中考冲刺-数学-第23课平行四边形

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要点梳理　1．n边形以及四边形的性质(1)n边形的内角和为(n－2)·180° ，外角和为360°，对角线条数为(2)四边形的内角和为360°，外角和为360°，对角线条数为2．(3)正多边形的定义：各条边都相等，且各内角都相等的多边形叫正多边形．2．平行四边形的性质以及判定(1)性质：　　　①平行四边形两组对边分别平行且相等；　　　②平行四边形对角相等，邻角互补；　　　③平行四边形对角线互相平分；　　　④平行四边形是中心对称图形．(2)判定方法：　　①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；　　②一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形；　　③两组对边分别相等 的四边形是平行四边形；　　④两组对角分别相等 的四边形是平行四边形；　　⑤对角线互相平分 的四边形是平行四边形．
第23课 平 行 四 边 形
考点巩固测试 1.(2012·广东) 已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O，BO＝DO.　　　求证：四边形ABCD是平行四边形．　　　证明　∵AB∥CD，　　　∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，　　　∵BO＝DO，　　　∴△OAB≌△OCD(AAS)，∴AB＝CD，　　　又∵AB∥CD，　　　∴四边形ABCD是平行四边形．感悟提高　　探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：　　①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；　　②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；　　③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．
变式测试1　(2012·湛江) 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE＝CF.　　求证：(1)△ABE≌△CDF；(2)四边形BFDE是平行四边形　　　证明　(1)∵四边形ABCD是平行四边形，　　　∴∠A＝∠C，AB＝CD，　　　在△ABE和△CDF中，　　　∴△ABE≌△CDF(SAS)．　　　(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，　　　∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE＝BF，　　　∴四边形BFDE是平行四边形．
2.　已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm.求□ABCD的周长和面积．解　在□ABCD中，AD∥＝BC，AB∥＝CD.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，同理，CD＝DE，∴AB＝CD＝½AD.∵∠CBE＋∠ECB＝½∠ABC＋½∠DCB＝½(∠ABC＋∠DCB)＝(½)×180°＝90°，∴∠BEC＝90°.
感悟提高　　　平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．变式测试2　(2013·北京) 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长．解　∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE.又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴DE＝AC＝2.
3.已知：如图，E、F分别是□ABCD的边AD、BC的中点，求证：AF＝CE.　　　解　证法一：在□ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.　　　∵E、F分别是AD、BC的中点，∴BF＝½BC，DE＝½AD，∴BF＝DE.　　　在△ABF与△CDE中，　　　∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴AF＝CE.　　　证法二：在ABCD中，AD∥＝BC.　　　∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝½AD，CF＝½CB，∴AE＝CF.　　　又∵AE∥CF，　　　∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE.　　　证法二：在□ABCD中，AD∥＝BC.　　　∵E、F分别是AD、BC的中点，　　　∴AE＝½AD，CF＝½CB，∴AE＝CF.　　　又∵AE∥CF，　　　∴四边形AECF是平行四边形，　∴AF＝CE.
感悟提高　　利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．变式测试3　(2013·常德) 如图，已知四边形ABCD是平行四边形．　　(1)求证：△MEF ∽△MBA；　　(2)若AF、BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线，求证DF＝EC.　　　解　(1)证明：在□ABCD中，CD∥AB，　　　∴∠MEF＝∠MBA，∠MFE＝∠MAB，　　　∴△MEF∽△MBA.　　　(2)∵在□ABCD中，CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB.　　　又∵AF是∠DAB的平分线，　　　∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，　　　∴AD＝DF.　　　同理可得，EC＝BC.　　　∵在□ABCD中，AD＝BC，∴DF＝EC.
　　4.　如图，在 △ABC中，D是BC上一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．　　　证明　连接EH、FG.　　　∵E、H分别是BD、AD的中点，　　　∴EH∥＝½AB.　　　同理，FG∥＝½AB.　　　∴EH∥＝FG，　　　∴四边形EFGH是平行四边形，　　　∴EG、HF互相平分．感悟提高　　当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．
感悟提高　　当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．变式测试4　如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥CE，AN⊥BD，M、N分别是垂足，求证：MN∥BC.　　　证明　分别延长AM、AN交BC于P、Q.　　∵CE平分∠ACB，AM⊥CE，　　　∴∠ACM＝∠PCM，∠AMC＝∠PMC＝90°.　　　又∵CM＝CM，　　　∴△ACM≌△PCM，　　　∴AM＝PM.　　　同理，AN＝QN.　　　∴MN是△APQ的中位线，　　　∴MN∥PQ，即MN∥BC.