2021学年第18章 勾股定理综合与测试单元测试综合训练题

这是一份2021学年第18章 勾股定理综合与测试单元测试综合训练题，共11页。试卷主要包含了代数式的最小值为等内容，欢迎下载使用。
1．代数式的最小值为（ ）
A．12B．13C．14D．11
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，BD是角平分线，∠BDC的度数是（ ）
A．65°B．55°C．45°D．35°
3．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2
4．△ABC中，BC＝6，AB＝2，∠ABC＝30°，点P在直线AC上，点P到直线AB的距离为1，则CP的长为（ ）
A．B．C． 或D．或
5．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，AO＝6，则OB长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
6．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）
A．2个B．3个C．4个D．6个
7．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+＝0，则三角形的形状是（ ）
A．底与腰不相等的等腰三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
8．判断下列三条线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝3B．a＝7，b＝25，c＝24
C．a＝40，b＝50，c＝60D．a＝5，b＝12，c＝13
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，且∠B＝∠D＝90°，连接AC，那么四边形ABCD的最大面积是（ ）
A．2B．4C．4D．8
10．如图，点A是5×5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）
A．10个B．12个C．14个D．16个
二．填空题
11．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝ ．
12．如图，根据天气预报，某台风中心位于M市正东方向300km的点O处，正以20km/h的速度向北偏西60°的方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响．若台风移动的速度和方向不变，则M市受台风影响持续的时间是 小时．
13．如图，一个底面周长为24cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为 ．
14．已知△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D为平面内的任意一点，且满足CD＝AC，若△ADB是以AD为腰的等腰三角形，则∠CDB的度数为 ．
三．解答题
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF．
16．在△ABC中，AB＝8，AC＝5，若BC边上的高等于4，求BC的长．
17．如图，水渠两边AB∥CD，一条矩形竹排EFGH斜放在水渠中，∠AEF＝45°，∠EGD＝105°，竹排宽EF＝2米，求水渠宽．
18．已知直角三角形两边x，y的长满足+|y2﹣5y+6|＝0，求第三边的长．
19．【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．
（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为 ；
（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为 、
（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是 （等号两边需化为最简形式）；
（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为
（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
20．如图，是4个完全相同的直角三角形适当拼接后形成的图形，这些直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c．你能利用这个图形验证勾股定理吗？
21．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．
22．如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上的一点，且BD＝12cm，CD＝16cm．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的周长，
23．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数．如，（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数：（ ），（ ）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即a，y，z为勾股数），请你加以证明．
参考答案
一．选择题
1．B．
2． A．
3． C．
4． D．
5． C．
6． D．
7． D．
8． C．
9． B．
10． D．
二．填空题
11． PB＝．
12． 20．
13． 13 cm
14． 45°或135°．
三．解答题
15．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝54°，
∴∠CBD＝126°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝63°；
（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，
∴∠CEB＝90°﹣63°＝27°．
又∵∠F＝27°，
∴∠F＝∠CEB＝27°，
∴DF∥BE
16．解：作AD⊥BC于D，分两种情况：
①高BD在线段BC上，
如图1所示：
在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝3，
∴BC＝BD+CD＝4+3；
②高AD在CB的延长线上，
如图2所示：
BC＝BD﹣CD＝4﹣3；
综上所述，BC的长为4+3或4﹣3．
17．解：过F作FP⊥AB于P，延长PF交CD于Q，
则FQ⊥CD，
∴∠EPF＝∠FQG＝90°，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EFG＝90°，
∵∠AEF＝45°，
∴∠GFQ＝∠EFP＝45°，
∴∠FGQ＝45°，
∵EF＝2，
∴PF2+PE2＝EF2＝4，
∵PF＝PE，
∴PF＝PE＝，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠EGD＝105°，
∵∠AEF＝45°，
∴∠FEG＝60°
∴FG＝EF＝2，
∴FQ2+GQ2＝FG2＝12，
∴FQ＝QG＝，
∴PQ＝PF+FQ＝（）（米），
答：水渠宽为（）米．
18．解：由题意得，x2﹣4＝0，y2﹣5y+6＝0，
解得，x＝±2，y＝2或3，
当2、3是两条直角边时，第三边＝＝，
当2、2是两条直角边时，第三边＝＝2，
当2是直角边，3是斜边时，第三边＝＝．
19．解：（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），
故答案为：（b﹣a）；
（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，
故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；
（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，
即a2+b2＝c2，
故答案为：a2+b2＝c2；
（4）∵a2+b2＝c2，a＝5，b＝12，
∴c＝13，
故答案为：13；
（5）图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，
即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，
故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（6）∵a+b＝4，ab＝2，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）
∴43＝a3+b3+3×2×4，
解得：a3+b3＝40．
20．解：假设b＞a，该图形的面积，有两种求法：
一种为正方形的面积+两个直角三角形的面积；
一种为两正方形的面积+两直角三角形的面积，
根据两种求法的面积相等可得：，
化简得，c2＝b2+a2．
21．解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°．
在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，
AC＝＝＝13．
∵BC＝13，
∴AC＝BC．
∵CE⊥AB，AB＝10，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5．
在Rt△CAE中，
CE＝＝＝12．
∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．
22．（1）证明：∵在△BDC中，BC＝20cm，BD＝12cm，CD＝16cm．
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴△BCD是直角三角形；
（2）解：设AB＝AC＝xcm，则AD＝（x﹣12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即（x﹣12）2+162＝x2，
解得：x＝，
即AB＝AC＝cm，
∵BC＝20cm，
∴△ABC的周长是AB+AC+BC＝cm+cm+20cm＝cm．
23．解：（1）请你再写出两组勾股数：（ 6，8，10），（ 9，12，15），
故答案为：6，8，10；9，12，15；
（2）证明：x2+y2＝（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+n4﹣2n2+1
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2
＝z2，
即x，y，z为勾股数．