中考冲刺-数学-第28课圆的弧长、圆与圆的面积计算

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要点梳理1．弧长及扇形的面积：　　(1)半径为r，弧为n°的圆心角所对的弧长公式：　　(2) 半径为r，孤为n°的圆心角所对的扇形面积公式：2．圆锥的侧面积和全面积：　　圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.　　(1)圆锥侧面积公式：S圆锥侧＝πrl；　　(2)圆锥全面积公式：S圆锥全＝πrl+πr2；　　(3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式：3．求阴影部分面积的几种常见方法：　　(1)公式法；　　(2)割补法；　　(3)拼凑法；　　(4)等积变形构造方程法；　　(5)去重法．
第28课　圆的弧长和图形面积的计算
　第28课　圆的弧长和图形面积的计算
圆锥的侧面是一个扇形，因而其面积是一个扇形的面积，其扇形的半径是圆锥的母线，弧长是底面的周长．在求圆锥侧面积或 全面积的时候，常需要借助于它的展开图进行分析，因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非常重要，下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关系．　　最短距离问题，通常借助于展开图来解决．在将立体图形转化为平面图形后，应把题中已知条件转化到具体的线段中，最后构造直角三角形解题．两个技巧　　(1)求运动所形成的路径长或面积时，关键是理清运动所形成图形的轨迹变化，特别是扇形，需要理清圆心与半径的变化；　　(2)处理不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变换转化为规则图形，再利用规则图形的公式求解．三个等量关系　　(1)展开图扇形的弧长＝圆锥下底的周长；　　(2)展开图扇形的面积＝圆锥的侧面积；　　(3)展开图扇形的半径＝圆锥的母线．
　　第28课　圆的弧长和图形面积的计算
考点巩固测试 1.(2013·德州) 如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于________．　　解析　∵△ABC为正三角形，　　　∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝1，　　　　　 根据题意可知，凸轮的周长为三个弧长的和，　　　即凸轮的周长＝AB＋BC＋AC＝3×π/3＝π.感悟提高 本题中所求“凸轮”的周长是由三条不同的弧组合而成的，在求每段弧长时，要注意确定每段弧的半径及所对圆心角的度数．变式测试1　如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，∠O＝60°，OA＝1.求O点所运动的路径长．　　
第28课　圆的弧长和图形面积的计算
2.　如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨刷BD扫过的面积．　　解　在△AOC和△BOD中，　　∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，　　∴△AOC≌△BOD，　　∴阴影部分的面积为扇环的面积，　　即S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD　　＝(1/4)π(OA2－OC2)＝(1/4)π×(652－152)＝1000π(cm2)．　　答：刮雨刷BD扫过的面积是1000π cm2.感悟提高　　阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路，一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补．此题可利用图形的割补，把图形△OAC放到△OBD的位置．扇形面积公式和弧长公式容易混淆．　　变式测试2　(1)如图，半圆的直径AB＝10，P为AB上一点，点C、D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于__________．(结果用π表示)
解析　连接CD、OC、OD、BC.∵AC＝CD＝DB＝60°，∴∠ABC＝∠BCD＝30°，∴CD∥AB，∴S△PCD＝S△OCD，∴S阴影＝S△PCD＋S弓形＝S△OCD＋S弓形＝S扇形COD (2)(2012·广东) 如图，在□ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是________．(结果保留π)　　　　解析　过D点作DF⊥AB于点F.　　∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，　　∴DF＝AD·sin 30°＝1，EB＝AB－AE＝AB－AD＝2，　　∴阴影部分的面积＝S□ABCD－S扇形ADE－S△EBC　　　
3.如图，如果从半径为9 cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不叠合)，求这个圆锥的高．　　感悟提高　正确、灵活地运用扇形面积和圆弧周长．圆锥侧面展开图面积的计算公式解题．就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形．
变式测试3　 现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，求剪去的扇形纸片的圆心角度数．解　∵圆锥的母线长为40，底面半径为10，∴剪去扇形纸片的圆心角度数＝360°×30%－90°＝108°－90°＝18°.
4.(2013·贵阳) 在平行四边形ABCD中，AB＝10，∠ABC＝60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E.　　(1)圆心O到CD的距离是________；　　(2)求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．(结果保留π和根号)　　解　(1)连接OE.　　∵CD切⊙O于点E，∴OE⊥CD.　　则OE的长度就是圆心O到CD的距离．　　∵AB是⊙O的直径，OE是⊙O的半径，　　∴OE＝½AB＝5，　　即圆心⊙到CD的距离是5.　　(2)过点A作AF⊥CD，垂足为F.　　∵四边形ABCD是平行四边形，　　∴∠B＝∠D＝60°，AB∥CD.　　∵AB∥CD，OE⊥CD，AF⊥CD，　　∴OA＝OE＝AF＝EF＝5.　　在Rt△ADF中，∠D＝60°，AF＝5，　　
感悟提高 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度；阴影部分的面积可视为梯形面积与扇形面积之差．变式测试4　(2013·临沂) 如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB＝4，∠BED＝120°，则图中阴影部分的面积之和为(　　)　　解析　连接AE、OD、OE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又∵∠BED＝120°，∴∠AED＝30°，∴∠AOD＝2∠AED＝60°.∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴∠A＝60°，∵点E为BC的中点，∠AEB＝90°，∴AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴△EDC是等边三角形，边长是4，∵∠BOE＝∠EOD＝60°，∴弧BE和弦BE围成的部分的面积＝弧DE 和弦DE围成的部分的面积，