指数函数y＝ax中规定底数a>0且a≠1的原因
(1)若a<0，则对于x的某些数值，ax无意义，如(－2)x，当x＝eq \f(1,2)，eq \f(1,4)等时，无意义．
(2)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．
(3)若a＝1，则对于任何x∈R，ax是一个常量1，没有研究的必要性．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1，这样对于任何x∈R，ax都有意义．
3．在同一坐标系中，几个指数函数图像的相对位置与底数的关系
在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小，这一性质可通过x取1时，函数值的大小去理解．如图所示，a，b，c分别对应函数y＝ax，y＝bx，y＝cx当x取1时的函数值，∵a>b>c，∴在y轴右侧图像从上到下对应y＝ax，y＝bx，y＝cx，这就验证了上述性质．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)指数函数的图像一定在x轴的上方．( )
(2)当a>1时，对于任意x∈R总有ax>1.( )
(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( )
答案 (1)√ (2)× (3)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝________.
(2)若函数f(x)＝ax＋1(a>0且a≠1)的图像过点(3,9)，则f(1)＝________.
(3)函数f(x)＝(eq \r(2))－x，x∈[0,2]的值域是________．
答案 (1)2 (2)3 (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
题型一 指数函数的概念
例1 (1)函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________；
(2)若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，则f(－2)＝________，f(1)＝________.
[解析] (1)∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，
∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.
(2)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
∵f(x)的图像过点(2,9)，
∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.
∴f(－2)＝3－2＝eq \f(1,9)，f(1)＝3.
[答案] (1)0或1 (2)eq \f(1,9) 3
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1．指数函数的判定
判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0且a≠1)这一结构形式，其具备的特点为：
2．待定系数法求指数函数的解析式
求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的未知参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
eq \a\vs4\al([跟踪训练1]) 已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图像过点(2,4)，求a的值．
解 由指数函数的定义，可知(a－2)(a－3)＝0，解得a＝2 或a＝3.当a＝2时，指数函数y＝2x的图像过点(2,4)，符合题意；当a＝3时，指数函数y＝3x的图像不过点(2,4)，应舍去．
综上，a＝2.
题型二 指数函数的图像问题
例2 (1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为( )
A．aB．bC．1D．a(2)函数y＝ax－3＋3(a>0且a≠1)的图像过定点________．
[解析] (1)解法一：由图像可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.
作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1解法二：根据图像可以先分两类：
③④的底数大于1，①②的底数大于0小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图像上升，且底数越大时图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，底数越小，图像向右越靠近x轴．由以上分析，可知a，b，c，d与1的大小关系为b(2)解法一：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图像过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图像过定点(3,4)．
解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图像过定点(3,4)．
[答案] (1)B (2)(3,4)
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1．识别指数函数图像问题的注意点
(1)根据图像“上升”或“下降”确定底数a>1或0(2)在y轴右侧，指数函数的图像从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图像从下到上相应的底数由大到小．
(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图像的平移变换，从而确定指数型函数的图像与两坐标轴的交点位置．
2．解决指数型函数图像过定点问题的思路
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0且a≠1)的函数图像过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图像过定点(－c，k＋b)．
eq \a\vs4\al([跟踪训练2]) (1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))x的图像可能是( )
(2)函数y＝a2x＋1＋1(a>0且a≠1)的图像过定点________．
答案 (1)A (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
解析 (1)抛物线的方程是y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))2－eq \f(b2,4a)，其顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，－\f(b2,4a)))，由指数函数的图像知0(2)令2x＋1＝0，得x＝－eq \f(1,2)，此时y＝a0＋1＝2，所以函数图像恒过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)).
题型三 比较大小
例3 比较下列各题中数的大小：
(1)1.5a,1.5a－1；
(2)0.3－2,0.33；
(3)0.8－0.1,1.250.2；
(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ；
(5)a1－a，(1－a)aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)[解] (1)∵函数y＝1.5x在(－∞，＋∞)上为增函数，又a>a－1，∴1.5a>1.5a－1.
(2)∵函数y＝0.3x在(－∞，＋∞)上为减函数，
又－2<3，∴0.3－2>0.33.
(3)1.250.2＝0.8－0.2，由于0<0.8<1，
∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴0.8－0.1<0.8－0.2＝
(4)解法一：∵eq \f (2,3)>0，eq \f(3,4)解法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)×\f(6,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，
由于00，知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,10))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) <1，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) (5)∵eq \f(1,2)a>1－a>0，
∴(1－a)a<(1－a)1－a金版点睛
比较幂的大小的常用方法
1对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断.
2对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断.
3对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，则应通过中间值来比较.
eq \a\vs4\al([跟踪训练3]) 比较下列各组数的大小：
(1)1.82.2,1.83；
(2)0.7－0.3,0.7－0.4；
(3)1.90.4,
解 (1)1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值．
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数．
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，
又－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>
题型四 定义域、值域问题
例4 求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝2 eq \s\up15(eq \f(1, x－4)) ；(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2x＋1.
[解] (1)令t＝eq \f(1,x－4)，则y＝2t，
∵函数t＝eq \f(1,x－4)的定义域是{x|x∈R且x≠4}，
∴函数y＝2 eq \s\up15(eq \f(1, x－4)) 的定义域为{x|x∈R且x≠4}．
∵函数t＝eq \f(1,x－4)的值域是{t|t≠0}，
∴函数y＝2t的定义域是{t|t≠0}．
函数y＝2t(t≠0)的图像如图所示．
∴y＝2 eq \s\up15(eq \f(1, x－4)) 的值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)令t＝－2x＋1，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t，
∵函数t＝－2x＋1的定义域是R.
∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2x＋1的定义域为R.
∵一次函数t＝－2x＋1的值域是R，
∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t的定义域是R.
函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t(t∈R)的图像如图所示．
∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2x＋1的值域为{y|y>0}．
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指数函数定义域、值域问题的求解思路
1求定义域要根据函数自身的要求，找出关于x的不等式，解不等式或不等式组可得定义域.
2求函数y＝afxa>0且a≠1的值域的方法：
①换元，令t＝fx，并求t＝fx的定义域；
②求t＝fx的值域M；
③利用y＝at的单调性，求y＝at在t∈M上的值域.
eq \a\vs4\al([跟踪训练4]) (1)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1，x∈[－1,2]的值域为________．
(2)求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|的定义域和值域．
答案 (1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(8,9)，2)) (2)见解析
解析 (1)∵－1≤x≤2，∴eq \f(1,9)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x≤3，
∴－eq \f(8,9)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x－1≤2，∴值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(8,9)，2)).
(2)令t＝－|x|，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))t，∵函数t＝－|x|的定义域是R，
∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|的定义域为R，
∵函数t＝－|x|的值域是{t|t≤0}，
∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))t的定义域是{t|t≤0}．
函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))t(t≤0)的图像如图所示．
∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－|x|的值域为{y|y≥1}．
题型五 指数函数性质的综合应用
例5 (1)若函数f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1，＋∞)
(2)求函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－2x的定义域和单调区间；
(3)求函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2，x∈[－2,2]的值域．
[解析] (1)由题意，知f(x)＝－f(－x)，
即eq \f(2x＋1,2x－a)＝－eq \f(2－x＋1,2－x－a)，
所以(1－a)(2x＋1)＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－1).
由f(x)＝eq \f(2x＋1,2x－1)>3，得1<2x<2，所以0(2)由题意，得函数f(x)的定义域为R.
令y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u，u＝x2－2x，
∵u＝x2－2x是二次函数，其图像的对称轴为x＝1且开口向上，
∴二次函数u＝x2－2x在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u在定义域内是减函数，
∴函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x2－2x的单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是[1，＋∞)．
(3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2，
令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，则y＝t2－3t＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(3,2)))2－eq \f(1,4).
∵x∈[－2,2]，∴eq \f(1,4)≤t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≤4，
当t＝eq \f(3,2)时，ymin＝－eq \f(1,4)；当t＝4时，ymax＝6.
∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋2，x∈[－2,2]的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，6)).
[答案] (1)C (2)见解析 (3)见解析
金版点睛
指数函数综合问题解题策略
(1)指数函数本身不具有奇偶性，但与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．
(2)函数y＝af(x)的单调区间既要考虑f(x)的单调区间，又要讨论a的取值范围：当a>1时，函数y＝af(x)与函数f(x)的单调性相同；当0(3)求函数y＝f(ax)的值域问题的要点是设ax＝t，利用指数函数的性质求出t的范围，从而把问题转化为y＝f(t)的问题．
eq \a\vs4\al([跟踪训练5]) (1)函数y＝22x－2x＋1＋2的定义域为M，值域P＝[1,2]，则下列结论中一定正确的有( )
①M＝[0,1]；②M＝(－∞，1)；③[0,1]⊆M；④M⊆(－∞，1]；⑤1∈M；⑥－1∈M.
A．2个B．3个
C．4个D．5个
(2)求y＝3x2－2x＋7的单调区间；
(3)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数．
①求k的值；
②若f(1)>0，试判断函数的单调性(不需证明)．
答案 (1)C (2)见解析 (3)见解析
解析 (1)由题意可得f(x)＝22x－2x＋1＋2＝(2x－1)2＋1∈[1,2]，∴2x－1∈(－1,1]，即2x∈(0,2]，∴x∈(－∞，1]，即函数f(x)＝22x－2x＋1＋2的定义域是(－∞，1]，即M＝(－∞，1]．结合所给的选项可得，一定正确的结论的序号是③④⑤⑥，即一定正确的有4个．
(2)函数的定义域为R，因为3>1，故指数函数y＝3u是增函数．
令u＝x2－2x＋7，对于二次函数u＝x2－2x＋7＝(x－1)2＋6，当x∈[1，＋∞)时，u为增函数，当x∈(－∞，1]时，u为减函数．
∴y＝3x2－2x＋7的单调递增区间为[1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]．
(3)①解法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，即k－1＝0，∴k＝1，
又f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，
∴k＝1，符合题意．
解法二：∵f(－x)＝ka－x－ax，－f(x)＝－kax＋a－x，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)在定义域R上恒成立，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,－1＝－k，))解得k＝1.
②∵f(1)＝a－eq \f(1,a)>0，又a>0且a≠1，∴a>1.
∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，
∴f(x)是R上的增函数．
1．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2a＋1A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．(－∞，1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
答案 B
解析 ∵函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>eq \f(1,2).
2．已知1>n>m>0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为( )
答案 C
解析 由于03．(多选)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )
A．y＝5 eq \s\up15(eq \f(1,2－x)) B．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－x
C．y＝eq \f(1,\r(2x－1))D．y＝eq \r(1－2x)
答案 BC
解析 y＝5 eq \s\up15(eq \f(1,2－x)) 的值域为(0,1)∪(1，＋∞)；y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))1－x的值域为(0，＋∞)；y＝eq \f(1,\r(2x－1))的值域为(0，＋∞)；y＝eq \r(1－2x)的值域为[0,1)．故选BC.
4．指数函数y＝f(x)的图像过点(π，2)，则f(0)＝______，f(－π)＝________.
答案 1 eq \f(1,2)
解析 设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(0)＝a0＝1，∵它的图像过点(π，2)，∴2＝aπ，∴f(－π)＝a－π＝eq \f(1,aπ)＝eq \f(1,2).
5．求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝0.3 eq \s\up15(eq \f(1, x－1)) ；(2)y＝3 eq \s\up15(eq \r(5x－1)) ；
(3)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3.
解 (1)由x－1≠0得x≠1，所以函数定义域为{x|x≠1}．
由eq \f(1,x－1)≠0得y≠1，所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0得x≥eq \f(1,5)，所以函数定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,5))))).由eq \r(5x－1)≥0，得y≥1，所以函数值域为{y|y≥1}．
(3)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3>0，
∴函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2－2x－3的值域为(0,16].
一、选择题
1．若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2B．a＝1
C．a＝2D．a>0，且a≠1
答案 C
解析 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1，))解得a＝2.
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) 的大小关系是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3))
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3))
答案 A
解析 画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x和y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x的大致图像，如图所示．由图可知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) >eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) .故选A.
3．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(0,1)
答案 A
解析 设t＝1－x，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t，则函数t＝1－x的单调递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x的单调递增区间．
4．函数y＝eq \f(xax,|x|)(0答案 D
解析 由题意可得y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax，x>0，,－ax，x<0))(05．(多选)已知函数f(x)＝4|x|＋x2＋a，下列命题正确的有( )
A．对于任意实数a，f(x)为偶函数
B．对于任意实数a，f(x)>0
C．存在实数a，f(x)在(－∞，－1)上单调递减
D．存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)
答案 ACD
解析 函数f(x)＝4|x|＋x2＋a，对于A，由于x∈R，且f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，故A正确；对于B，当x＝0，a＝－2时，f(x)<0，故B错误；对于C，由于函数f(x)的图像关于y轴对称，当x>0时，函数单调递增；当x<0时，函数单调递减，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，故C正确；对于D，由于函数的图像关于y轴对称，且当x>0时，函数单调递增；当x<0时，函数单调递减，故存在实数a＝0，使得关于x的不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故D正确．故选ACD.
二、填空题
6．已知函数y＝ax＋a－3(a>0，且a≠1)的图像不经过第二象限，则实数a的取值范围为________．
答案 1解析 由题意得a>1且当x＝0时，y≤0，即a0＋a－3≤0，即a≤2，故17．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x2－x的单调递减区间为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
解析 设函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))u(x)，u(x)＝x2－x.要求y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x2－x的单调递减区间，需求u(x)＝x2－x的单调递增区间．∵u(x)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增，∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x2－x的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
8．函数y＝4x－2x＋1＋3，x∈(－∞，1]的值域为________．
答案 [2,3]
解析 原函数可化为y＝22x－2·2x＋3.
令t＝2x，x∈(－∞，1]，∴t∈(0,2]．
∴y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2.
当t＝1时，ymin＝2；当t＝2时，ymax＝3.
∴函数的值域为[2,3]．
三、解答题
9．(1)已知a－5x>ax＋7(a>0且a≠1)，求x的取值范围；
(2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，求x的取值范围．
解 (1)①当a>1时，因为a－5x>ax＋7，
所以－5x>x＋7，解得x<－eq \f(7,6)；
②当0ax＋7，
所以－5x－eq \f(7,6).
综上所述，当a>1时，x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(7,6)))；
当0(2)因为a2＋a＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)>1，
所以y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函数．
所以x>1－x，解得x>eq \f(1,2).
所以x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
10．已知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x＋1|.
(1)作出此函数的图像；
(2)由图像确定其单调性；
(3)由图像指出当x取什么值时函数有最大值．
解 由函数解析式可得
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x＋1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1，x≥－1，,3x＋1，x<－1.))
(1)当x≥－1时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1是由y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x向左平移1个单位得到的；
当x<－1时，y＝3x＋1是由y＝3x向左平移1个单位得到的．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x＋1|的图像如图实线部分所示．
(2)由图像知，函数在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数．
(3)由图像知，当x＝－1时，函数有最大值为1.
1．已知f(x)＝a3x2－3，g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))5x＋5，其中a>0且a≠1.
(1)若0(2)求关于x的不等式f(x)≥g(x)的解的集合．
解 (1)由f(x)<1，得a3x2－3<1，即a3x2－3因为00，解得x>1或x<－1，
即所求x的取值的集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(2)由f(x)≥g(x)，得a3x2－3≥a－5x－5.
①若a>1，则3x2－3≥－5x－5，
即3x2＋5x＋2≥0，解得x≤－1或x≥－eq \f(2,3)；
②若0即3x2＋5x＋2≤0，解得－1≤x≤－eq \f(2,3)，
综上，若a>1，则所求解集为(－∞，－1]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，＋∞))；
若02．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(b－2x,2x＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
解 (1)∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，b＝1.
又由f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(1－2x1,2x1＋1)－eq \f(1－2x2,2x2＋1)
＝eq \f(1－2x12x2＋1－1－2x22x1＋1,2x1＋12x2＋1)
＝eq \f(22x2－2x1,2x1＋12x2＋1).
∵x10.
又(2x1＋1)(2x2＋1)>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数．
(3)∵t∈R时，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴t2－2t>k－2t2，即k<3t2－2t恒成立．
又3t2－2t＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,3)))2－eq \f(1,3)≥－eq \f(1,3)，
∴k<－eq \f(1,3)，即k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3))).