中考冲刺-数学-第27课直线与圆、圆与圆的位置关系

这是一份中考冲刺-数学-第27课直线与圆、圆与圆的位置关系，共20页。PPT课件主要包含了相关辅助线，考点跟踪训练等内容，欢迎下载使用。

要点梳理1．直线和圆的位置关系：(1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离．　
第27课 直线与圆﹑圆与圆的位置关系
(2)切线的性质：①切线的性质定理：圆的切线垂直于 经过切点的半径．②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线．(4)三角形的内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点 ，内切圆的圆心叫做三角形的内心，内切圆的半径是内心到三边的距离．
2．圆与圆的位置关系：
考点巩固测试 1.(1)如图，⊙O的半径为4 cm，OA⊥OB，OC⊥AB于C，OB＝4 cm，OA＝2 cm，试说明AB是⊙O的切线． 　　　解　∵OA⊥OB，　　　　　 又∵⊙O的半径为4，　∴AB是⊙O的切线．(2)(2013·兰州) 如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是____________．
解析:　如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA、OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD，在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，∴AD＝4，∴AB＝2AD＝8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10.故AB的取值范围是8＜AB≤10.
感悟提高　　根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系作判断，d>r直线与圆相离；d＝r直线与圆相切；d2.　(2013·新疆建设兵团) 如图是一个量角器和一个含30°角的直角三角板放置在一起的示意图，其中点B在半圆O的直径DE的延长线上，AB切半圆O于点F，且BC＝OE.　　　(1)求证：DE∥CF；　　(2)当OE＝2时，若以O、B、F为顶点的三角形与△ABC相似，求OB的长；　　(3)若OE＝2时，移动△ABC且使AB边始终与半圆O相切，直角顶点B在直径DE的延长线上移动，求出点B移动的最大距离． 　　　解　(1)连接OF，　　　∵AB切半圆O于F点，　　　∴OF⊥AB，　　　∴∠OFB＝∠ABC＝90°，　　　∴OF∥BC，　　　∵BC＝OE＝OF，　　　∴四边形OFCB为平行四边形， 　　　∴CF∥OB，即DE∥CF.　　　
　　　 　　　 (3)在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝OE＝2，则AC＝4，　　　当AB与半圆O相切于E点时，　　　B点与E点重合，BE＝0；　　　当AB与半圆O相切于A点时，　　　∵△OAB≌△CBA，　　　∴OB＝AC＝4，　　　∴BE＝OB－OE＝4－2＝2，　　　即点B在直径DE的延长线上移动的最大距离为2.
感悟提高　　遇到切点，通常作的辅助线是连接圆心和切点，这样运用切线的性质，构造出直角三角形，再进一步解答．记住：由切线联想到直角，从而充实题中的已知条件．变式测试2　(2013·丽水)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连接BD.　　(1)求证：BD平分∠ABH；　　(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离． 　　　解 (1)∵EF是⊙O的切线，∴OD⊥EF，　　　又∵BH⊥EF，∴OD∥BH，　　　∴∠ODB＝∠DBH，　　　∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，　　　∴∠OBD＝∠DBH，　　　即BD平分∠ABH.　　　(2)过点O作OG⊥BC于点G，　　　则BG＝CG＝½BC＝4，　　　在Rt△OBG中，
3.　(2013·金华) 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.　　　(1)求∠ABC的度数；　　　(2)求证：AE是⊙O的切线；　　　(3)当BC＝4时，求劣弧AC的长． 　　　解　(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，　　　∴∠ABC＝∠D＝60°.　　　(2)∵AB是⊙O的直径，　　　∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，　　　∴∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，即BA⊥AE，　　　∴AE是⊙O的切线．　　　(3)如图，连接OC，　　　∵OB＝OC，∠ABC＝60°，　　　∴△OBC是等边三角形，　　　∴OB＝BC＝4，∠BOC＝60°，　　　∴∠AOC＝120°，　　　　
感悟提高　当已知条件中给出直线与圆有公共点时，只要证明圆心与公共点的连线垂直于这条直线，就可以判定直线与圆相切，连接圆心和公共点是常作的辅助线．变式测试3　(2013·聊城) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.　　(1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；　　(2)当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．　　　
解　(1)当点P是BC 的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：　　　∵AB＝AC，∴AB＝AC，　　　又∵PB＝PC，∴PBA＝PCA，　∴PA是⊙的直径，　　　∵PB＝PC，∴∠1＝∠2，　　　又∵AB＝AC，∴PA⊥BC，　　　∵DP∥BC，∴DP⊥PA，　　∴DP是⊙O的切线．　　　(2)连接OB，设PA交BC于点E.　　　由垂径定理，得BE＝½BC＝6，　　　在Rt△ABE中，由勾股定理，得：　　　 设⊙O的半径为r，则OE＝8－r， 　　　在Rt△OBE中，由勾股定理，得：　　　r2＝62＋(8－r)2，解得r＝25/4，　　　∵DP∥BC，∴∠ABE＝∠D，　　　又∵∠1＝∠1，∴△ABE∽△ADP，　　　
4.　(2012·张家界) 如图，⊙O的直径AB＝4，C为圆周上一点，AC＝2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点(不与A、C重合)．　　(1)求∠APC与∠ACD的度数；　　(2)当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；　 (3)P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由． 　　解　(1)连接AC，如图所示：　　　∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝½AB＝2，　　　∴AC＝OA＝OC，　　　∴△ACO为等边三角形，　　　∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，　　　∴∠APC＝½∠AOC＝30°，　　　又∵DC与圆O相切于点C，　　　∴OC⊥DC，　　　∴∠DCO＝90°，　　　∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°.　　　
(2)连接PB、OP，　　　∵AB为直径，∠AOC＝60°，　　　∴∠COB＝120°，　　　当点P移动到CB的中点时，　　　∠COP＝∠POB＝60°，　　　∴△COP和△BOP都为等边三角形，　　　∴AC＝CP＝OA＝OP，∴四边形AOPC为菱形．　　　(3)当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，　　　显然△ABC≌△APC；　　　当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由：　　　∵CP与AB都为圆O的直径，∴∠CAP＝∠ACB＝90°，　　　在Rt△ABC与Rt△CPA中，AB＝CP，AC＝AC，　　　∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．
感悟提高综合利用圆的切线的性质与判定以及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等，是本题的关键．变式测试4　(2011·陕西) 如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC外接圆，过点A 作⊙O的切线，交CO的延长线于P点，CP交⊙O于D.　　(1)求证：AP＝AC；　　(2)若AC＝3，求PC的长． 　　　
解　(1)证明：连接AO，则AO⊥PA，　　　∴∠AOC＝2∠B＝120°，　　　∴∠AOP＝60°，∴∠P＝30°.　　　 又∵OA＝OC，　　　 　　　∴∠P＝∠ACP，∴AP＝AC.　　　(2)在Rt△PAO中，∠P＝30°，PA＝AC＝3，