中考冲刺-数学-第26课圆的基本性质

这是一份中考冲刺-数学-第26课圆的基本性质，共12页。PPT课件主要包含了考点跟踪训练等内容，欢迎下载使用。

要点梳理1．主要概念：　　(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点叫圆心，定长叫半径，以O为圆心的圆记作⊙O.　　(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫弧，连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，直径是最长的弦．　　(3)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角．　　(4)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫圆周角．　　(5)等弧：在同圆或等圆中 ，能够完全重合的弧．2．圆的有关性质：　　(1)圆的对称性：　　①圆是轴对称图形，其对称轴是过圆心的任意一条直线 ．　　②圆是中心对称图形，对称中心是圆心．　　③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．　　(2)垂径定理及推论：　　垂径定理：垂直于弦的直径平分弦 ，并且平分弦所对的两条弧．　　垂径定理的推论：　　①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦 ，并且平分弦所对的两条弧；　　②弦的垂直平分线经过圆心 ，并且平分弦所对的两条弧；　　③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
第26课　圆的基本性质
(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧 、两条弦 、两条弦心距 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．(4)圆周角定理及推论：圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：①点P在圆上<=>d＝r ； ②点P在圆内<=>dd>r．(6)过三点的圆：①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边中垂线的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
3．相关辅助线： 两条辅助线　　(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形；　　(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角．
考点巩固测试 1.　(2013·衡阳) 如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD＝40°，则∠FCD的度数为________． 　　解析　∵直径CD过弦EF的中点，　　∴CD⊥EF，DE＝DF.　　∵∠EOD＝40°，　　∴DF＝DE＝40°，　　∴∠FCD＝20°.感悟提高　　当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆心角，“一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半”，通过求等的弧把角联系起来．变式测试1　(2012·广东) 如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝25°，则∠AOC的度数是________． 　　解析　∵圆心角∠AOC与圆周角∠ABC都对AC，　　∴∠AOC＝2∠ABC，　　又∵∠ABC＝25°，　　∴∠AOC＝50°.
2. 一条弦的长度等于它所在的圆的半径，那么这条弦所对的圆周角的度数是___．感悟提高　　在很多没有给定图形的问题中，常常不能根据题目的条件把图形确定下来，因此会导致解的不唯一性，这种题一题多解，必须分类讨论．本题中，弦所对的圆周角不是唯一的，圆周角的顶点可能在优弧上，也可能在劣弧上，依据“圆内接四边形的对角互补”，这两个角互补．变式测试2　(2013·安徽) 如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝________．解析　根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，∴∠AOC＝2∠D，又∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B＝∠AOC，∵圆内接四边形对角互补，∠B＋∠D＝180°，∴∠D＝60°，连接OD，则OA＝OD，OD＝OC，∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC，∴∠OAD＋∠OCD＝60°.
3.　如图，已知AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且∠AMN＝∠CNM.求证：AB＝CD.　　证明　连接OM、ON，　　∵M、N分别是AB、CD的中点，　　∴OM⊥AB，ON⊥CD，　　∴∠AMO＝∠CNO＝90°，　　∵∠AMN＝∠CNM，　　∴∠OMN＝∠ONM，　　∴OM＝ON.　　又∵OM⊥AB，ON⊥CD，　　∴AB＝CD，AB＝CD.感悟提高　　连接OM、ON，则OM⊥AB，ON⊥CD，OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，“有弦常作弦心距”，这是一个常用的方法
　　　变式测试3　(1)(2012·上海) 如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN＝3，那么BC＝________． 　　解析　∵OM⊥AB，ON⊥AC，　　∴AM＝BM，AN＝CN，　　∴MN是△ABC的中位线，　　∴MN＝½BC，　　即BC＝2MN＝2×3＝6.(2)如图，在⊙O中，已知AC＝BD，求证：①OC＝OD；②AE＝BF. 　　证明　①连接OA、OB.　　∵OA＝OB，　　∴∠A＝∠B.　　∵AC＝BD，　　∴△OAC≌△OBD，　　∴OC＝OD.　　②∵△OAC≌△OBD，　　∴∠AOC＝∠BOD，　　∴AE＝BF.
4.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4 cm，求这个圆形截面的半径． 解　如图，设弦AB表示水面，O为圆心，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，根据垂径定理，有AC＝BC.设OA＝OD＝r，在Rt△AOC中，AC2＋OC2＝OA2，则82＋(r－4)2＝r2，解得r＝10.答：这个圆形截面的半径是10 cm.感悟提高　　这是一道实际问题，关键是将其转化为数学问题．由于管道是圆形的，因此可以把水面宽度看作弦长，从而利用垂径定理构造直角三角形，再利用勾股定理、方程思想来求解．
变式测试4　在直径为400 mm的圆柱形油槽内，装入部分油，油面宽320 mm，求油的深度．　　解　如图①，在Rt△AOC中，AO＝200，AC＝160，　　∴OC＝120，∴CD＝OD－OC＝200－120＝80.　　如图②，同理可知：OC＝120，　　∴CD＝OD＋OC＝200＋120＝320.　　答：油的深度为80 mm或320 mm.